人教A版高中数学必修同步数列-导学课件7

2.4等比数列第1课时等比数列1.等比数列一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,用q表示(q≠0).【思考】(1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗?提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”.(2)怎样利用递推公式表示等比数列?提示:=q(n≥2)或=q(q≠0).2.等比中项在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.【思考】G是a与b的等比中项,a与b的符号有什么特点?a,G,b满足的关系式是什么?提示:a与b同号,满足的关系式是G2=ab.3.等比数列的通项公式首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为an=a1qn-1.【思考】等比数列的通项公式是an=2n-1,其图象是由什么样的点组成的?与函数y=2x-1的图象有什么关系?提示:通项公式为an=2n-1的图象是由离散的点构成,这些离散的点都在函数y=2x-1的图象上.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于常数,这个数列一定是等比数列. (

)(2)若G是a与b的等比中项,则G=

(

)(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列.(

)提示:(1)×.应等于同一个常数.(2)×.G=±(3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.2.已知2,b,8是等比数列,则实数b= (

)

A.6 B.4 C.-4 D.4或-4【解析】选D.因为2,b,8成等比数列,所以b=±=±4.3.在等比数列{an}中,a1=-3,a4=81,则an=______

.

【解析】设等比数列{an}的公比为q,因为a1=-3,a4=81,所以81=-3×q3,解得q=-3,则该数列的通项an=(-3)×(-3)n-1=(-3)n.答案:(-3)n第1课时等比数列(2)考查出数列的前三项进行证明.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.所以数列{bn}是等比数列.(1)求证:{an}是等比数列;则q=-2,则a1=【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,【典例】已知数列{an}满足a1=1,2an+1=3an+1.(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列.因为an=(n+8)d,又因为=a1·a2k,若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变,证明:{an+1}是等比数列.所以b=±=±4.所以{an}是首项为-,公比为-的等比数列.已知2,b,8是等比数列,则实数b= (){an}中,a2=1,a4a6=64,则公比q= ()将条件用a1,q表示,消元求公比.(1)已知a3=9,a6=243,则a5=______.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考查是否能转化为等比中项表示;【解析】(1)由a3=9,a6=243,类型一等比数列基本量的计算【典例】1.(2019·南宁高一检测)在等比数列{an}中,若a2=3,a5=-24,则a1= (

)

2.(2019·资阳高一检测)已知各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,则公比q= (

)A.4 B.3 C.2

D.

3.(2019·齐齐哈尔高一检测)在公比为整数的等比数列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3=

,则{an}的通项公式an=______

.

【思维·引】1.用a1,q表示出a2,a5代入解题.2.将条件用a1,q表示,消元求公比.3.联立方程组,利用两式相除计算解题.【解析】1.选C.设公比为q,则则q=-2,则a1=2.选C.因为各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,a4a6=64,所以且q>0,解得a1=q=2,所以公比q=2.3.设等比数列的首项为a1,公比为q,因为a2-a3=-2,a1+a3=所以两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,由公比q为整数可得,q=3,a1=.所以an=3n-2.答案:3n-2【内化·悟】计算等比数列的基本量时常用到哪种运算?提示:常用到两式相除.【类题·通】关于等比数列基本量的运算(1)基本量:a1,q,n,an;(2)联系:基本量之间的联系就是通项公式an=a1qn-1,将条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计算.【习练·破】在等比数列{an}中(1)已知a3=9,a6=243,则a5=______

.

(2)已知a1=

,an=

,q=

,则n=______

.

【解析】(1)由a3=9,a6=243,得a1q2=9,a1q5=243.所以q3==27,所以q=3.所以a1=1.所以a5=a1q4=1×34=81.答案:81(2)因为a1=,q=,an=,所以所以所以n-1=3,所以n=4.答案:4【加练·固】已知an=625,n=4,q=5,求a1.【解析】a1==5,故a1=5.类型二等比中项及其应用【典例】1.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3-

,c=3+

,则b= (

)

A.2

B.-2 C.±2 D.42.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于 世纪金榜导学号(

)A.2 B.4 C.6

D.8【思维·引】1.利用b是a,c的等比中项求值.2.将ak,a2k用d表示出来,再利用等比中项列式求值.【解析】1.选C.三个实数a,b,c成等比数列,则b2=ac=(3-)(3+)=9-5=4,则b=±2.2.选B.因为an=(n+8)d,又因为=a1·a2k,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.【内化·悟】等比数列中,a1和a5的等比中项是哪一项?a2和a8呢?提示:a1和a5的等比中项是a3,a2和a8的等比中项是a5.【类题·通】应用等比中项解题的两个关注点(1)如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考查是否能转化为等比中项表示;(2)等比中项一般不唯一,但是如果在等比数列中,还要关注项的关系,如a4是a2,a6的等比中项,而a4=a2q2,因此a4与a2的符号相同.【习练·破】-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=______

.

【解析】设该等比数列的公比为q,因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,又因为b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.答案:-125【加练·固】已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,求

的值.【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,则a2-a1=d=×[(-4)-(-1)]=-1,因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,所以=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.所以b2=-2,所以类型三等比数列的判定角度1利用定义证明等比数列【典例】已知数列{an}满足a1=1,2an+1=3an+1.证明:{an+1}是等比数列. 世纪金榜导学号【思维·引】证明为常数,或整体构造证明.【证明】方法一:因为2an+1=3an+1,所以an+1=所以方法二:因为2an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),所以所以{an+1}是以为公比的等比数列.【素养·探】在利用定义法证明等比数列的过程中,常常用到核心素养中的逻辑推理,利用等比数列的定义进行证明.若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变,证明:{an+1}是等比数列.证明:因为an+1=2an+1,所以所以{an+1}是以2为公比的等比数列.角度2已知Sn与an的关系证明等比数列【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=

an+b(n∈N*,b∈R,b≠0).(1)求证:{an}是等比数列;(2)求证:{an+1}不是等比数列. 世纪金榜导学号【思维·引】(1)消去Sn,利用an,an-1的关系证明;(2)考查出数列的前三项进行证明.【证明】(1)因为Sn=an+b,所以当n≥2时Sn-1=an-1+b,两式相减得Sn-Sn-1=an+b-an-1-b,所以an=an-an-1,所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,故{an}是公比为q=3的等比数列.(2)令n=1,则S1=a1+b,所以a1=-2b,所以a2=-6b,a3=-18b,所以数列{an+1}的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,(a2+1)2=1+36b2-12b.(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,因为b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),故数列{an+1}不是等比数列.【类题·通】关于等比数列的证明(1)定义法①涉及an+1,an,an-1的式子,将关系式代入后证明

(n≥2)为常数.②涉及Sn与an的式子,则利用an=Sn-Sn-1,n≥2,消去Sn,判断an,an-1或an+1,an的关系证明.(2)等比中项法证明

=an-1an+1(n≥2)即可,常用于证明表达式较为复杂的三项成等比数列.【习练·破】已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=

(an-1)(n∈N*).(1)求a1,a2;(2)求证:数列{an}是等比数列.【解析】(1)由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),所以a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.(2)当