3电磁场与电磁波-静态电磁场及其边值问题的解课件

第三章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场：当场源(电荷、电流)不随时间变化时，所激发的电场、磁场也不随时间变化，称为静态电磁场，是电磁场的一种特殊形式。时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场；静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立。三种静态电磁场：静电场：由静止电荷产生；恒定电场：由导电媒质中的恒定运动电荷形成；恒定磁场：由恒定电流产生。•

电磁场与电磁波•3.1静电场分析3.2导电媒质中的恒定电场分析3.3恒定磁场分析3.4静态场的边值问题及解的惟一性原理3.5镜像法3.6分离变量法3.7有限差分法

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•3.1.1静电场的基本方程和边界条件3.1.2电位函数3.1.3导体系统的电容3.1.4静电场的能量3.1.5静电力3.1静电场分析

第三章静态电磁场及其边值问题的解

静电场是由静止电荷激发的，是电磁场的一种重要的、特殊的形式。•

电磁场与电磁波•3.1.1静电场的基本方程和边界条件

积分形式：微分形式：本构关系：基本方程表明：静电场是一个有通量源(静止电荷)而没有旋涡源的矢量场。一、基本方程

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•二、边界条件1.电场强度的边界条件

第三章静态电磁场及其边值问题的解

或表明在两种媒质的分界面上，电场强度的切向分量是连续的。2.电位移矢量的边界条件或表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

或此时，在分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的。由边界条件：和，可得场矢量在分界面上的折射关系：若分界面上不存在自由面电荷，即S=0，则媒质2媒质1•

电磁场与电磁波•3.1.2电位函数

一、电位和电位差

第三章静态电磁场及其边值问题的解

电位函数可以用一个标量函数的梯度表示引入电位函数（简称为电位，单位为V）：电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；负号表示电场指向电位减小最快的方向。电位的单位是V，因而电场强度的单位是V/m。•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

电位函数的求解点电荷产生的电位点电荷q产生的电位函数为其中，C为任意常数。•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

分布电荷产生的电位体电荷面电荷线电荷引入电位函数的意义：简化电场强度的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，再由关系得到电场解——间接求解法。•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

电位差（电压）两端点乘，则有将上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得*关于电位差的说明*

P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。电位差也称为电压，可用U表示。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q两点间的电位差电场力做的功•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

电位参考点静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)两点间电位差有定值

选择电位参考点的原则应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单（若场源电荷分布在有限区域，通常取无限远处作为电位参考点）。同一个问题只能有一个参考点。电位参考点电位一般为0。为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

例3.1.1

求电偶极子的电位。

解：在球坐标系中用二项式展开，由于，得代入上式，得表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子zod－q•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

解：选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点P的位置矢量为

，则若选择点O为电位参考点，即，则在球坐标系中，取极轴与的方向一致，即，则有在圆柱坐标系中，取与x轴方向一致，即，而，故例3.1.2

求均匀电场的电位分布。•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

xyzL-L解：采用圆柱坐标系，令线电荷与z

轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与无关。在带电线上位于z'处的线元dl'=dz'

，它到点的距离，则例题：求长度为2L、电荷线密度为l0的均匀带电线的电位。•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

在上式中若令，则可得到无限长直线电荷的电位。当时，上式可写为当时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有并选择有限远处为电位参考点。例如，选择

=a

的点为电位参考点，则有•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•二、静电位的微分方程

第三章静态电磁场及其边值问题的解

泊松方程和拉普拉斯方程根据静电场基本方程的微分形式，可推导出电位函数与产生电场的源(电荷)之间满足的泊松方程和拉普拉斯方程。在均匀、线性各向同性介质中，有若空间中无自由电荷分布（=0），则拉普拉斯方程泊松方程•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

电位的边界条件设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离Δl→0时，由和媒质2媒质1若介质分界面上无自由电荷，即S=0•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

