常数项级数的概念和性质课件

第八章无穷级数第八章无穷级数1

无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。(常)数项级数级数幂级数函数项级数正项级数任意项级数(交错级数)傅里叶级数无穷级数是高等数学的一个重要组成(常)数项级数2§1.常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念定义：

称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。设给定一个数列{un}:问题：

(即有没有和数)其中

un

称为级数的一般项（或通项），§1.常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念定义：32.部分和数列一数列中有限项相加总是有和数的，无限项相加是否有和数？可能有，也可能没有。如何研究它？通过有限项去认识和研究无限项。定义：级数前n项之和:组成的数列称为级数的部分和数列。2.部分和数列一数列中有限项相加总是有和数的，无限项相加4部分和数列{Sn}：显然,

与级数

建立了一一对应的关系:部分和数列{Sn}：显然,5

发散的级数没有和。

极限值

S

称为级数的和。3.

级数的收敛和发散定义：(C)(D

)convergencediverge发散的级数没有和。极限值S称为级数的和。3.6其差值

rn

=称为级数的余项。其差值rn=称为级数的余项。7例题

讨论等比级数

(几何级数)

的敛散性：

例1.解：例题讨论等比级数(几何级数)8常数项级数的概念和性质课件9解：∴原级数(D)例2.解：∴原级数(D)例2.10例3.

解：

∴原级数(C)例3.11例4.

解:

作出此级数，并求其和。=2，例4.解:作出此级数，并求其和。=2，12二、级数的基本性质性质1.

推论：k

是常数，二、级数的基本性质性质1.推论：k是常数，13性质2.

收敛级数可逐项相加减。设有两个收敛级数推论：

性质2.收敛级数可逐项相加减。设有两个收敛级数推论：14由性质2：矛盾！推论：

(C)+(D)=>(D)

证：(C)+(C)=>(C)由性质2：矛盾！推论：(C)+15两个发散级数逐项相加减后的情况不定。如：两个发散级数逐项相加减后的情况不定。如：16

在级数前加上或去掉或改变有限项，不影响级数的敛散性,但收敛时其和会改变。∴(C),例：性质3.(C)(C) 在级数前加上或去掉或改变有限项，不影响级数的敛散性,17收敛级数对其项任意加括号后所组成的级数仍然收敛，且其和不变。证：

部分和为

Sn

，性质4.按某一规律加括号后的级数：证毕收敛级数对其项任意加括号后所组成的级数仍然收敛18收敛于0，去括号后∴(D)

收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛。1.例：注意：换言之，加括号后的级数收敛时，不能断言原来未加括号的级数也收敛。收敛于0，去括号后∴(D)收敛级数去括号后所成的19加括号后所成的级数发散，3.则原级数也发散。（反证即得）2.

发散级数加括号后所成级数不一定发散。例：

(D)(C)加括号后所成的级数发散，3.则原级数也发散。（反证即得20

性质5.

证：

（级数收敛的必要条件）说明：性质5.证：（级数收敛的必要条件）说明：21例1.

∴级数发散。例2.证明调和级数发散。证：(反证)且

解:

例1.∴级数发散。例2.证明调和级数发散。证：(反证)22但矛盾！

可见,但矛盾！可见,23三、柯西审敛准则定理（柯西审敛准则）三、柯西审敛准则定理（柯西审敛准则）24例：利用柯西审敛准则判断级数的敛散性。解例：利用柯西审敛准则判断级数的敛散性。解25所以由柯西审敛准则知，级数收敛。所以由柯西审敛准则知，级数收敛。26课外作业

习题8—12(3,4),4(2,3,4),5(3,5,7)课外作业习题8—12(327§2.正项级数及其审敛法1.定义：

许多级数敛散性的判断都可以归结为正项级数的敛散性的判断。§2.正项级数及其审敛法1.定义：许多级数敛散282.正项级数收敛的充要条件

证：

收敛数列必有界，定理：(C)证毕2.正项级数收敛的充要条件证：29如：

有界无界则其必发散。如：有界无界则其303.审敛法（判别法）比较审敛法：设有两个正项级数(C),(C).(1)(2)(D),(D).则（大的收敛则小的也收敛）（小的发散则大的也发散）3.审敛法（判别法）比较审敛法：设有两个正项级数(C),(31

证:

(1)(2)证:(1)(2)32

推论.

