九年级数学上册-第二十八章-锐角三角函数-新人教版课件

第二十八章

锐角三角函数28.1锐角三角函数28.1.1三角函数的定义整理课件课前预习1.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

则tanA的值为（）

A.B.C.D.2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，

那么BC为（）

A.7sinαB.7cosαC.7tanαD.7cotα3.已知锐角α，且sinα=cos37°，则α等于

（）

A.37°B.63°C.53°D.45°DCC整理课件4.如图，在直角三角形ABC中，

∠C=90°，AC=12，B=13，

则sinB的值等于

．5.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC：BC=3：4，那

么cosA的值为

．课堂精讲知识点1正弦的定义

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比是一个固定值．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA=.整理课件注意：(1)正弦是在直角三角形中定义的，反映了

直角三角形边与角的关系，是两条线段的比

值，它没有单位，当角的度数确定时，其比

值随之确定，与三角形的边的长短无关，即

与三角形的大小无关．

(2)sinA是一个完整的符号，不能写成

“sin·A”，书写时习惯省略∠A的角的符号

“∠”，但当用三个大写字母表示角时(如

∠ABC)，其正弦应写成sin∠ABC，不能写

成sinABC.sin2A表示(sinA)2，即sinA·sinA，而不能写成sinA2．

(3)在直角三角形中，因为O<a<c，所以由正

弦的定义可知O<sinA<1．整理课件【例1】在Rt△ABC中，∠A=90°，求sinC和sinB

的值．解析：利用勾股定理求出BC，再由锐角三角函数值的定义求出sinC和sinB的值．解：在Rt△ABC中，BC==，∴sinC=；sinB=．变式拓展整理课件1.如图是4×4的正方形网格，点C

在∠BAD的一边AD上，且A、B、C

为格点，sin∠BAD的值是

.知识点2余弦、正切的定义如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA,即cosA=；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即tanA=.整理课件注意：(1)余弦、正切都是一个比值，是没有单位

的数值．

(2)余弦、正切只与角的大小有关，而与三

角形的大小无关．

(3)cosA，tanA是整体符号，不能写成cos·A，tan·A.cos2A和tan2A分别

表示(cosA)2和(tanA)2，即cosA·cosA和tanA·tanA，

而不能写成cosA2和tanA2．

(4)当用三个字母表示角时，角的符号“”

不能省略，如cos∠ABC，tan∠ABC.(5)因为O<b<c，所以O<cosA<1．因为a>0，b>0，所以tanA>O.整理课件【例2】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，求

∠A,∠B的余弦值和正切值．解析：先用勾股定理求出AC的长，再用余弦和正切的定义求值．解：∠C=90°，AC==4．cosA=，tanA=，cosB=，tanB=.整理课件变式拓展2.Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cosB=

．3.如图，△ABC的顶点都是

正方形网格中的格点，

则tan∠BAC等于

．知识点3锐角三角函数的定义

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数，同样的，cosA，tanA也是A的函数．即锐角A的正弦、余弦、正切都是么A的锐角三角函数.整理课件注意：(1)锐角三角函数的实质是一个比值，这些

比值只与角的大小有关，sinx、cosx、tanx都是以锐角x为自变量的函数，当x确定

后，它们的值都是唯一确定的．也就是说，

锐角三角函数值随角度的变化而变化．(2)锐角三角函数都不可取负值.【例3】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，

求∠A的锐角三角函数数值．解析：利用勾股定理列式

求出AC，然后根据

锐角的三角函数列

式即可．整理课件解：由勾股定理得，AC==12，sinA=，cosA=，tanA=．变式拓展4.已知，如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，求∠A的锐角三角函数值．整理课件解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，∴AB2=AC2+BC2=289，∴AB=17，∴sinA=，cosA=，tanA=.随堂检测1.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对

边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是

（）A.cosA=B.tanA=C.sinA=D.cosA=C整理课件2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂

足为D．若AC=2，BC=1，则sin∠ACD=（）

A.B.C.D.3.如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的.

