D42对面积曲面积分课件

一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质

“大化小,常代变,近似和,求极限”

的方法,量M.其中,表示n

小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).机动目录上页下页返回结束一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有1定义:“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为设f(x,y,z)是定义在有界光滑曲面上的有界函数,记作或第一型曲面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.机动目录上页下页返回结束定义:“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,2则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动目录上页下页返回结束则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性3定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法

则曲面积分证明:由定义知机动目录上页下页返回结束定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续4而(光滑)机动目录上页下页返回结束而(光滑)机动目录上页下页返回5说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.

机动目录上页下页返回结束说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数6例1.

计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:

设上的部分,则与

原式=分别表示在平面机动目录上页下页返回结束例1.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解7例2.

计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:机动目录上页下页返回结束例2.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:机动8例3.

设计算解:

锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则机动目录上页下页返回结束例3.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间9机动目录上页下页返回结束思考:

若例3中被积函数改为计算结果如何?机动目录上页下页返回结束思考10例4.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:

若将曲面分为前后(或左右)则解:

取曲面面积元素两片,则计算较繁.机动目录上页下页返回结束P1511.(3)例4.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲11内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)

注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性简化计算的技巧.机动目录上页下页返回结束内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况12在

xoy

面上的投影域为这是的面积!机动目录上页下页返回结束计算在xoy面上的投影域为这是的面积!机动13求抛物面壳机动目录上页下页返回结束的质量，此壳的密度的大小为解求抛物面壳机动目录上页下页返回14作业

P1511(1).

第五节目录上页下页返回结束作业P1511(1).第五节目录15例设一卦限中的部分,则有().(2000考研)机动目录上页下页返回结束例设一卦限中的部分,则有().(16思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下两部分,则机动目录上页下页返回结束思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分17例4.

求半径为R

的均匀半球壳的重心.解:

设的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球坐标思考题:

例3是否可用球面坐标计算

?例3目录上页下页返回结束例4.求半径为R的均匀半球壳的重心.解:设18例5.计算解:取球面坐标系,则机动目录上页下页返回结束例5.计算解:取球面坐标系,则机动目录上页19例6.计算其中是球面利用对称性可知解:

显然球心为半径为利用重心公式机动目录上页下页返回结束例6.计算其中是球面利用对称性可知解:显然球心为20例8.

求椭圆柱面位于xoy

面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的侧面积S.解:取机动目录上页下页返回结束例8.求椭圆柱面位于xoy面上方及平面z=y下21例9.

设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度

h=36000km,机动目录上页下页返回结束运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.(地球半径R=6400km)解:建立坐标系如图,覆盖曲面的半顶角为

,利用球坐标系,则卫星覆盖面积为例9.设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度h=22机动目录上页下页返回结束故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为由以上结果可知,卫星覆盖了地球以上的面积,故使用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面.说明:

此题也可用二重积分求A

(见下册P109例2).机动目录上页下页返回结束故通23思考与练习P158题1；3；4(1);7解答提示:P158题1.P158题3.

设则P184题2机动目录上页下页返回结束思考与练习P158题1；3；4(1);7解答24备用题1.已知曲面壳求此曲面壳在平面z＝1以上部分的的面密度质量M.解:

在xoy

面上的投影为

故机动目录上页下页返回结束备用题1.已知曲面壳求此曲面壳在平面