10第一章绪论课件

常微分方程

Ordinarydifferentialequation常微分方程Ordinarydifferentialequation第一章绪论第二章一阶微分方程的初等积分法第三章一阶微分方程的解的存在定理第四章高阶微分方程第五章线性微分方程组课程目的/MajorSubjectionofCourse/

学习各类可求解的常微分方程和方程组的类型及其求解方法。熟悉常微分方程解的基本性质，如解的存在性，唯一性等内容，了解研究常微分方程的基本方法，如稳定性分析、定性分析等。课时/Periods/4节/周，共48学时。考试/Examination/

闭卷：期末考试。参考书目/ReferenceBooks/

叶彦谦，常微分方程讲义，高等教育出版社。庄万，常微分方程习题解，山东科学技术出版社。第一章绪论

Introduction微分方程概述/SketchofODE/基本概念/BasicConception/练习题/Exercise/本章要求/Requirements/

能快速判断微分方程的类型；掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式；

理解微分方程解的意义。CH.1Introduction

微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。1676年，莱布尼兹在给Newton（牛顿）的信中首次提到DifferentialEquations（微分方程）这个名词。微分方程研究领域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、Euler、Taylor、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。微分方程理论发展经历了三个过程：求微分方程的解；定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。§1.1

微分方程概述/SketchofODE/§1.1SketchofODE

含有未知量(数)的等式(或关系式)。例如:1代数方程(组)，其未知量为数一元n次代数方程：无理方程：方程组：2超越方程（组），其含有超越函数三角方程：指数方程：其特点：方程的解为实数（有限个或者无限个）方程/Equation/§1.1SketchofODE例

3函数方程（或泛函方程），其未知量为函数其特点：方程的解为有限个或无穷多个函数。定义：一个或几个包含自变量，未知函数以及未知函数的某些阶导数（或微商）的关系式，称之为微分方程

。§1.1SketchofODEn阶隐式方程n阶显式方程方程组偏微分方程偏微分方程不是微分方程§1.1SketchofODE例1：质量为m的物体在重力的作用下，沿铅直线下落，物体下落距离S(向下为正）随时间t而改变。在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离S应满足的微分方程。

微分方程模型举例/ModelingofODE/解：设在时刻t物体下落的距离为

按牛顿第二定律

§1.1SketchofODE

例2：放射性元素镭因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象成为衰变，实验知镭的衰变率与其当时的质量成比例。试求镭衰变的规律。

微分方程模型：含有自变量，未知函数及未知函数导数（或变化率）的关系式。解：设在任意时刻t镭的质量为R(t),§1.1SketchofODE背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长例3人口模型指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长.与常用公式的一致rtextx0)(=?指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合.

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代.

可用于短期人口增长预测.

不符合19世纪后多数地区人口增长规律.

不能预测较长期的人口增长过程.19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(logistic模型)指数增长模型例4传染病模型

描述传染病的传播过程.

分析受感染人数的变化规律.

预报传染病高潮到来的时刻.

预防传染病蔓延的手段.不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.背景与问题传染病的极大危害(艾滋病、SARS、)基本方法已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人,则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为.2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病.建模~日接触率SI模型模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmlogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染.增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数.mls/=模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触使健康者感染的人数不超过原有的病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0>1,i0<1-1/i(t)按S形曲线增长接触数(感染期内每个病人的有效接触人数)i(t)单调下降模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者.SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为.2）病人的日接触率,日治愈率,

接触数=/建模需建立的两个方程.模型4SIR模型无法求出的解析解先做数值计算,再在相平面上研究解析解性质(通常r(0)=r0很小)§1.2

基本概念/BasicConception/1.常微分方程和偏微分方程2.一阶与高阶微分方程3.线性和非线性微分方程4.解和隐式解5.通解和特解6.积分曲线和积分曲线族7.微分方程的几何解释-----方向场常微分方程与偏微分方程/ODEandPDE/

微分方程/DE/联系自变量、未知函数及其导数的关系式常微分方程/ODE/

在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。

偏微分方程/PDE/

自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。§1.2BasicConception一阶与高阶微分方程/FirstandHigherODE/微分方程的阶/Order/在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。当n=1时，称为一阶微分方程；当n>1时，称为高阶微分方程。例如§1.2BasicConception一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：一阶常微分方程的一般显式形式可表示为：类似的，n阶隐方程的一般形式可表示为：n阶显方程的一般形式为其中F及f分别是它所依赖的变元的已知函数。§1.2BasicConception线性和非线性微分方程/LinearandNonlinearODE/如果方程的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。例如：§1.2BasicConceptionn阶线性微分方程的一般形式为：其中均为的已知函数如：2阶线性方程的一般形式§1.2BasicConception解和隐式/Solution/

对于方程若将函数代入方程后使其有意义且两端成立即则称函数为该方程的一个解.或一阶微分方程有解即关系式若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程的隐式解。把方程解和隐式解统称为方程的解。包含了方程的解，§1.2BasicConception通解和特解/GeneralSolutionandSpecialSolution/常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几个常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解。常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解。例：二阶方程其通解而是方程满足初始条件解。§1.2BasicConception注1:注2:注3:类似可定义方程的隐式通解,

如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解.以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解.初值条件/InitialValueConditions/对于n阶方程初值条件可表示为n阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示一阶和二阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示§1.2BasicConception积分曲线和积分曲线族

/IntegralCurve(s)/一阶微分方程的解平面的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，而微分方程的通解表示表示平面的一族曲线，称它们为微分方程的积分曲线族。§1.2BasicConception方向场/DirectionalPattern/对于一阶微分方程其右端函数的定义域为，在定义域的每一点处，画一个小线段，其斜率等于，此时，点集就成为带有方向的点集。称此区域为由方程确定的方向场。常微分方程求解的几何意义是：在方向场中寻求一条曲线，使这条曲线上每一点切线的方向等于方向场中该点的方向。§1.2BasicConception例1画出方程的方向场。等倾线方程即也就是说，方向场中每点的方向与该点等倾线垂直。xyo§1.2BasicConception例2画出方程的方向场。等倾线方程xyo，拐点线方程§1.2BasicConception练习题1编号微分方程自变量未知函数常或偏阶数是否线性1234§1.3Exercise练习题2编号函数微分方程初始条件1234§1.3Exercise练习题3