锐角为α，tanα=，则t的值是（）

A.1B.1.5C.2D.3

第2题第3题4.随着锐角α的增大，cosα的值（）

A.增大B.减小

C.不变 D.增大还是减小不确定BCC13整理课件5.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，

如果CD=3，BD=2．那么cos∠A的值是

．6.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BC=5，cos∠ADC=，求sinB的值．

解：∵AD=BC=5，cos∠ADC=∴CD=3在Rt△ACD中，∵AD=5，CD=3

∴AC==4在Rt△ACB中，∵AC=4，BC=5

∴AB=∴sinB=．整理课件28.1.2特殊角的三角函数309.44DB课前预习1.sin45°的值是（）A.B.1C.D.2.已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα

等于（）A.B.C.D.3.计算：2sin60°+tan45°=

．4.Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则∠A=

°.5.用科学计算器计算：8+sin56°≈

．（精

确到0.01）整理课件课堂精讲知识点130°、45°、60°角的三角函数值及有

关计算

利用勾股定理和锐角三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的三角函数值锐角

三角函数

30°

45°

60°sin

cos

tan

1整理课件

熟记特殊角的锐角三角函数值是进行三角函数计算的关键．

注意：(1)要会借助两个基本直角三角形，如图所示，推导30°、45°、60°角的三角函数值.(2)上表的含义是会求30°、45°、60°的正弦值、余弦值及正切值，并用来计算，反过来，已知一个特殊角的正弦值、余弦值及正切值，要会求出相应的锐角.整理课件【例1】计算：（1）.（2）2cos30°+tan60°-2tan45°·tan60°.

解析：根据特殊角三角函数值，可得答案解：（1）把sin30°=，cos45°=tan60°=，tan45°=1

代入原式得

=4×-×+×=（2）把cos30°=，tan60°=tan45°=1代入原式得2cos30°+tan60°-2tan45°•tan60°=2×+-2×=0．整理课件变式拓展1.计算：sin45°+tan45°-2cos60°．2.计算：sin260°-tan30°•cos30°+tan45°.解：原式=解：原式=知识点2用计算器求锐角三角函数值或根据锐角

三角函数值求锐角

掌握利用计算器求锐角三角函数值的方法，熟练使用计算器是做题的关键.整理课件【例2】用计算器求下列各式的值：（1）sin47°；（2）sin12°30′；（3）cos25°18′；（4）tan44°59′59″.解析：本题要求同学们，熟练应用计算器，对计算

器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍

五入法取近似数．解：根据题意用计算器求出：(1)sin47°=0.7314；(2)sin12°30′=0.2164；(3)cos25°18′=0.9003；(4)tan44°59′59″=1.0000.整理课件变式拓展3.已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A，B

的度数.（1）sinA=0.7，sinB=0.01；（2）cosA=0.15，cosB=0.8；（3）tanA=2.4，tanB=0.5．解：（1）由sinA=0.7，得A=44.4°；

由sinB=0.01得B=0.57°；

（2）由cosA=0.15，得A=81.3°；

由cosB=0.8，得B=36.8°；

（3）由tanA=2.4，得A=67.4°；

由tanB=0.5，得B=26.5°．整理课件随堂检测1.sin30°对应数值的绝对值是（）A.2B.C.D.2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下

列结论正确的是（）A.sinA=B.tanA=C.cosB=D.tanB=3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c，已知a=1，b=1，c=，则sinA=

.BB整理课件3.314.用科学计算器计算：sin87°≈

（精确到0.01）5.计算：.6.（2015•茂名一模）计算：6tan2

30°-sin60°-2sin45°.解：原式=解：6tan230°-sin60°-2sin45°整理课件28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形课前预习1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，sinB=，则AB的长为（）

A.6B.C.D.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tanA的值为（）A.B.C.D.23.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，则a：b=

