棱柱与棱锥(二)-平行六面体与长方体

——平行六面体与长方体9.9.

棱柱与棱锥(二)yyyy年M月d日星期2、棱柱的分类斜棱柱直棱柱正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…1、棱柱的定义中，强调了棱柱的二个特点，它们分别指什么？

复习提问:3、棱柱的性质平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体

长方体：底面是矩形的直平行六面体

正方体：棱长都相等的长方体

特殊的四棱柱一、几个概念

新课教学

四棱柱平行六面体长方体直平行六面体正四棱柱正方体底面变为平行四边形侧棱与底面垂直底面是矩形底面为正方形侧棱与底面边长相等几种六面体的关系：长方体

---------------常见的四棱柱四棱柱

---------------------平行六面体

------------------侧棱垂直于底面直平行六面体

---------------底面是矩形棱长都相等正方体其关系为：底面是平行四边形正四棱柱底面是正方形侧面是正方形练习２、下列说法正确的是（）A、直四棱柱是直平行六面体B、底面是平行四边形的棱柱是平行六面体C、底面是矩形的平行六面体是长方体D、各侧面都是矩形的棱柱是长方体B练习１、课本练习１，２，３，问题1：在平面几何中平行四边形、长方形各有什么性质?如：平行四边形对角线互相平分；长方形的长为a，宽为b，则对角线长为l2=a2+b2

问题2：在立体几何中平行六面体、长方体是否也有类似的性质呢?定理1、平行六面体的对角线相交于一点，并且在交点处互相平分

.已知：平行六面体ABCD—A`B`C`D`（如图）求证：对角线AC`、BD`、CA`、DB`相交于一点O，且在点O处互相平分.二、性质

证明：设O是A的中点，则设P、M、N分别是、、的中点，同样可证由此可知O、P、M、N四点重合，定理得证。定理2、长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.证明：

练习３、课本练习

4

,

5;例1.（2009北京理）若正四棱柱ABCD---A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）

A．B．1C．D．解析：依题意，∠B1AB=60o，如图，故选D.例题解析

例2.

已知：长方体AC1，B1D是一条对角线，∠A1B1D=α，∠BB1D=β，∠C1B1D=γ.求证：证明：连A1D，BD，C1D，因为所以.

在中所以同理故结论:

长方体AC

/中,AC/

是它的一条对角线，则例3.平行六面体ABCDA1B1C1D1的棱长都相等，且B1C1D1=CC1B1=CC1D1=60.(1)求证：平面ACC1A1平面BB1D1D；(2)若AA1=a，求C到平面A1B1C1的距离.解：（1）作CO平面A1B1C1于O.由CC1B1=CC1D1∴O在B1C1D1的角平分线上，又因为A1B1C1D1是菱形，∴O在A1C1上，根据三垂线定理，由B1D1A1C1得D1B1CC1，∴B1D1平面A1C1CA，∴平面BB1D1D平面A1C1CA.ABCDA1B1C1D1O例3.平行六面体ABCDA1B1C1D1的棱长都相等，且B1C1D1=CC1B1=CC1D1=60.(1)求证：平面ACC1A1平面BB1D1D；(2)若AA1=a，求C到平面A1B1C1的距离.(2)作OMB1C1于M，连CM，由三垂线定理得CMB1C1，在RtCC1M中，CC1=a，CC1M=60RtC1MO中，OC1M=30，有OC1=于是OC2=CC12=C1O2=即得C到平面A1B1C1的距离为ABCDA1B1C1D1OMC1M=例4．（08.全国Ⅱ)如图，正四棱柱中，(I)证明：A1C⊥平面BED；(II)求二面角A1—DE—B的大小．点E在C1C上且C1E=3EC．．解法一

依题设知AB=2，CE=1．

(I)如图，连结AC交BD于点F，则BD⊥AC.

由三垂线定理知，BD⊥AlC．在平面AlCA内，连结EF交AlC于点G，由于

∠CFE与∠FCAl互余，于是AlC⊥EF、AlC与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直，所以平面BED．故(II)作垂足为H，连结由三垂线定理知故是二面角的平面角．所以二面角的大小为解法二:以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．依题设B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1),A1(2,0,4)(I)因为故又所以平面BED．(II)设向量是平面的一个法向量，则故令则等于二面角的平面角，所以二面角的大小为练习3.已知:正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，（1）求二面角的大小；（2）求点B到平面的距离。HOA'D'C'B'D