例3.1.3

两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a处，在两板之间的x=b处有一面密度为S0的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。解：在两块无限大接地导体平板之间，除x=b处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程方程的解为obaxy两块无限大平行板•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

利用边界条件，有

x=0处，

x=a处，

x=b处，所以•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

最后得由此解得•

电磁场与电磁波•3.1.3导体系统的电容电容是导体系统的一种基本属性，它是描述导体系统储存电荷能力的物理量。我们定义两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与导体之间的电位差之比，即电容的单位是F（法拉）。电容的大小与电荷量、电位差无关，因为该比值为常数。电容的大小只是导体系统的物理尺度及周围电介质的特性参数的函数。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•对于传输线双导体系统，由于其纵向尺寸远大于横向尺寸，故可作为平行平面电场(二维场)来研究，只需计算传输线单位长度的电容。计算步骤如下：根据导体的几何形状，选取合适的坐标系；假定两导体上分别带电荷+q和-q；根据假定的电荷求得电场强度；由求得电位差；求出比值。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

一、双导体的电容计算•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

例3.1.4

如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且D>>a，求传输线单位长度的电容。解：设两导线单位长度带电量分别为+l

和-l。由D>>a，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P的电场强度为两导线间的电位差故单位长度的电容为•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

例3.1.5

同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内外导体间填充的介电常数为的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差解：设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为l

和-l，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为同轴线•

电磁场与电磁波•三导体系统的部分电容指多导体系统中，一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

二、部分电容•

电磁场与电磁波•…

第三章静态电磁场及其边值问题的解

式中，Cii是导体与地之间的电容，称为导体i的自由部分电容；Cij是导体之间的电容，称为导体i与导体j之间的互有部分电容，且Cij=Cji。•

电磁场与电磁波•3.1.4静电场的能量

第三章静态电磁场及其边值问题的解

如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

一、静电场的能量假设系统从零开始充电，最终带电量为q、电位为。充电过程中某一时刻的电荷量为q、电位为，其中0≤≤1。当增加为(+d)时，外电源做功为(qd)。对从0到1积分，即得外电源所做的总功为根据能量守恒定律，此功也就是电量为q的带电体具有的电场能量We，即对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元dV中的电荷dV具有的电场能量为•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有式中：qi——第i个导体所带的电荷

i——第i个导体的电位•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

二、能量密度前面的电场能量公式是用电荷和电位表示的，容易误解为静电场能量只存在于有电荷分布的区域。从场的观点看，静电场能量实际上储存于场量不为0的整个空间，用场量也可表示静电场能量：•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

由于体积V外的电荷密度＝0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有故ρρ＝0S电场的总能量电场能量密度对于线性、各向同性介质，则有单位：J/m3（焦耳/米3）•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

例3.1.6

半径为a的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电荷，试求静电场能量。

解：方法一：利用计算根据高斯定理求得电场强度故•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

方法二：利用计算先求出电位分布故•

电磁场与电磁波•导体长度

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•3.1.5静电力根据库仑定律或电场强度的定义可计算电荷q所受的电场力；电场强度一般是指除q以外其它电荷在q所在处产生的电场强度，其计算对复杂系统来说非常困难。此时要用虚位移法计算电场力；虚位移法：假设带电导体系统中某一导体发生一小的位移，利用其中的功能转换关系来确定该导体所受的电场力。由于计算出的力是没有发生位移时的力，即位移是虚设的，故称虚位移法。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•因这个位移会引起电场强度的改变，这样电场能量就要产生一个增量dWe；再根据能量守恒定律，电场力作功及场能增量之和应该等于外源供给带电系统的能量dWS，即：虚位移法求带电导体所受电场力的思路：假设在电场力的作用下，受力导体有一个位移，从而电场力做功

；

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•一、假设各带电体的电荷保持不变(恒电荷系统)如果虚位移过程中，各个导体的电荷量不变，就意味着各导体都不连接外源，此时外源对系统做功dWS为零，即因此，在位移的方向上，电场力为

