第四章-随机变量的数字特征-《概率论》课件

概率论与数理统计第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征

前面两章讨论了随机变量的分布函数，我们知道分布函数能够完整的描述随机变量取值的统计特征。但在一些实际问题中，不需要全面考察随机变量的变化情况(有时分布函数也是很难获得的)，而只需要知道随机变量的某些特征就足够了(如知道了班级的平均成绩和成绩的分散程度就可以大致了解教学方法的质量效果).本章就来介绍随机变量的一些重要特征：数学期望、方差、相关系数和矩。概率论与数理统计第四章、随机变量的数字特征本章主要内容数学期望方差协方差和相关系数炬协方差矩阵二维正态分布§4.1数学期望概率论与数理统计§4.1、数学期望一、离散型随机变量的数学期望定义1设X为离散型随机变量，其分布律为如果级数绝对收敛，则称该级数为随机变量X的数学期望，记作EX。如果级数不是绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。概率论与数理统计§4.1、数学期望[注]1）随机变量X的数学期望是一个常量.即EX=常数，而不是函数.绝对收敛的级数的和.2）离散型随机变量的数学期望是一个例1若X～求EX.例2设随机变量X服从二项分布，求EX.二项分布的数学期望是两个参数的乘积.概率论与数理统计§4.1、数学期望例3设随机变量X～,求EX。泊松分布的数学期望等于参数。例4设随机变量X的概率分布为则EX不存在.概率论与数理统计§4.1、数学期望二、连续型随机变量的数学期望定义2设X～，如果广义积分绝对收敛，则称该积分为随机变量X的是绝对收敛，则称随机变量X的数学期数学期望，如果广义积分不望不存在。也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.概率论与数理统计§4.1、数学期望例5

求均匀分布的数学期望。均匀分布的数学期望等于区间的中点。例6

求指数分布的数学期望。指数分布的数学期望等于参数的倒数。概率论与数理统计§4.1、数学期望例7求正态分布的数学期望。正态分布的数学期望等于第一个参数。例8求柯西分布的数学期望。柯西分布的数学期望不存在。概率论与数理统计§4.1、数学期望三、二维随机向量的数学期望定义3设二维随机向量(X，Y)，如果EX及EY

E(X，Y)=（EX，EY).机向量的(X，Y)的数学期望，记作存在，则称二维向量(EX，EY)为二维随[注]1)若(X,Y)的联合概率分布律为：概率论与数理统计§4.1、数学期望2)若（X,Y）的联合密度函数为例9设(X,Y)的密度函数为求E(X),E(Y).概率论与数理统计§4.1、数学期望四、随机变量函数的数学期望定理1

设随机变量Y是随机变量X的函数且EY存在，则(1)若随机变量X是离散型的,（2）若随机变量X是连续型的，且X～则且若X～概率论与数理统计§4.1、数学期望[注]（1）定理1的证明比较烦琐，故略去。（2）定理1告诉我们：在求随机变量函数的数学期望时，使用此定理比较方便。不必先求出随机变量函数的分布，再求函数的数学期望。可直接使用定理1的两个公式。概率论与数理统计§4.1、数学期望例10设随机变量X服从二项分布，求例11

设随机变量X~,求例13

设X服从参数为λ泊松分布，例12

设X服从参数为λ指数分布，概率论与数理统计§4.1、数学期望定理2设(X,Y)是二维随机向量，则随机变量

Z=g(X,Y)是二维随机向量(X,Y)的函数，1)若(X,Y)的联合概率分布律为：2）若(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)概率论与数理统计§4.1、数学期望例13设随机变量X与Y相互独立，密度函数分别为：求随机变量Z=X

+Y的数学期望。五、数学期望的性质1.设C是常数，则。2.设X是一个随机变量，C是常数，则3.

E(X±Y)=E(X)±E(Y)。4.设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)。注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立概率论与数理统计§4.1、数学期望例14设随机向量(X,Y)的联合概率分布律为判定X与Y是否相互独立?0.300.30.10.20.1

-1

1-101(2)E(XY)与(EX)(EY)相等吗?概率论与数理统计§4.1、数学期望概率论与数理统计§4.1、数学期望例15一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求EX。（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）§4.2方差

上一讲我们介绍了随机变量的数学是随机变量的一个重要的数字特征.期望，它体现了随机变量取值的平均水平，但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.概率论与数理统计§4.2方差例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.炮弹，其落点距目标X,Y的位置如图：中心中心概率论与数理统计§4.2方差1.基本概念定义1

设随机变量X的数学期望存在，称X-EX为随机变量X的离差。[注]由于E(X-EX)=

EX-EX=0，因此随机学期望的偏离程度。离差平方的数学期望来描述随机变量X与数变量的偏差有正有负相互抵消，为此我们用为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值的离散程度(稳定性).这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差概率论与数理统计§4.2方差定义2