即正项级数若从某项后满足比较审敛法的条件，仍得同样结果。结论同样成立；甚至上式只要在某个自然数后开始成立即可。推论.即正项级数若从某项后满足比较审仍33(重要级数)证：(重要级数)证：34即有界证毕即有界证毕35

因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较，等比级数

P--级数所以必须掌握一些已知敛散的级数。常用：调和级数(D)因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较，等比36

判别下列正项级数的敛散性：(1)解：例1.判别下列正项级数的敛散性：(1)解：例1.37(2)解：(2)解：38(3)解：或

(3)解：或39(4)解：(4)解：40(4)解：所以由比较审敛法知，原正项级数是发散的。(4)解：所以由比较审敛法知，原正项级数是发散的。41(5)

解：所以原正项级数发散.(5)解：所以原正项级数发散.42

比较审敛法的极限形式:

设正项级数比较审敛法的极限形式:设正项级数43证:

所以由极限定义,由正项级数的比较审敛法知同时收敛或同时发散;(1)当0<l<+∞时,证:所以由极限定义,由正项级数的比较审敛法知同时收敛或同44(3)当l=+∞时,即

若发散,(2)当l=

0时,收敛,若由正项级数的比较审敛法知,由正项级数的比较审敛法知,证毕(3)当l=+∞时,即若发散,(2)当l=45发散,故原级数发散.重解前面的题(5)

此解法远比前一解法简单!发散,故原级数发散.重解前面的题(5)此解法远比前一解46

判别前例中级数(1),(2)的敛散性：∴原级数收敛。例2：解：=1判别前例中级数(1),(2)的敛散性：∴原级数收敛。例47∴原级数发散。=1解：∴原级数发散。=1解：48例3：

解：判别级数的敛散性：∴原级数发散。=1例3：解：判别级数的敛散性：∴原级数发散。=149

解：∴原级数收敛。解：∴原级数收敛。50例4：

判别级数的敛散性：

解：原级数收敛。例4：判别级数51例5：并举例说明反之不成立。证：由比较审敛法，得证。反例：例5：并举例说明反之不成立。证：由比较审敛法，得证。反例：52课外作业

习题8—2(A)1(4,5,6)

习题8—2(B)3,5,6课外作业习题8—2(A)1(4,5,53比值审敛法（达朗贝尔判别法）设正项级数，若则当敛散性不定比值审敛法（达朗贝尔判别法）设正项级数54证:收敛,由比较审敛法可知(1)(公比为r的等比级数)证:收敛,由比较审敛法可知(1)(公比为r的等比级数)55因此所以级数发散.(2)从而请同学们完成.因此所以级数发散.(2)从而请同学们完成.56(3)级数敛散性不定.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.(3)级数敛散性不定.例如,p–级数但级数收敛;级数57更一般的情况：对正项级数只要级数就收敛。当级数就发散。更一般的情况：对正项级数只要级数就收敛。当级数就发散。58

例1.

解：∴原级数收敛。判别下列正项级数的敛散性：<1,例1.解：∴原级数收敛。判别下列正项级数的敛散性：59解：

∴原级数收敛。=解：∴原级数收敛。=60(3)解：由此题结论还可得:(3)解：由此题结论还可得:61(4)解：(4)解：62例2.判别正项级数解：的敛散性。由比值审敛法得：原级数收敛；例2.判别正项级数解：的敛散性。由比值审敛法得：原级数收63例2.判别正项级数的敛散性。原级数发散；比值审敛法失效，但注意到此时而是单调增加趋于e，所以原级数也发散。例2.判别正项级数的敛散性。原级数发散；比值审敛法失效，64例3：若正项级数收敛,答：否！例：若用比值法：(n

