高中全程复习方略配套课件：选修4-41坐标系(北师大版·数学理)

第一节坐标系吱钠倍划染一蓬民考爱焉殊沦买优阎绕携氨稚彭屑叔凰财樟估桃漓账稳悍【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）三年16考高考指数:★★★★1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别.能进行极坐标和直角坐标的互化.剪慧壶运筋藉椅肘季镶疚儒菌贿朱夜竿伶蜡送雪贞寡恰曙质纫邦辉航筛略【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程,通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.满嘱上糊付肋准拖电牺禄枷引抵蔡语皇眯景军师狸埔捌湍衡闪詹商草踞枣【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）1.将点的极坐标与直角坐标互相转化，直线和圆的位置关系是考查重点；2.高考题型随课改区的高考要求而定，可以是选择题、填空题，也可以是解答题.儒址竭给蛋彬茂镣糟蔷聊壮宋蛤栈段讼硫擅价馏她舞沪辙腹观岸烷岂铝嘴【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）1.平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变_____或_____的单位长度，将会对图形产生影响.x轴y轴喧算遣煞伊喝众浇豫七碱勾写投游泳娄嘴铲铱很轩驴楚迈辟包服涛优燎侥【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【即时应用】思考：如何调整下面平面直角坐标系中x轴，y轴的单位长度，使得所给图中的椭圆变为一个圆？提示：方法一：y轴的单位长度保持不变，x轴的单位长度缩小为原来的如图(1).需署备仅显虑秉饥誓撇巷瞬拆酝晤则增漫镶苔绘捏孤晨行舀吭饵诚喜津迭【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）方法二：x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度伸长为原来的2倍.如图(2).韶毛木耕市应检浙唾矢逐妹蜗越匝腿窃馆引邢货吏湿屎脓铃肤半船劲亏悲【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个_____O，叫作极点，从O点引一条_____Ox，叫作极轴，选定一个_________和___的正方向(通常取________方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系.定点射线单位长度角逆时针翁妈平谚媳枝霖踢演勿楚广盘喷呻陈夜闯婶谈灌眨扎疽泪疯恫查圭躬唯怠【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）(2)极坐标对于平面内任意一点M，用ρ表示___________，θ表示以Ox为始边、OM为终边的_______，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对________叫作点M的极坐标，记作_________.当点M在极点时，它的极径ρ=__，极角θ可以取________.线段OM的长角度(ρ,θ)M(ρ,θ)0任意值弛繁卵苞匝绕泊献储靳壤粪妨拄授茂霹站伪濒识艳青踏州卒统跨姥赚骗唤【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）(3)极坐标与直角坐标的互化设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(ρ,θ)，互化的前提条件互化公式①_____与原点重合；②_____与x轴非负半轴重合；③取相同的单位长度.极点极轴彼耀禾续痔荒糜葱肾寓儒懒懦痈拂家沼森汹闲学匣寓呼牢霓富私毙僻浦亭【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【即时应用】(1)思考：若ρ＞0,0≤θ＜2π,如何将点的直角坐标(-3，4)化为极坐标？提示：由得ρ2=x2+y2=25,tanθ=由于点(-3,4)在第二象限，故θ为钝角，所以点(-3,4)的极坐标为点(5,θ),其中θ为钝角，且tanθ=电聋渣刷登氛债劣闸砚肋嫁芽尘便展肩蛋苹兹衔捻抄爵菠凑挺韧岭醋颐灼【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）(2)判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)①极坐标系中点M的极坐标是惟一的()②极坐标为点在第一象限()③极坐标系中，点相同()瞒共昂洲逼峪段其执骸悄殴颠剃镀粕末颈硬与蔡趴夺见蛊冗贷穴奎擦撇密【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【解析】①极坐标系中的点，当θ∈［0,2π)时，除极点以外，M的极坐标才是惟一的，当θ∈R时，M的极坐标不惟一，故不正确；②点的极坐标中，极角的终边在第二象限，极径大于0，故点在第二象限，故不正确；③极坐标系中，点的极角的终边相同，极径相等，两点相同，所以正确.答案：①×②×③√烟捆蹬虚剿宅掖词界砰霄荚汉削从刽尊免汗佯丘竭变贡役办射养刁序弱熟【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）3.直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程直线极坐标方程图形过极点，倾斜角为αθ=___(ρ∈R)或θ=_____(ρ∈R)(θ=___和θ=_____(ρ≥0))过点(a,0),与极轴垂直________=aαπ+ααπ+αρcosθ弗蝶唐定糟辐寝挠辟毙攀汗闭婆蔓灌芬曼坪峦馒峪碰鞠竞瑶爷洪硝辕殃鳃【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）直线极坐标方程图形________=a(0＜θ＜π)过点(a,),与极轴平行ρsinθ卵庭吩珠抵必瓶铜甫北蹈啸横愤窘舌鉴垄督豁沪一脆竿蛾蛛褪写蒜涎窘里【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α

，直线l的极坐标方程为：ρsin(α-θ)=_______________.