.AC3：整理课件4.等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，则底角

的正弦值为

．5.在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，

则c=

．课堂精讲知识点解直角三角形

1.一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.整理课件(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素（知二求三）．(2)一个直角三角形可解，则其面积可求，但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积．2.直角三角形的边角关系

如图所示，在Rt△ABC中，∠A，∠B为锐角，∠C=90°，它们所对的边分别为a，b，c，其中除直角∠C外，其余的5个元素之间有以下关系：整理课件

(1)三边之间的关系：

（勾股定理）．

(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．

(3)边角之间的关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=，tanB=.(4)如果∠A=30°，那么

或

．整理课件3.解直角三角形的类型与解法整理课件归纳：(1)在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后先确定锐角，再确定它的对边和邻边．

(2)运用关系式解直角三角形时，常用到下列变形：①锐角之间的关系：∠A=90°-∠B,∠B=90°-∠A.②三边之间的常用变形：

，

，.③边角之间的常用变形：a=c·sinA，b=c·cosA，a=b·tanA，a=c·cosB，b=c·sinB，b=a·tanB.整理课件(3)计算边时可选用以下口诀来解题：

有斜求对乘正弦，有斜求邻乘余弦，无斜求对乘正切.“有斜求对乘正弦”意思是：在一个直角三角形中，对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求出锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦，其他的意思可类推.【例1】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC

的长．（结果保留根号）整理课件解析：由题意得到三角形BCD为等腰直角三角形，

得到BD=BC，在直角三角形ABC中，利用锐角

三角函数定义求出BC的长即可．解：∵∠B=90°，∠BDC=45°∴△BCD为等腰直角三角形∴BD=BC在Rt△ABC中，tan∠A=tan30°=

即

解得BC=2（+1）．整理课件【例2】（2015响水县一模）如图，在△ABC中，AD

是BC上的高，tanB=cos∠DAC.（1）求证：AC=BD；（2）若sinC=，BC=36，求AD的长．解析：（1）根据高的定义得到

∠ADB=∠ADC=90°，

则分别利用正切和余弦的定义得到tanB=，cos∠DAC=，再利用tan∠B=cos∠DAC得到=，所以AC=BD；整理课件（1）证明：∵AD是BC上的高∴∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ABD中，tanB=在Rt△ACD中，cos∠DAC=∵tan∠B=cos∠DAC∴=，∴AC=BD（2）在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sinC==，可设AD=12k，AC=13k，再根据勾股定理计算出CD=5k，由于BD=AC=13k，于是利用BC=BD+CD得到13k+5k=36，解得k=2，所以AD=24．整理课件（2）解：在Rt△ACD中，sinC==设AD=12k，AC=13k∴CD==5k∵BD=AC=13k∴BC=BD+CD∴13k+5k=36，解得k=2∴AD=12×2=24整理课件变式拓展1.如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．解：∵在直角△ABD中tan∠BAD==∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9∴CD=BC-BD=14-9=5∴AC==13∴sinC==整理课件2.（2015•崇明县二模）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D．已知AC=9，cosC=．（1）求线段AE的长；（2）求sin∠DAE的值．解：（1）在Rt△ABC中，∵cosC=∴BC=9×=15∵点E是斜边BC的中点∴AE=BC=整理课件（2）∵AD⊥BC∴∠ADC=∠ADE=90°在Rt△ADC中，

∵cosC==∴CD=9×=∵点E是BC的中点∴CE=BC=∴DE=CE-CD=-=

在Rt△ADE中，sin∠DAE===整理课件随堂检测1.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB

的值是（）A.B.C.D.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，若BC=1，则AC=（）A.1B.2C.D.3.在△ABC中，a=1，b=，∠A=30°，则

∠B=

°.4.将一副三角板如图所示放

在一起，连接AD，则∠ADB

的正切值是

．BC60或120整理课件5.（2015•常州模拟）如图，BD是△ABC的高，AB=6，AC=5，∠A=30°．（1）求BD和AD的长；（2）求tanC的值．解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠BDC=90°∴sinA=，cosA=∵AB=6∠A=30°∴BD=3，AD=3（2）∵AC=5∴CD=2在Rt△BCD中，tanC===