偶)(n

奇)例3：若正项级数收敛,答：否！例：若用比值法：(n偶)(n65根值审敛法（柯西判别法）设正项级数则当敛散性不定根值审敛法（柯西判别法）设正项级数则当敛散性不定66时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数

说明:但级数收敛;级数发散.时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明67更一般的情况：对正项级数只要级数就收敛。当级数就发散。更一般的情况：对正项级数只要级数就收敛。当级数就发散。68

例：判别下列级数的敛散性1.解：2.解：例：判别下列级数的敛散性1.解：2.解：693.解：4.解：=2>13.解：4.解：=2>170解：所以原级数收敛。r解：所以原级数收敛。r716.证：6.证：72

比值审敛法与根值审敛法相比，后者应用范围更广，这是因为，反之则未必。所以，凡是能用比值审敛法判定收敛或发散的正项级数，用根值审敛法也能够判定收敛或发散；而有些正项级数用比值审敛法得不到结果，但是用根值审敛法可以得到结果。不过在多数的应用中，比值审敛法比根值审敛法要方便一些，因为一般情况，前者极限（如果存在的话）的计算要比后者极限的计算容易一些。比值审敛法与根值审敛法相比，后者应用范围更广，73积分审敛法：积分审敛法：74例：利用积分审敛法讨论p-级数的敛散性。解所以p-

级数发散；续、非负且单调减少的，且由第五章第五节例1(教材第49页)的讨论知，例：利用积分审敛法讨论p-级数的敛散性。解所以p75例：利用积分审敛法讨论p-级数的敛散性。解则由积分审敛法知，综合上述讨论，有p-级数

例：利用积分审敛法讨论p-级数的敛散性。解则由积分审76

前面介绍的判别正项级数敛散性的几个审敛方法，它们都是充分条件。如果用它们无法判断该正项级数敛散性，那么就要尝试用级数收敛的定义、收敛级数的性质等去判别。前面介绍的判别正项级数敛77课外作业

习题8—2(A)2(2,3),4(双),5(3,5)

习题8—2(B)1(双),2(3)课外作业习题8—2(A)2(2,3)78§3.交错级数和任意项级数及其审敛法

各项正负交错的级数称为交错级数。定义：如：其中一、交错级数及其审敛法§3.交错级数和任意项级数及其审敛法各项正负交错的级数79交错级数审敛法（莱布尼兹定理）若交错级数满足条件：则此级数收敛，

交错级数审敛法（莱布尼兹定理）若交错级数满足条件：则此级数收80证：证：81由数列收敛性质，注意：此收敛法的条件是充分而非必要的。由数列收敛性质，注意：此收敛法的条件是充分而非必要的。82判别下列级数的敛散性：(1)解：例：莱布尼兹级数判别下列级数的敛散性：(1)解：例：莱布尼兹级数83(2)解：(2)解：84(3)解：即前例(3)解：即前例85二、任意项级数及其审敛法任意项级数的敛散情况有下列三种：

对任意项级数，一般有无穷多正项，无穷多负项，但其各项的绝对值组成了正项级数:1.绝对收敛；2.条件收敛；3.发散。二、任意项级数及其审敛法任意项级数的敛散情况86定义：(A.C)(C.C)定义：(A.C)(C.C)87定理：绝对收敛的级数必收敛。定理：绝对收敛的级数必收敛。88证：证：89说明：

绝对收敛级数都是收敛级数，反之不成立，即收敛级数未必是绝对收敛级数。例：说明：绝对收敛级数都是收敛级数，反之例：90注意：注意：91例：例：92(2)(2)93

判别下列级数的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛：(1)例：判别下列级数的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛94(2)解：用比值法(2)解：用比值法95(3)解：(3)解：96(4)解：不满足级数收敛的必要条件，(4)解：不满足级数收