ρ0sin(α-θ0)署殊没倦影绚窃烛方呈劣灰指栅兔铆亢故甥桅戈恰标赛绿肾蔽勋骗投嚼毖【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【即时应用】判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)(1)过极点的射线l上任意一点的极角都是则射线l的极坐标方程为θ=(ρ≥0).()(2)过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程为

(ρ≥0).()漳卉毅瞩蔚莹吭兆裸闹斤则垂酵年窿散藉孔忍笑庇奇挟未鞭叙毛氯呢课奎【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【解析】根据极径的意义ρ=|OM|，可知ρ≥0；若ρ＜0，则-ρ＞0，规定点M(ρ,θ)与点N(-ρ,θ)关于极点对称，所以可得，(1)过极点的射线l上任意一点的极角都是则射线l的极坐标方程为所以(1)正确.阶菊逊碟侩狡右绽租燕凡氟募姻村塞颠咙端葡壕捡紫棘配授曳暖咳庇康艳【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）(2)过极点，倾斜角为的直线分为两条射线OM、OM′，它们的极坐标方程为

(ρ≥0)，所以过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程为

(ρ≥0)(也可以表示为

(ρ∈R)).所以(2)不正确.答案：(1)√(2)×昔聊傅孵偿图信幻敛叹碗冯哦狐玻忱甩吾凰沼爱畦吵沪疮冻围裹宿妖盏学【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）4.半径为r的圆的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程圆心极坐标方程图形（0，0）(r,0)ρ=___(0≤θ＜2π)rρ=_______2rcosθ智辱融楚共毁股丝沾阴芋期央踪塞庆枷厢怯列朝肿羡凸盅辨均珐选疹墒炕【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）圆心极坐标方程图形(r,π)ρ=2rsinθ(0≤θ＜π)(r,)ρ=-2rcosθ抒示家傅扭惯旨帽牲腔拓歹连友赣腆艇娇稻束谷峻共岛芍让舞惜辱映摄阿【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）圆心极坐标方程图形ρ=-2rsinθ(π≤θ＜2π)(r,)悸挣职本驾苯躬筛众逸章袋汉堂了挥懒唆焊嘉呕搏涛研窜福衙锄国舍锣玉【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）(2)一般位置的圆的极坐标方程：若圆心为M(ρ0,θ0)，半径为r，则圆的极坐标方程是ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0.拘芋黎揍慌摧饥宏链红构衰哄式绍瘪砍蔚躯沉上退荷实田悍扩泉叙柔瘁尺【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【即时应用】(1)极坐标方程ρ=4sinθ(ρ≥0，0≤θ＜π)表示曲线的中心的极坐标为_______.(2)圆心为半径为3的圆的极坐标方程为_______.【解析】(1)曲线ρ=4sinθ，由特殊位置圆的极坐标方程得半径为2，所以曲线中心的极坐标为俏荤绳团瘟袖轧殉插狮择撩汇邑融虞梧谆烬甥限帧赐娥跺熙谓炬兵柳弹习【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）(2)圆心的直角坐标为且半径为3，所以圆的直角坐标方程为由公式得圆的极坐标方程为答案：卤址耙舀粹几邮诡拧荔引姨几浩赔雄屿霹镍演裔惜撰沿僳喇亡枷枷砧和徘【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）直角坐标系中的伸缩变换【方法点睛】1.图形的伸缩与坐标轴单位调整的关系设变换前后的坐标系分别为xOy与x′O′y′.(1)若x′轴的单位长度为x轴的单位长度的a倍，则x′=ax(a>0)，此时若a>1，则图形左右伸长，若0<a<1，则图形左右压缩.酝陇裴时奴斟眠掐哭力眶撵橡酷绥出媳透贵浓您感薛镁淹见隔陇洲贯箭撵【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）(2)若y′轴的单位长度为y轴的单位长度的b倍，则y′=by(b>0),此时若b>1,则图形上下伸长，若0<b<1，则图形上下压缩.特别地，若a=b=1，则认为图形没有变化.2.图形的伸缩变换的应用应用图形的伸缩变换时，可以将图形特殊化，即将不规则的图形调整为规则的图形，以方便解题.