第三章静态电磁场及其边值问题的解

“-”表明此时电场力做功是靠减少系统的电场能量来实现的，因为系统与外电源断开，没有提供能量。•

电磁场与电磁波•二、假设各带电导体的电位保持不变(恒电位系统)如果在虚位移的过程中，各个导体的电位不变，就意味着每个导体都和恒压电源相连。此时，当导体的相对位置改变时，每个电源要向导体输送电荷而做功。设各导体的电位分别为1、2、…、n，各导体电荷增量分别为dq1、dq2、…、dqn，则电源做功为而系统的电场能量为

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•其增量为则因此，在位移的方向上，电场力为

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•【例】若平板电容器极板面积为A，间距为x，电极之间的电压为U，求极板间的作用力。解：设一个极板在yoz平面，第二个极板的坐标为x。此时，电容器储能为当电位不变时，第二个极板受力为

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•当电荷不变时，考虑到将能量表达式改写为

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•作业3.3、3.5、3.7、3.9

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•3.2导电媒质中的恒定电场分析若电流密度不随时间变化，仅仅是空间坐标的函数，则构成一个恒定电流场。要在导电媒质中维持恒定电流，必须存在一个恒定电场。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

3.2.1恒定电场的基本方程和边界条件3.2.2恒定电场与静电场的比拟•

电磁场与电磁波•一、基本方程

第三章静态电磁场及其边值问题的解

恒定电场的基本方程微分形式：积分形式：恒定电场的基本场矢量是电流密度和电场强度线性各向同性导电媒质的本构关系恒定电场的电位函数由若媒质是均匀的，则3.2.1恒定电场的基本方程和边界条件

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电磁场与电磁波•二、边界条件

第三章静态电磁场及其边值问题的解

媒质2媒质1场矢量的边界条件场矢量的折射关系电位的边界条件或或•

电磁场与电磁波•3.2.2恒定电场与静电场的比较

第三章静态电磁场及其边值问题的解

此外，恒定电场中有电场能量的损耗，要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

恒定电场与静电场的比拟•

电磁场与电磁波•在恒定电场中，G称为电导，是电阻的倒数，定义为对于欲求解的恒定电场问题，若对应的具有相同边界形状的静电场问题的解为已知，则恒定电场的解便可利用上面的对偶关系直接写出，无需重新求解，称该法为静电比拟法。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

例3.2.1

求同轴电缆单位长度绝缘电阻。设内外导体的半径分别为a、b，内外导体之间媒质的电导率为、介电常数为。解：直接用恒定电场的计算方法电导为绝缘电阻为则I设由内导体流向外导体的电流为I。内外导体间的电压为•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•☆接地电阻将电气设备的某一部分和大地连接：如果是为了保证工作人员的安全，并使设备可靠的工作而接地，称为保护接地；如果利用大地作为传输导线，或者消除设备的导电部分对地电压的升高而接地，称为工作接地；为了接地将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的部分与该导体连接，这种埋在地内的导体或导体系统称为接地体(接地器)。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

电流由接地体流向大地和电流流经大地时都要遇到一些电阻，这些电阻统称为接地电阻，接地电阻主要是指大地的电阻。•

电磁场与电磁波•在计算接地电阻时，必须分析大地中电流的分布，因为电流在流散时，在电极附近电流密度最大，所遇到的电阻也就主要集中在电极附近：对于深埋地中的接地体，一般不考虑地面的影响，这时接地电阻为其中，R为球形电极的半径。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

紧靠地面的半球形接地体，接地电阻为•

电磁场与电磁波•例题：计算深埋地下半径为a的导体球的接地电阻(如下图所示)。设土壤的电导率为。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将导体球看作等位体。用静电比拟法，位于电介质中的半径为

a的导体球的电容为所以导体球的接地电导为故得接地电阻为

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

例3.2.2

计算半球形接地器的接地电阻。

解：(方法1)用恒定电场的基本关系式求解。假设大地的电导率为，流过接地器的电流为I，则大地中的电流密度为故•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

