复数与平面向量-专题课件

第一篇小考点抢先练，基础题不失分复数与平面向量全国名校高考数学二轮复习优质学案专题汇编（附详解）第一篇小考点抢先练，基础题不失分复数与平面向量全国名校高考明晰考情1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度.明晰考情核心考点突破练栏目索引易错易混专项练高考押题冲刺练核心考点突破练栏目索引易错易混专项练高考押题冲刺练考点一复数的概念与四则运算要点重组

(1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数.(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).核心考点突破练(5)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数.考点一复数的概念与四则运算要点重组(1)复数：形如a＋b√∴|z|＝1.故选C.答案解析√∴|z|＝1.故选C.答案解析2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2等于A.5－4i B.5＋4iC.3－4i D.3＋4i解析由已知得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.答案解析√2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a－i与2＋bi互为共轭3.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件√解析当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反过来(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0，2ab＝2，解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1.故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件，故选A.答案解析3.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋4.复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是虚数，则实数m的取值范围是__________________.解析

根据题意知，m2－5m－6≠0，即(m－6)(m＋1)≠0，所以m≠6且m≠－1.答案解析{m|m≠6且m≠－1}4.复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是虚数，则实考点二复数的几何意义考点二复数的几何意义5.设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虚数单位)，则a等于√解析(1＋3i)(1＋ai)＝1＋ai＋3i－3a，∵(1＋3i)(1＋ai)∈R，∴虚部为0，则a＋3＝0，∴a＝－3.答案解析5.设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虚数单位)6.已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是A.(－3，1) B.(－1，3)C.(1，＋∞) D.(－∞，－3)√解析由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，答案解析6.已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四解析由题意知，z1＝－2－i，z2＝i，∴z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2.答案解析2解析由题意知，z1＝－2－i，z2＝i，答案解析2解析因为i4n＋k＝ik(n∈Z)，且i＋i2＋i3＋i4＝0，所以i＋i2＋i3＋…＋i2019＝i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1，答案解析二解析因为i4n＋k＝ik(n∈Z)，且i＋i2＋i3＋i4考点三平面向量的线性运算方法技巧

(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减.(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.考点三平面向量的线性运算方法技巧(1)向量加法的平行四解析作出示意图如图所示.√答案解析解析作出示意图如图所示.√答案解析√又B，N，P三点共线，答案解析√又B，N，P三点共线，答案解析√答案解析√答案解析解析方法一如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，解析方法一如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，∵M，N分别为BC，CD的中点，∵M，N分别为BC，CD的中点，12.已知a，b为单位向量，且a⊥(a＋2b)，则|a－2b|＝____.解析由a⊥(a＋2b)得a·(a＋2b)＝0，∴|a|2＋2a·b＝0，得2a·b＝－1，∴|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝1＋2＋4＝7，∴|a－2b|＝

.答案解析12.已知a，b为单位向量，且a⊥(a＋2b)，则|a－2b考点四平面向量的数量积方法技巧

(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法.(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.考点四平面向量的数量积方法技巧(1)向量数量积的求法：定13.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为解析b＋λa＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3，4)，且(b＋λa)⊥c，所以(b＋λa)·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，√答案解析13.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)答案解析√答案解析√解析方法一(解析法)建立坐标系如图①所示，设P点的坐标为(x，y)，图①解析方法一(解析法)设P点的坐标为(x，y)，图①方法二(几何法)图②方法二(几何法)图②复数与平面向量-专题课件A.30°

B.45°

C.60°

D.120°又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.√答案解析A.30°B.45°C.60°D.120°16.(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤

，则a·b的最大值是____.解析由已知可得

≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，由于上式对任意单位向量e都成立.∴

≥|a＋b|成立.∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.即6≥5＋2a·b，∴a·b≤

.∴a·b的最大值为

.答案解析16.(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝1.(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题：p1：若复数z满足

∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝

；p4：若复数z∈R，则

∈R.其中的真命题为A.p1，p3

B.p1，p4

C.p2，p3

D.p2，p4易错易混专项练√答案解析1.(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题：易错易混专项练√答解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R).则b＝0，即z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题；对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题；对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.因为a1b2＋a2b1＝0⇏a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题；解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，所以p4为真命题.故选B.对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，所以p4为真命题.故选B2.在△ABC中，有如下命题，其中正确的是______.(填序号)②③答案解析2.在△ABC中，有如下命题，其中正确的是______.(填3.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___________________.解析a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，由a·(a＋λb)>0，可得λ>.又a与a＋λb不共线，∴λ≠0.故λ>且λ≠0.答案解析3.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a与a＋λb的解题秘籍

(1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确.(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.(3)注意向量夹角的定义和范围.在△ABC中，

的夹角为π－B；向量a，b的夹角为锐角要和a·b>0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).解题秘籍(1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要1.设i是虚数单位，则复数i3－

等于A.－i

B.－3i

C.i

D.3i√答案解析123456789101112高考押题冲刺练1.设i是虚数单位，则复数i3－等于√答案解析12345√答案解析123456789101112∴a＝±1.故选A.√答案解析123456789101112∴a＝±1.故选A.3.设i是虚数单位，则复数

在复平面内所对应的点位于A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√由复数的几何意义知，－1＋i在复平面内的对应点为(－1，1)，该点位于第二象限，故选B.答案解析1234567891011123.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于√由复√答案解析123456789101112√答案解析123456789101112因为M是线段AD的中点，123456789101112解析因为点D在边BC上，因为M是线段AD的中点，123456789101112解析5.“复数z＝

在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件√解析由题意得z＝a－3i，若z在复平面内对应的点在第三象限，则a<0，故选D.答案解析1234567891011125.“复数z＝在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥√故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，123456789101112答案解析√故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，1234567√即a2＝3.又∵a>0，123456789101112答案解析√即a2＝3.123456789101112答案解析√答案解析123456789101112√答案解析123456789101112123456789101112解析∵b2－4e·b＋3＝0，∴(b－2e)2＝1，∴|b－2e|＝1.如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为坐标原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点M(2，0)为圆心，1为半径的圆上，|a－b|就是线段AB的长度.要求|AB