整理课件28.2.2应用举例（第1课时）课前预习1.如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，

已测得仰角∠CAE=33°，AB=a，BD=b，则下列求

旗杆CD长的正确式子是（）

A.CD=bsin33°+aB.CD=bcos33°+aC.CD=btan33°+aD.CD=+aC整理课件2.如图，在高出海平面100m的悬崖顶A处，观测海

平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则

船与观测者之间的水平距离BC=（）m．

A.100B.50C.100D.100第2题第3题3.如图，若某人在距离大厦BC底端C处200米远的A

地测得塔顶B的仰角是30°，则塔高BC≈

.

米.（≈1.732，精确到0.1米）D115.5整理课件小杰在楼上点A处看到楼下点B处的小丽的俯角是36°，那么点B处的小丽看点A处的小杰的仰角是

度．36课堂精讲知识点

仰角、俯角的概念

在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角．

如图所示，PQ为水平线，视线为PA时，则∠APQ叫做仰角；视线为PB时，则∠BPQ叫做俯角．甲看乙的俯角等于乙看甲的仰角．整理课件【例1】如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的E点

测得大楼BC楼底C点的俯角为45°，此时该

同学距地面高度AE为20米，电梯再上升5米

到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角

为37°，求大楼的高度BC.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解析：首先过点E、D分别作BC的垂线，交BC于点F、G，得两个直角三角形△EFC和△BDG，由已知大楼BC楼底C点的俯角为45°得出EF=FC=AE=20，DG=EF=20，再由直角三角形BDG，可求出BG，GF=DE=5，CO从而求出大楼的高度BC．整理课件解：过点E、D分别作BC的垂线，交BC于点F、G在Rt△EFC中，因为FC=AE=20，∠FEC=45°所以EF=20

在Rt△DBG中，DG=EF=20，∠BDG=37°因为tan∠BDG=≈0.75所以BG≈DG×0.75=20×0.75=15而GF=DE=5所以BC=BG+GF+FC=15+5+20=40答：大楼BC的高度是40米．整理课件【例2】（2015•宛城区模拟）如图，某飞机于空中

探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高

度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的

俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，

求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）整理课件解析：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题

的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE

及AE的表达式，属于基础题，要能将实际问

题转化为数学计算．设EC=x，则在RT△BCE

中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出

即可得出答案．整理课件解：设EC=x在Rt△BCE中，tan∠EBC=则BE==x在Rt△ACE中，tan∠EAC=则AE==x∵AB+BE=AE∴300+x=x解得x=1800这座山的高度CD=DE-EC=3700-1800=1900（m）．答：这座山的高度是1900m．整理课件变式拓展如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD，小明在离旗杆下方大楼底部E点24m的点A处放置一台测角仪，测角仪的高度AB为1.5m，并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40°，上端D的仰角为45°，求旗杆CD的长度.

（结果精确到0.1米，

参考数据：sin40°≈0.64，

cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）整理课件解：过点B作BF⊥DE于点F则四边形ABFE为矩形在△BCF中∵∠CBF=40°，∠CFB=90°，BF=AE=24m∴=tan40°∴CF≈0.84×24=20.16（m）在△BDF中∵∠DBF=45°∴DF=24m则CD=DF-CF≈24-20.16≈3.8（m）答：旗杆CD的长为3.8m．整理课件2.（2015•长春模拟）如图所示，课外活动中，小