(方法2)用静电比拟法求解。均匀介质中的孤立球的电容为C=4a，故均匀导电媒质中孤立球的电导为G=4a，半球的电导为G=2a，所以半球接地器的接地电阻为•

电磁场与电磁波•作业3.10、3.11、3.12、3.13

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•3.3.1恒定磁场的基本方程和边界条件3.3.2矢量磁位和标量磁位3.3.3电感3.3.4恒定磁场的能量3.3.5磁场力

第三章静态电磁场及其边值问题的解

3.3恒定磁场分析

恒定磁场是由恒定电流激发的，是电磁场的另一种重要的、特殊的形式。•

电磁场与电磁波•积分形式：微分形式：磁通连续性原理，表示磁场无通量源，磁力线总是闭合安培环路定律，表示恒定电流是磁场强度的漩涡源恒定磁场是有旋无散的矢量场本构关系：线性、各向同性磁介质3.3.1恒定磁场的基本方程和边界条件

一、基本方程

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•二、边界条件

第三章静态电磁场及其边值问题的解

1.磁感应强度的边界条件2.磁场强度的边界条件或或表明在分界面上，磁感应强度的法向分量是连续的。表明在分界面上存在自由面电流分布时，磁场强度的切向分量是不连续的。若分界面上不存在自由面电流，则表明此时的磁场强度切向分量是连续的。或•

电磁场与电磁波•磁通总是连续的，磁感应强度的散度处处为0，即可知磁感应强度可以表示为某一矢量的旋度，即式中的称为矢量磁位(或称磁矢位)，是一个辅助矢量，其单位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韦伯/米)。一、矢量磁位3.3.2矢量磁位和标量磁位1.矢量磁位的定义

第三章静态电磁场及其边值问题的解

引入矢量磁位的意义：引入辅助函数，可通过间接求解法求解空间磁场分布，简化磁场问题的求解！•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

2.库仑规范与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。根据亥姆霍兹定理可知，要惟一地确定一个矢量必须同时给出它的散度和旋度。因此要惟一确定磁矢位，必须对的散度作一个规定。对于恒定磁场，一般规定称这种规定为库仑规范。在这种规范下，磁矢位就被惟一确定。•

电磁场与电磁波•3.矢量磁位的微分方程根据真空中的安培环路定律的微分形式可得：上式称为磁矢位的泊松方程。对无源区()，有上式称为磁矢位的拉普拉斯方程。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•即这三个标量形式的泊松方程与静电位的泊松方程形式相同，故可参照电位的形式直接写出

第三章静态电磁场及其边值问题的解

在直角坐标系下，泊松方程可写为4.矢量磁位的积分计算公式•

电磁场与电磁波•将以上三个分量叠加即得磁矢位泊松方程的解

第三章静态电磁场及其边值问题的解

式中的为常矢量，它的存在不会影响。或者由磁感应强度的公式也可得体电流产生的磁矢位。磁矢位的方向与电流的方向相同•

电磁场与电磁波•相应地，面电流和线电流产生的磁矢位可用相应的电流元和积分替换得到据上面三式，由体电流密度、面电流密度和电流强度I先计算磁矢位，再由计算磁感强度，比直接用毕奥-萨伐尔定律计算简单。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

例3.3.1求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为a，回路中的电流为I。解：如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均与

无关，计算xoz平面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。小圆环电流aIxzyrRθIPO•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

对于远区，有r>>a

，所以由于在=0面上，所以上式可写成于是得到式中S=a2是小圆环的面积。•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