设随机变量X的数学期望存在，称为随机变量X的方差，记作DX。即采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正面的作用X为离散型，P(X=xk)=pk[注]1）方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2X为连续型，X~f(x)的数学期望.概率论与数理统计§4.2方差5）方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.方差越小，说明随机变量X的取值越密集在4）方差是一个常量；3）称方差的算术平方根称为标准差；2）数学期望EX附近；而方差较大，则X的取值比较分散.概率论与数理统计§4.2方差2.计算方差的一个简化公式

D(X)=EX2-[E(X)]2

2）EX；3）DX. 到3张卡片上的最随机抽取3张，用X表示取1张，标有数字2及3的卡片各有2张，从袋中例1袋中有5张卡片，其中标有数字1的卡片有大数字，求1）随机变量X的概率分布；概率论与数理统计§4.2方差例2

设X～,求EX；DX.

3.

方差的性质设为常数，则：概率论与数理统计§4.2方差若X,Y相互独立，则4）4.常见随机变量的方差的计算(1)二项分布设X~b(n,p),特别地X服从0-1分布,则(2)泊松分布概率论与数理统计§4.2方差(3)均匀分布(4)指数分布(5)正态分布概率论与数理统计§4.2方差概率论与数理统计§4.2方差若且它们相互独立，则例3

设X～，判定随机变量X的方差不存在。X的方差一定不存在；由该例可知，即使X的方差注：由定义知若R.V.X的期望不存在，则不存在，X的数学期望可能存在。三、切比雪夫(Chebyshev)不等式定理1

设随机变量X的数学期望及方差均存在，则对于任意，有或概率论与数理统计§4.2方差例4设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差，令求。[注]1）在切比雪夫不等式中，固定的值，当方差越小，随机变量X在与区间上取值的概率越小。这说明随机变量X都密集在EX附近，因而又一次说明方差是描述随机变量X的离散程度。2）切比雪夫不等式可对一些事件的概率进行估计。概率论与数理统计§4.2方差例5设电站电网有10000盏电灯，每晚各个电灯在6800～7200之间的概率。此相互独立，估计每晚同时开着的电灯个数开着的概率为0.7，假定各个灯开、关时间彼说明同时开着的电灯在6800~7200的概率很大.概率论与数理统计§4.2方差不等式证明：例6

设X～,利用切比雪夫概率论与数理统计§4.2方差前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机向量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的就是协方差与相关系数。§4.3

协方差与相关系数定义1

设X与Y是两个随机变量，且EX，EY均存在，则称E(X-EX)(Y–EY)为X与Y的协

方差，记作COV(X,Y)一、协方差1.基本概念概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数2.简单性质a,b是常数3.计算协方差的一个简单公式性质1：若X与Y独立，则概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数4.随机变量和的方差与协方差的关系若两两独立,，上式化为概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数例5

设随机向量(X,Y)的联合密度函数为：求cov(X,Y)？概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数二、相关系数为随机变量X和Y的相关系数

.定义2

设(X,Y)是二维随机向量,它们的方差

D(X),D(Y)存在,且D(X)>0,D(Y)>0,称

概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数Cauchy-Schwarz不等式：设有R.V.X，Y，且存在，则定义3

若，则称随机变量X与Y是不相关的。否则称X与Y有(线性)相关关系.性质2：若随机变量X与Y相互独立，则X与Y是不相关的；反之若随机变量X与Y是不相关的，未必有X与Y相互独立。定理2

设X与Y是任意两个随机变量,且存在，则例5

设随机向量(X,Y)等可能地取(-2,0),(0,-2),

(2,0),(0,2)四个点，试判断X与Y是否相互独立？X与Y是否不相关？概率论与数理统计§4.3协方差与相关系数定理3

的充分必要条件是存在常数a，b使得从上述定理可以知道：相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.X与Y不相关；X与Y之间具有完全的线性相关.

注意:

相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量(参见如下的示意图).N(0,16)，且X与Y的相关系数为设2)求X与Z的相关系数例8

设随机变量X、Y分别服从正态分布N(1,9)，1)求EZ及DZ；例7已知随机变量Z服从()上的均匀分布，且X=sinZ，Y=cos(a+Z),求X与Y的相关系数一、

矩

协方差矩阵定义1设X和Y是随机变量，若存在，称它为X的k阶原点矩。称它为X的k阶中心矩。称它为X和Y的k+l阶混合原点矩。称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。若存在，若存在，若存在，设n维随机变量的二阶混合中心矩都存在，称矩阵为n维随机变量的协方差矩阵二、n维正态分布

定义1

若二维随机变量的联合概率密度为其中是实数,则称服从参数为的二维正态分布,记作称上述的为二维正态概率密度.

可以证明,若则

也就是说,二维正态分布的两个边缘分布仍然为正态分布,而且其边缘分布不依赖于参数.因此可以断定参数描述了与之间的某种关系!二维正态分布的5个参