明在离旗杆AB10m的C处，用测角仪测得旗杆顶

部A的仰角为40°，已知测角仪器的高CD=1.5m，

求旗杆AB的高．（精确到0.1米）（供选用的数

据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）解：∵CD⊥BC，AB⊥BC，DE⊥AB

∴四边形DCBE是矩形

∴DE=BC=10m

在Rt△ADE中

∵DE=10m，∠ADE=40°

∴AE=DE•tan40°≈10×0.84=8.4（m）

∴AB=AE+BE≈8.4+1.5=9.9（m）答：旗杆AB的高是9.9米．整理课件随堂检测1.小明为了测量水面宽度AB，从C点分别测得A、B

两点的俯角分别为60°、30°，C点到水面的距

离CD=8m，则AB等于（）A.B.C.D.C整理课件2.如图，从一般船的点A处观测海岸上高为41m的灯

塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），

测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为

m

（精确到1m）.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）3.如图，在建筑平台CD的顶部C

处，测得大树AB的顶部A的仰

角为45°，测得大树AB的底

部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高

度为

m（结果保留根号）595+5

整理课件4.（2015•兴化市一模）某数学兴趣小组的同学在

一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他

们来到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑

物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°．求建筑物AB的高

（精确到1m）．（可供选用的数据：≈1.4，

≈1.7）．整理课件解：过点C作AB的垂线，垂足为E∵CD⊥BD，AB⊥BD∴四边形CDBE是矩形∵CD=12m，∠ECB=45°∴BE=CE=12m∴AE=CE•tan30°=12×=（m）∴AB=+12≈19（m）答：建筑物AB的高为19米．整理课件5.（2015•大连模拟）如图，某建筑物BC上有一旗

杆AB，小明在与BC相距12m的F处，由E点观测到

旗杆顶部A的仰角为60°，底部B的仰角为45°，

小明的观测点E与地面的距离EF为1.6m．（注：

结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，

≈1.73）（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．整理课件解：（1）过点E作ED⊥BC于D则四边形DCFE是矩形∴DE=CF=12mEF=CD=1.6m根据题意得∠BED=45°∴∠EBD=45°∴BD=ED=FC=12m∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6（m）答：建筑物BC的高度为13.6m．（2）由题意得∠AED=60°，∴AD=ED•tan60°=12×≈12×1.73≈20.8（m）∴AB=AD-BD=20.8-12=8.8（m）答：旗杆AB的高度约为8.8m．整理课件28.2.3应用举例（第2课时）课前预习1.如图，小明从点A沿坡度i=1：2的斜坡走到点B，

若AB=10米，则上升高度是（）米．

A.5B.2C.D.2.一斜坡长为米，高度为1米，那么坡比为（）A.1∶3B.1∶C.1∶D.1∶3.某河坝横截面如图，堤高BC=6米，迎水坡AB=

米，则迎水坡AB的坡度为（）

A.30°B.45°C.D.1CAD整理课件4.如图，斜坡AB的坡度i=1：3，该斜坡的水平距离AC=6米，那么斜坡AB的长等于

m.5.如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：2，则求

坡角α的正弦值sinα=

．第4题第5题2整理课件课堂精讲知识点坡度、坡角的概念（1）坡角：坡面与水平面所成的夹角，如图中

的.（2）坡度：我们通常把坡面的铅直高度和水

平宽度的比叫做坡度（如图所示），坡

度也可写成=：的形式，在实际应用中

常表示成1:的形式．（3）坡度与坡角的关系：，即坡度是

坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大.注意：坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，

不要与坡角相混淆．整理课件【例1】已知一水坝的横断面是梯形ABCD，下底BC

长14m，斜坡AB的坡度为3：，另一腰CD与

下底的交角为45°，且长为4m，求它的

上底的长（精确到0.1m,=1.414，=1.732）.解析：过点D作DF⊥BC，过点A作AE⊥BC，根据已知

条件求出AE=DF的值，再根据坡度与特殊角

的三角函数值求出BE，最后根据EF=BC-BE-FC，即可得出答案．整理课件解：过点D作DF⊥BC，过点A作AE⊥BC，∵CD与BC的夹角为45°，∴∠DCF=45°∴∠CDF=45°∵CD=，∴DF=CF==∴AE=DF=∵斜坡AB的坡度为3：∴tan∠ABE==∴BE=4m∵BC=14m∴EF=BC-BE-FC=14-4-4=10-4∵AD=EF∴AD=10-4≈3.1（m）答：它的上底的长3.1m．整理课件【例2】（2015•安徽模拟）如图，某滑板爱好者训