载流小圆环可看作磁偶极子，称为磁偶极子的磁矩(或磁偶极矩)，则或•

电磁场与电磁波•例3.3.2求无限长直线电流的矢量磁位。解:先计算长度为l的直线电流的矢量磁位，将直线对称地放于z轴上，如右图所示。因电流仅有z轴方向的分量，故磁矢位也如此。采用圆柱坐标系有

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

当l为无限大时，有•

电磁场与电磁波•那么矢量磁位也为无限大。为使磁矢位不为无穷大，一般指定一个磁矢位的参考点(磁矢位为0)。当指定r=r0处为磁矢位的零点时，有：

第三章静态电磁场及其边值问题的解

因此，磁矢位公式可表示为磁矢位零位点的选择使其值相差一个常数，而该常数并不影响取旋度求磁感应强度的解，即：•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

5.矢量磁位的边界条件•

电磁场与电磁波•在有传导电流分布的区域上，磁场的旋度不为零，不能引用标量函数描述。然而，在没有传导电流分布的区域内，磁场的旋度为零。称为标量磁位或磁标位，单位为A(安培)，其中的负号是为了与静电位对应而人为加入的。必须注意的是，磁标位只能在没有传导电流的空间区域引入。这一方法对于讨论介质中磁场的求解极有效。二、标量磁位1.引入标量磁位的条件

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•利用磁感应强度的无散特性和磁场的定义，得到所以用微分方程求标量磁位时，也同静电位一样，是求拉普拉斯方程的解。代入到上式中，可得磁标位满足拉普拉斯方程，即：2.标量磁位的微分方程

第三章静态电磁场及其边值问题的解

3.标量磁位的边界条件•

电磁场与电磁波•3.3.3电感

第三章静态电磁场及其边值问题的解

在线性各向同性媒质中，电流回路在空间产生的磁场与回路中的电流成正比。因此，穿过回路的磁通量（磁链）也与回路中的电流成正比。在恒定磁场中，把穿过回路的磁通量（磁链）与回路中的电流的比值称为电感系数，简称电感。与静电场中定义的电容C、恒定电场中定义的电阻R相似，电感只与导体系统的几何参数和周围媒质有关，与电流、磁通量无关。•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

1.磁通与磁链单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和

CI细回路粗导线构成的回路，磁链分为两部分：一部分是粗导线包围的、磁力线不穿过导体的外磁通量0；另一部分是磁力线穿过导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量i。iCIo粗回路•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

2.自感设回路C中的电流为I，所产生的磁场与回路C交链的磁链为，则磁链与回路C中的电流I有正比关系，其比值称为回路C的自感系数，简称自感。——外自感，由导体外磁场与回路交链所形成——内自感，由导体内部磁场与部分电流交链所形成粗导体回路的自感：L=Li+L0自感的特点：自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。单位：H(亨利)•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

解：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I，由安培环路定理穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS=d的磁通为例3.3.3

求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。得与di交链的电流为则与di相应的磁链为•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

因此内导体中总的内磁链为故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。则故单位长度的外自感为单位长度的总自感为•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

例3.3.4

计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为a，两导线的间距为D，且D>>a。导线及周围媒质的磁导率为0。穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为解：设两导线流过的电流为I。由于D>>a，故可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P的磁感应强度为PII•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

于是得到平行双线传输线单位长度的外自感两根导线单位长度的内自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

3.互感对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路C2，当回路C1中通过电流I1时，不仅与回路C1交链的磁链与I1成正比，而且与回路C2交链的磁链12也与I1成正比，其比例系数称为回路C1对回路C2的互感系数，简称互感。同理，回路C2对回路C1

的互感为C1C2I1I2Ro•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质有关，而与电流无关。满足互易关系，即M12=M21。当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互感系数M为正值；反之，则互感系数M为负值。互感的特点：•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

4.纽曼公式如图所示的两个回路C1和回路C2，回路C1中的电流I1在回路C2上的任一点产生的矢量磁位回路C1中的电流I1产生的磁场与回路C2交链的磁链为C1C2I1I2Ro纽曼公式同理故得•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

