计算方法课件第五章-插值与拟合

2023/7/275主讲韩光朋2023/7/276主讲韩光朋2023/7/277主讲韩光朋且用此方法可得到插值多项式Pn。但这种方法不适用，只能用作理论研究。2023/7/278主讲韩光朋图5.1插值余項2023/7/279主讲韩光朋

定理5.2

设f(x)在[a,b]上n+1阶导数存在，则插值多项式(5.2)的余项为2023/7/2710主讲韩光朋2023/7/2711主讲韩光朋§5.2拉格朗日(Lagrange)插值5.2.1拉格朗日插值基函数对于给定的n+1个互异的节点，为了构造求解n次多项式插值问题的可行算法，我们首先考虑一个简单的n次多项式插值问题。已知y=f(x)的如下函数值表00…010…0(5.8)2023/7/2712主讲韩光朋2023/7/2713主讲韩光朋2023/7/2714主讲韩光朋5.2.2拉格朗日插值多项式设用试验或观测方法得到函数的如下函数值表xiyi

(5.11)2023/7/2715主讲韩光朋这表明式(5.12)就是满足插值条件式(5.11)的多项式插值函数，它是插值基函数的线性组合。由插值多项式的存在唯一性知，将Ln(x)化简成n次多项式标准形式(5.2)后，与用求解方程组(5.3)而得的插值多项式是相同的，称形如式(5.12)的插值多项式Ln(x)为拉格朗日插值多项式。讨论，在（5.12）式中：

当n＝1时，是一次插值多项式（也称线性插值）2023/7/2716主讲韩光朋2023/7/2717主讲韩光朋例1已知的值如下：（重点）xi123yi0.71.11.4⑴求拉格朗日插值多项式L2(x);⑵求L2(2.5);⑶求插值余项R2(x)并估计R2(x)。2023/7/2718主讲韩光朋2023/7/2719主讲韩光朋2023/7/2720主讲韩光朋略2023/7/2721主讲韩光朋2023/7/2722主讲韩光朋略2023/7/2723主讲韩光朋§5.3牛顿插值2023/7/2724主讲韩光朋（略）2023/7/2725主讲韩光朋（略）2023/7/2726主讲韩光朋2023/7/2727主讲韩光朋各阶差商可按差商表（见表5.1）计算。

(重点）

2023/7/2728主讲韩光朋5.3.2.Newton插值多项式2023/7/2729主讲韩光朋2023/7/2730主讲韩光朋2023/7/2731主讲韩光朋2023/7/2732主讲韩光朋（另见P121例3）2023/7/2733主讲韩光朋解：先造差商表(重点）2023/7/2734主讲韩光朋

由Newton公式得四次插值多项式为：2023/7/2735主讲韩光朋5.2(§5.4略)(§5.5带导数的插值略)2023/7/2736主讲韩光朋(5.28)(5.28)(5.28)(5.28)2023/7/2737主讲韩光朋2023/7/2738主讲韩光朋2023/7/2739主讲韩光朋2023/7/2740主讲韩光朋2023/7/2741主讲韩光朋§5.6分段插值（一般了解）2023/7/2742主讲韩光朋2023/7/2743主讲韩光朋2023/7/2744主讲韩光朋2023/7/2745主讲韩光朋（一般了解）2023/7/2746主讲韩光朋2023/7/2747主讲韩光朋2023/7/2748主讲韩光朋2023/7/2749主讲韩光朋2023/7/2750主讲韩光朋2023/7/2751主讲韩光朋2023/7/2752主讲韩光朋2023/7/2753主讲韩光朋5.8最小二乘法与曲线拟合2023/7/2754主讲韩光朋

实际中，当数据量特别大时一般不用插值法。这是因为数据量很大时所求插值曲线中的未知参数就很多，而且数据量很大时，多项式插值会出现高次插值（效果不理想）或分段低次插值（精度不高）；另外，测量数据本身往往就有误差，所以，使插值曲线刻意经过这些点也没有必要。而曲线拟合是：首先根据物理规律或描点画草图，确定一条用来拟合的函数曲线形式，也可选择低次多项式形式（所含参数比较少），然后按最小二乘法求出该曲线，它未必经过所有已知点，但它能反映出数据的基本趋势，且误差最小，效果比较好。2023/7/2755主讲韩光朋2023/7/2756主讲韩光朋§5.8.1矛盾方程组与最小二乘法1.矛盾方程组(预备知识:矛盾方程组的定义)

设有线性方程组2023/7/2757主讲韩光朋2.最小二乘法(方法的推导与求法)2023/7/2758主讲韩光朋2023/7/2759主讲韩光朋2023/7/2760主讲韩光朋

（5.75）式是n阶方程组,称为原矛盾方程组对应的法方程组(或正则方程组，正规方程组)。故矛盾方程组的最小二乘解一定是相应的法方程组的解，反之结论是否成立呢?3.理论讨论

⒈不难理解，偏差总量Q无最大值，但有最小值，又Q只有一个驻点(偏导为零的点)，故该驻点一定就是最小值点，亦即法方程组(5.75)的解一定就是矛盾方程组的最小二乘解。当然,也可从数学上更严格推证这个结论(略)。2023/7/2761主讲韩光朋§5.8.2几种具体的拟合曲线类型多项式拟合(多种拟合方法中的一种)2023/7/2762主讲韩光朋2023/7/2763主讲韩光朋2023/7/2764主讲韩光朋2023/7/2765主讲韩光朋•2023/7/2766主讲韩光朋注：见最后一屏例22023/7/2767主讲韩光朋2023/7/2768主讲韩光朋(了解）2023/7/2769主讲韩光朋解

将已给数据标在坐标纸上，见右图。由图我们看到，开