3-3-两个变量的独立性与函数分布解读课件

第三节两个变量的独立性与函数分布１．Def:如果随机变量

X、Y

满足：对所有的实数x与y

，联合分布函数都等于边缘分布函数的乘积：

F(x,y)=FX(x)×FY(y)

则称

随机变量

X、Y是相互独立的.(independent,

缩写为：ind)随机变量的独立就是事件独立性的推广一.随机变量的相互独立２.

如何判断随机变量的独立①按照独立性的定义联合分布函数等于边缘分布函数的乘积，即，

F(x,y)=FX(x)×FY(y)例1讨论下面X、Y的独立性

(1–

e–2x)(1–

e–

y),

当x

、y

＞0F(x,y)=0，其它②按照随机变量的类型联合分布律等于边缘分布律的乘积.

即，pij

=pi·×p·j

对全部i、j成立两个离散随机变量的独立两个连续随机变量的独立联合密度函数等于边缘密度函数的乘积。即，p(x,y)=pX(x)×pY(y)对全部x、y成立

例2从

1，2，3，4中随机地取一个数

X，再从1，···，X中随机地取一个数

Y，判断X、Y是否独立？解.联合分布律以及边缘分布律是：显然X、Y不独立。X\Y1234pi·

11/40001/4

21/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4p·j

25/4813/487/483/481解例3已知（X,Y)的分布率为(1)由分布律的性质知特别有又(2)因为X与Y相互独立,所以有例4设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？x>0

即：对一切x,y,均有：故X,Y独立y>0解：解由于X与Y相互独立,例5例6已知

X、Y的联合密度如下：判断他们是否独立?

4xy,

当0

＜

x,y＜

1(1)p(x,y)

=0，其它

8xy,

当0

＜

x＜

y＜

1(2)p(x,y)

=0，其它

因此X、Y

相互独立X、Y不独立例7X、Y

服从二维正态分布

(X,Y)

~N(1,2

;12,22;)

证明X、Y相互独立的充分必要条件是=0。证明.

(充分性)已知参数

=0，因此

X、Y相互独立；

(必要性)已知X、Y独立，特别取

x=

1、y=2

，

根据p(1,2)

=pX

(1)×pY

(2)

因此可以证明=0。

补充③条件分布等于无条件分布也蕴涵了独立性

p

j|i=p·j

或者是p

i|j=pi·；pY|X

(y|x)=pY(y)或者是pX|Y

(x|y)=pX(x)回顾

随机事件A、B的相互独立。思考1

如何定义若干个随机变量的相互独立？(P93)３.

如何应用随机变量的独立两个随机变量的独立可以理解成：与这两个随机变量有关的所有随机事件都是独立的比如：(1)大多数的情况下，随机变量的独立性是用于：从各自的(边缘)分布得到联合分布。(P92的例题)(2)可以证明，如果X,Y相互独

g(·)与h(·)都是连续(或者单调)函数，那么

g(X)与h(Y)也是相互独立的随机变量。(P94定理)如：若X,Y为相互独立的r.v，则aX+b,cY+d也相互独立；X2,Y2

也相互独立；若两随机变量相互独立,且又有相同的分布,不能说这两个随机变量相等.

如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互独立，则X-11

-110.250.25Ypij0.250.25注意由左表易得：故不能说他们相等二.

两个随机变量函数的分布已知r.v.(X,Y)的概率分布,

g(x,y)为已知的二元函数,转化为与(X,Y)有关的事件问题方法求Z=g(X,Y)的概率分布１．(X,Y)是离散随机向量首先确定Z=f(X,Y)所有可能的取值

f(xi,yj)，相应的概率是pij

；其次，把所有取相同值的

f(xi,yj)对应的概率相加。即:例８设两个独立的随机变量X与Y的分布律为求随机变量Z=X+Y的分布律.得因为X与Y相互独立,所以解可得所以例９

设二维r.v.(X,Y)的概率分布为XYpij

-112-10求的概率分布解

根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20故得PX+Y-2-1012PX-Y-10123PXY-2-101PY/X-1-1/201２．(X,Y)为是连续随机向量根据联合密度函数p(x,y)计算一个二重积分，得到

Z

=g(X,Y)的分布函数FZ

(z)；把FZ

(z)对z求导则能够得出Z=g(X,Y)

的密度函数pZ

(z)。FZ

(z)=P{g(X,Y)≤z}计算两个随机变量函数分布的关键问题：这个二重积分能够被计算出来，或者是能够被转化为二次积分的形式。①连续随机变量和的分布

假定已知

X、Y

具有联合密度函数p(x,y)

，则

Z=X+Y的概率密度函数是如下积分：特别的，当

X、Y

独立时，有公式：证明:由此可得概率密度函数为由于X与Y对称,当X,Y独立时,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例10

若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷积公式也即如图示:于是解例11此时代入即可例12

（P95）已知X、Y

独立同分布于N(0,1)

，则

Z=X+Y的密度函数是即，Z=X+Y服从正态分布N(0,2)

。

一般地，如果X、Y

相互独立，并且有

X~N(1

,2)，Y~N(2

,2)，则

Z=X+Y服从正态分布N(1+2

,22)分布的“可加”(1).正态分布对两个参数都具有可加性更一般的，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。如果X、Y

相互独立，并且

X~N(1

,12)，Y~N(2

,22)，

则X+Y服从正态分布N(1+2

,12+22)。(2).二项分布对于参数n

具有可加性二项分布可以表示成两点分布随机变量的和①如果X1、X2、…、Xn

相互独立同分布于B(1,p)，则有X=X1+X2+…+Xn~B(n

,p)。②

如果X~B(n

,p)，则可以分解

X=X1+X2+…+Xn

。如果X、Y

相互独立，并且

X~B(n,p

)，Y~B(m,p

)，

则X+Y服从二项分布B(m+n

,p

)。(3).泊松分布对于参数具有可加性如果X、Y

相互独立，并且

X