由图中可知长直导线与三角形回路穿过三角形回路面积的磁通为解：设长直导线中的电流为I，根据安培环路定理，得到例3.3.5

如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

因此故长直导线与三角形导体回路的互感为•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

例3.3.6

如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈C1和C2，半径分别为a1和a2，中心相距为d。求它们之间的互感。于是有解：利用纽曼公式来计算，则有两个平行且共轴的线圈式中

=2－1为与之间的夹角，dl1=a1d1、dl2=a2d2，且•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

若d>>a1，则于是一般情况下，上述积分只能用椭圆积分来表示。但是若d>>a1或d>>a2时，可进行近似计算。•

电磁场与电磁波•3.3.4恒定磁场的能量

第三章静态电磁场及其边值问题的解

在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定磁场具有能量。磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。假定所有电流回路固定不动，即没有机械功。假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐射损耗。假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。•

电磁场与电磁波•一、磁场能量磁能与电能一样都是势能。因此，系统的总能量只与系统最终的状态有关，与建立状态的方式无关。为简单起见，先计算两个电流回路C1和C2系统所储存的磁场能量。假定回路的形状、相对位置不变，同时忽略焦耳热损耗。在建立磁场的过程中，两回路的电流分别为i1(t)和i2(t)，初态：i1=0，i2=0，终态：i1=I1，i2=I2。建立过程：时间t：t=0t=t1

t=t21.C1中的电流i1：i1=0

i1=I1

i1=I12.C2中的电流i2：i2=0

i2=0i2=I2

磁场总能量Wm：Wm=0 Wm=W1

Wm=W1+W2在这个过程中，电源做的功转变成磁场能量。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•1.当保持回路2的电流i2=0时，回路1中的电流i1在dt时间内有一个增量di1，周围空间的磁场将发生改变，回路1和2的磁通分别有增量d11和d12，相应地在两个回路中要产生感应电势E1=-d11/dt和E2=-d12/dt。感应电势的方向总是阻止电流增加。因而，为使回路1中的电流得到增量di1,必须在回路1中外加电压U1=-E1；为使回路2电流为零，也必须在回路2外加电压U2=-E2。所以在dt时间里，电源作功为故回路1的电流从零增加到I1的过程中，电源作功为

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•2.保持回路1的电流I1不变时，使回路2的电流从零增到I2，电源作功W2。若在dt时间内，电流i2有增量di2，这时回路1中感应电势为E1=-d12/dt，回路2中的感应电势为E2=-d22/dt。为克服感应电势，必须在两个回路上加上与感应电势反向的电压。在dt时间内，电源作功为积分得到回路1电流保持不变时，电源作功总量为其中，M12是电流i2对回路1产生的互感

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•推广到N个电流回路系统，其磁能为其中，第一项和第三项称为两个回路的自有能，第二项称为二者的互有能。由两个回路的互感相等可得

第三章静态电磁场及其边值问题的解

电源对整个电流回路系统所作的总功为•

电磁场与电磁波•对于分布电流，电流元，代入上式，同时把积分求和的计算换成为对所有存在电流源的体积V的积分二、能量密度前面的磁场能量公式是用磁通和电流表示的，易误解为磁场能量只存在于有电流或电流所限制的区域。从场的观点看，磁场能量实际上储存于场量不为0的整个空间，用场量也可表示磁场能量

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

若电流分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有故S•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

单位：J/m3（焦耳/米3）

磁场能量密度：

磁场的总能量：

对于线性、各向同性介质，则有说明：利用磁能求单回路电感•

电磁场与电磁波•【例】求无限长圆柱导体单位长度的内自感。解：设导体半径为a，通过的电流为I，则距离轴心r处的磁感应强度为单位长度的磁场能量为单位长度的内自感为

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

例3.3.7

同轴电缆的内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为b和c，如图所示。导体中通有电流I，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。解：由安培环路定理，得•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