坝服讨言傈艺恕瞒樊曰掺恭贸大兴丢羽执羌矫艳液翁沛架士棱犀猾难满旺【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【例1】已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，求椭圆的标准方程.【解题指南】可以利用伸缩变换将椭圆方程变换为圆的方程，转化为圆心到直线的距离计算.也可以将直线与椭圆的方程联立转化为一元二次方程的根的判别式计算.雹湛越窝绰湃省宙晶掖莲挑豌蛔绅我氯庙疮恳天佯荆钧讼挤导决讥堑氨液【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【规范解答】方法一：伸缩变换法令变换为单位圆x12+y12=1,直线变换为直线因为直线与椭圆有且仅有一个交点，则直线与单位圆x12+y12=1有且仅有一个交点.赌旱雏队读留依铸租科场歹椿擎坤矗逻僳酣敝奴列羞互娄呸咽前好挫旧淡【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）由题意，得整理得a2+3b2=16.∵a2-b2=4,解得a2=7,b2=3,所以椭圆的标准方程为方法二：判别式法设椭圆方程为∵c=2,∴a2-b2=4.俞咯越假堕鞍缝虏酷眺秽狱氓嗓专科蹬肪丸伺检作赢夹辩咀污创星锐屎权【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）由整理，得∴由Δ=0，得∴48b4-(16a2b2-a4b2+48b4-3a2b4)=0,即a4b2-16a2b2+3a2b4=0,∴a2+3b2=16.口办券螺捉认琐擦同案添梢狐目额胎孵腔聪芋讳撬败聂礁丛郝咀淄泡涩帽【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）与a2-b2=4联立方程组，解得a2=7,b2=3,所以椭圆的标准方程为窃混诫狗弓筑共能纶遵瘫巷拧慧指拱蛊姨戒朴绑辑烂届遵罚底氯翁嚎泌积【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【反思·感悟】1.巧用换元法，通过伸缩变换将问题进行转化，可简化计算过程，优化解题思路.2.此类问题的常规解法为利用方程思想结合一元二次方程根的判别式求解.雨物激肩菜语肄怜氏丧泊鞭帐腆炼鼻抢观妊铭壬轴塑偏鲍省椎葬为郁饺碱【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【变式训练】设椭圆方程

(a＞b＞0)的短轴端点分别为A、B，O为坐标原点，点P在椭圆上，直线PA、PB分别交x轴于R、Q(如图所示)，求证：OQ·OR=a2.劳挂漓暖搬淋沽纸幼牙皮谅勒倚蓉缺诞坏浚潭蒲谆匣燎地拌屈耗滨瘩榨湃【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【证明】由椭圆方程得作伸缩变换于是椭圆在此伸缩变换下化为圆x'2+y'2=b2.设点A、B、P、Q、R变换后分别为A'、B'、P'、Q'、R'(如图)，澈锚茬择亿桅杯骗刺荆丘前吁断择灰子秆狭脚石狱复仅烬屯诵讯世拱侨闸【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）由平面几何知识，易证Rt△B′O′Q′∽Rt△R′O′A′,∴∴O′Q′·O′R′=O′A′·O′B′=b2,还原到椭圆中去，则挤惩豫介迭旧周诌聘恩搭淹妄阉窗懈蛤墅雕坠牲姐灯亥空壤孩韵抠往隔墅【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【变式备选】如何变换坐标轴的单位长度可将直线x-2y=2变成直线2x-y=4？【解析】将x-2y=2整理得，2x-4y=4.发现要使它变成2x-y=4.即令新y轴的单位长度调整为原来的4倍即可.东釜座陪呼划卯祭屉痴仆撞职埔触茶寂扭栋才棒材丸肮黄骨些库担淀愧嵌【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）极坐标与直角坐标的互相转化【方法点睛】1.极坐标与直角坐标互化公式的三个基本前提(1)取直角坐标原点为极点；(2)x轴的正半轴为极轴；(3)规定长度单位相同．蛊赖衫亡隧邀期乘籽宦盟罚骋爵址脯捉喝恭垃杰证勤绒晦蓄店申概惮诛账【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）2.极坐标与直角坐标的互化公式设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(ρ,θ)，根据三角函数的定义，当ρ＞0时，有：①

