人教A版必修第一册 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件（3份打包）

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5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时两角差的余弦公式

1.会用两点间距离公式推导出两角差的余弦公式；

2.掌握两角差的余弦公式及其应用．

【学习目标】

1

自主探究

设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β))．

连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，弧A1P1与弧AP重合，从而弧A1P1＝弧AP，所以AP＝A1P1.

根据两点间的距离公式，得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝，

化简得cos(α－β)＝.

当α＝2kπ＋β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．

利用两点间距离公式推导公式

(cosα－cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2

cosαcosβ＋sinαsinβ

1．公式：cos(α－β)＝.

2．简记符号：

3．使用条件：α，β都是．

两角差的余弦公式

C(α－β)

cosαcosβ＋sinαsinβ

任意角

思考：两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？

公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正．

【小试牛刀】

2

经典例题

题型一两角差的余弦公式的正用和逆用

题型二给值求值

题型二给值求值

跟踪训练2

题型三给值求角

3

当堂达标

【课堂小结】

1．给角求值或给值求值问题，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．

注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．

2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：

(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值．

【课后作业】

对应课后练习(共33张PPT)

第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正

弦公式及正切公式，了解它们的内在联系.

2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的化简、求值.

【学习目标】

1

自主探究

一.两角和与差的余弦公式

名称简记符号公式使用条件

两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R

两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R

思考利用cos(α－β)推导cos(α＋β)的过程中，利用了什么方法？

答案推导过程中，利用了角的代换的方法.α＋β＝α－(－β).

二.两角和与差的正弦公式

名称简记符号公式使用条件

两角和的正弦公式S(α＋β)sin(α＋β)＝___________________α，β∈R

两角差的正弦公式S(α－β)sin(α－β)＝___________________α，β∈R

sinαcosβ＋cosαsinβ

sinαcosβ－cosαsinβ

三.两角和与差的正切公式

名称公式简记符号条件

两角和的正切公式tan(α＋β)＝___________T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)

两角差的正切公式tan(α－β)＝____________T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)

思考和（差）公式中，α，β都是任意角，如果令α为某些特殊角呢？你能推导出诱导公式吗？还能得到哪些等式？

答案如将C（α-β）中的α换成π，可以得到诱导公式cos（π-β）=-cosβ等

如将T（α-β）中的α换成特殊角，如等

2

经典例题

题型一给角求值、化简

例1

(1)对于非特殊角三角函数求值问题，要先整体观察，如果整体符合三角公式形式，则整体变形；或将特殊角转换为特殊角的和或差的形式，学会逆用或变用公式。

(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：

总结

题型二给值求值（角）

例2

所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ

又因为α，β均为锐角，

(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解.

(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.

总结

3

当堂达标

√

∴f(x)为奇函数.

2(1).化简sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)＝________.

1

解析原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.

－1

＝2sin(15°－45°)

＝2sin(－30°)＝－1.

4.已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.

解析∵sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，

∴sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1，①

cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0，②

①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，

＝tan10°·tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.

1.(1)公式的推导.

(2)给式求值、给值求值、给值求角.

(3)公式的正用、逆用、变形用.

2.方法归纳：构造法.

3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围.

【课堂小结】

【课后作业】

对应课后练习(共33张PPT)

第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余

弦、正切公式.

2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公

式变形运用.

【学习目标】

1

自主探究

二倍角公式

三角函数公式简记

正弦sin2α＝___________S2α

余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝＝________C2α

正切tan2α＝T2α

2sinαcosα

2cos2α－1

1－2sin2α

思考倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？

答案倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况.

3.cos245°－sin245°＝.

0

【小试牛刀】

2

经典例题

题型一二倍角公式的正用、逆用

(3)cos20°·cos40°·cos80°.

总结：对于给角求值问题，一般有两类

(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.

(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.

题型二给值求值

√

√

总结：解决给值求值问题的方法

(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：

①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；

②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.

(2)注意几种公式的灵活应用，如：

题型三化简与证明

总结：证明问题的原则及一般步骤

(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.

(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.

＝cos20°－sin20°＋sin20°

＝cos20°.

(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B.

＝cos2Aco