三个区域单位长度内的磁场能量分别为J/mJ/mJ/m•

电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

J/m单位长度内总的磁场能量为单位长度的总自感为内导体的内自感内外导体间的外自感外导体的内自感H•

电磁场与电磁波•3.3.5

磁场力对于简单的问题，磁场对场中的电流及运动电荷的作用力可根据安培力或洛仑兹力计算得到；磁感应强度一般是指除I以外其它电流在I处产生的磁场，其计算对分布复杂的电流来说非常困难。此时要用虚位移法计算磁场力。由N个载流回路组成的系统，假定发生虚位移d。这时，该系统发生的功能过程如下：电源提供的能量磁场能量的增量

磁场力所作的功

同静电场，也可假设两种情况，用虚位移法来计算磁场力。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•一、磁链不变当磁链不变时，各个回路中的感应电势为零，所以电源不作功。磁场力做的功必来自磁场能量的减少。如将回路C1受到的磁场力记为，在该力作用下发生了一个小位移d，磁场力做功为F，则有

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•二、电流不变当各个回路的电流不变时，各回路的磁链要发生变化，在各回路中会产生感应电势。与各回路相连的外电源为保证电流不变就需提供电压以克服回路中产生的感应电势而做功而磁场能量的变化为即外源提供的能量dW一半储存于磁场里，另一半则用于位移做功，因此有

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•例3.3.8

求电磁铁对衔铁的举力。已知匝数为N，电流为I，铁心截面为S，磁通为m，电磁铁与衔铁之间的空气隙长为l。x解：设空气隙l足够小，可略去边缘效应，即空气隙中的场是均匀的，且铁心与空气隙分界面上磁感应强度连续。因为电磁铁铁心材料的磁导率比真空磁导率大得多，故其磁能密度比空气隙中的小很多：可忽略铁心的储能，而仅计算空气隙的储能。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•方法1：假设磁通不变磁场力小于0表明它是在使空气隙l减小的方向上，即吸引力。设电磁铁与衔铁的平均长度分别为l1、l2，根据安培环路定律得H为电磁铁和衔铁中的磁场强度，H0为空气隙中的磁场强度。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

由于可得•

电磁场与电磁波•储存在系统中的磁场能量为电磁铁对衔铁的吸引力为

第三章静态电磁场及其边值问题的解

方法2：假设线圈电流不变•

电磁场与电磁波•【例】设两导体平面的长为l，宽为b，间隔为d，上、下面分别有方向相反的面电流JS0。设b>>d，l>>d，求上面一片导体板面电流所受的力。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•解：考虑到间隔远小于其尺寸，故可以看成无限大面电流。由安培环路定律可以求出两导体板之间磁场为Bx=0JS0，导体外磁场为零。当用虚位移法计算上面的导体板受力时，假设两板间隔为一变量z，磁场能为假定上导体板移动时，电流不变，则其受力为这个力为斥力。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•作业3.14、3.16、3.17、3.19

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•3.4静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场问题通常分为两大类：分布型问题和边值型问题。由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积分公式求空间各点的场分布，称为分布型问题；如果已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布，则属于边值型问题。在均匀媒质中，位函数满足泊松方程或拉普拉斯方程，同时在场域的边界面上位函数还应满足一定的边界条件。位函数方程和位函数的边界条件一起构成位函数的边值问题。因此，静态场问题的求解都可归结为在给定的边界条件下求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程。位函数方程是偏微分方程，位函数的边界条件保证了方程的解是惟一的。

第三章静态电磁场及其边值问题的解

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电磁场与电磁波•

第三章静态电磁场及其边值问题的解

一、边值问题的类型已知场域边界面上的位函数值，即

第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值，即

第三类边值问题（或混合边值问题）

第二类边值问题（或纽曼问题）这里S1+S2=S。•

电磁场与电磁波•