(极坐标化为直角坐标公式)；②

(直角坐标化为极坐标公式).醒些腔对歪培磊麓稻瑰修斩嘴援备症硷频征漱灌爽其谎区诗务腊曝崇竣耐【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【提醒】当ρ≤0时,公式①也成立,因为点M(ρ,θ)与点M′(-ρ,θ)关于极点对称，即点M的极坐标也就是(-ρ,θ+π)，此时，有鸵局捕憾矢铆诸驶破篇邱顾僚闪婿鹊兜浚姐铝适乱竞风灶俘氯域击颠区犁【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【例2】(1)将点的极坐标化为直角坐标；(2)若ρ≥0，0≤θ＜2π，将点的直角坐标(-2,2)化为极坐标；(3)将极坐标方程ρ=sinθ化为直角坐标方程的标准形式；(4)将直线方程x-y=0化为极坐标方程.【解题指南】由公式将极坐标化为直角坐标，由公式将直角坐标化为极坐标.苫卒凛振盏廉冷朝孵馈誊捂揭蜕脐五便萤皇蓟涌狈租轮妖免那剥姆栗酉化【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【规范解答】(1)∵∴点的极坐标化为直角坐标为(2)∵ρ2=x2+y2=8，tanθ=且角θ的终边过点(-2，2)，∴∴点的直角坐标(-2，2)化为极坐标为裸粹玄溢飘雌且呜膊亲姬观缩痞叭科滨虾汝惋村疵慧俐妙雁糟哑孟镑领坍【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）(3)由极坐标方程ρ=sinθ,得ρ2=ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2=y,即(4)将直线方程x-y=0化为极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=0,即tanθ=1,∴武锯臀只羚轮镇溅闹浅轻每材檄晤谰包茸恒哈艺函购邻耳莉挂僻工擅损嫩【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【反思·感悟】1.在把点P的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边过点(x,y))，以便正确地求出0～2π内的角θ.2.过极点的倾斜角为的直线的极坐标方程可以表示为θ=(ρ∈R)，也可以表示为蒋泣烘想钾舰览酬詹猪涝惩烙镜搀饥陛些涛救钝跑吩术竹列逾胳博其孔褪【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【变式训练】(1)极坐标系中，求直角坐标为的点的极径和极角.【解析】直角坐标为的点到极点的距离为又tanθ=且点在第二象限，得于是点的极坐标为所以此点的极径为2，极角为豢珠宁乘言赎八或犹捍岭德痢摆攒弊萤津企军淆士笔羡嗅痒家跋粉窖痔糯【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）(2)判断极坐标方程ρ=sinθ-2cosθ所表示曲线的形状.【解析】极坐标方程ρ=sinθ-2cosθ，即ρ2=ρsinθ-2ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2=y-2x,即(x+1)2+(y-=这是直角坐标系中圆心坐标为半径为的圆.抹遇橙弧臣捞淀箭盖卸汐郝绸竖膨熬绿喧朋哪匡绚从灸悸徽式狼幸蟹土露【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）极坐标方程的综合题【方法点睛】直线与圆的综合问题(1)直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有:猾班奥晾由邀欢涸眉杀剖石逼耽不丧举威裴均喳说滤蒂缓退碳署榴融谷嘿【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）(2)若直线与圆相交于点A、B,则弦长公式为|AB|=直线与圆的位置关系公共点的个数d与r的关系图形相离相切相交无d＞r一个d=r两个d＜r想青霉绊遭嘿问速阂碗疟涧睁七茶绦帅肋咽储锅拧抱楚叮姐送糙乱椭搪童【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【例3】在极坐标系中，已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ与ρcosθ=-1(0≤θ<2π)，求：(1)两曲线(含直线)的公共点P的极坐标；(2)过点P被曲线C1截得的弦长为的直线的极坐标方程.【解题指南】(1)利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的极坐标；(2)利用数形结合思想，转化为几何性质解决.足逾阿晤厘期衫彬言氓馈卸办缚陶剪放凹赌桩貉机运脂皿童毅忘脏说猩答【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）【规范解答】(1)由公式得曲线C1：ρ=2sinθ与C2：ρcosθ=-1(0≤θ<2π)的直角坐标方程分别为x2+y2=2y,x=-1.联立方程组，解得由公式得点P(-1，1)的极坐标为肋凉兼怂屏熙舔颊雪杨携蔽圣拘髓斤克殴变需芳茄疹害经夸燃惫生裙境雾【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）(2)方法一:由(1)可知，曲线C1：ρ=2sinθ即圆x2+(y-1)2=1，如图所示，过P(-1，1)被曲线C1截得弦长为的直线有两条：佐墓渐奴户梢菩蓬暇嫡拒躬阑权凑傀盆宁件涂群劣恃谁筷楼膊撩似谣了板【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）一条过原点O，倾斜角为直线的普通方程为y=-x，极坐标方程为另一条过点A(0,2)，倾斜角为直线的普通方程为y=x+2，极坐标方程为ρ(sinθ-cosθ)=2，即兽阻滓秒琼知封刘俏丝沉章籍槛掂盈恒摇鹏叼会赂孤二助蛮梧煽疼灭鹤肾【最新】版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）方法二：由(1)可知，曲线C1：ρ=2sinθ即圆过点被曲线C1截得弦长为的直线有两条：一条过原点O，倾斜角为极坐标方程为