练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将

训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后斜坡坡面AD比

原斜坡坡面AB会加长

多少米？（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安

全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这

样的改造是否可行？说明理由．（精确到0.01,

参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）整理课件解析：（1）滑滑板增加的长度实际是（AD-AB）的

长.在Rt△ABC中，通过解直角三角形求出AC

的长，进而在Rt△ACD中求出AD的长得解；

（2）分别在Rt△ABC、Rt△ACD中求出BC、CD的长，即可求出BD的长，进而可求出改造

后滑滑板前方的空地长．若此距离大于等于3

米则这样改造安全，反之则不安全．解：（1）在Rt△ABC中，BC=AC=AB•sin45°=m在Rt△ADC中AD=mCD=m∴AD-AB≈5×1.414-5=2.07m,改善后的斜坡会加长2.07m；整理课件（2）这样改造能行．∵CD-BC≈×2.449-×1.414≈2.59<6-3

∴这样改造能行．答：改善后的斜坡坡面会加长2.07m；这样改造

能行.整理课件变式拓展1.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：，斜坡AB的水平宽度BE=m，

那么斜坡AB长为

m．1.6整理课件2.（2015•淄博模拟）如图，有一段斜坡BC长为10m，坡角∠CBD=12°，为方便残疾人的轮椅

车通行，现准备把坡角降为5°.（1）求坡高CD；（2）求斜坡新起点A到原起点B的距离．

（精确到0.1m）参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09整理课件解：（1）在Rt△BCD中，CD=BC•sin12°≈10×0.21=2.1m（2）在Rt△BCD中，BD=BC•cos12°≈10×0.98=9.8m在Rt△ACD中

AB=AD-BD≈23.33-9.8=13.53≈13.5m.答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．整理课件随堂检测1.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若

它把物体从地面点A处送到离地面2m高的B处，

则物体从A到B所经过的路程为（）

A.6mB.mC.2mD.3m2.如图，防水堤坝的轴截面是等腰梯形ABCD，DA=CB，DC∥AB，DA=5，DC=4，AB=9，则斜坡DA

的坡角为

°.第1题第2题C60整理课件3.某建筑物门口有一无障碍通道，

通道的斜坡长为am，通道的最

高点距水平地面bm，若a：b=

：1，该通道的坡比是

.4.（2014•巴中）如图，一水库大坝的横断面为梯

形ABCD，坝顶BC宽6m，坝高20m，斜坡AB的坡

度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的

长度.（精确到0.1m，参考数据：≈1.414，

≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与

水平长度之比）．整理课件解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F

则四边形BCFE是矩形由题意得，BC=EF=6m，BE=CF=20m

斜坡AB的坡度i为1：2.5在Rt△ABE中，∴AE=50m在Rt△CFD中，∠D=30°∴DF=CF•cot∠D=20m∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6m．答：坝底AD的长度约为90.6m．整理课件5.（2015•泰州校级一模）如图，一堤坝的坡角

∠ABC=62°，坡面长度AB=30m（图为横截面），

为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡

面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝

底向外拓宽多少米？（结果保留到1m）（参考

数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）整理课件解：过A点作AE⊥CD于E

在Rt△ABE中，∠ABE=62°∴AE=AB•sin62°≈30×0.88=26.4mBE=AB•cos62°≈30×0.47=14.1m在Rt△ADE中，∠ADB=50°∴DE=≈=22m∴DB=DE-BE≈8m答：此时应将坝底向外拓宽大约8m．整理课件28.4应用举例（3）1.如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东

方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏

东30°方向上，则AB的长为（）

A.2kmB.3kmC.kmD.3km2.小军从A地沿北偏西60°方

向走10m到B地，再从B地向第1题

正南方向走20m到C地，此时小军离A地（）A.5mB.10mC.15mD.10mBD整理课件3.已知东西海岸线上有相距7km的A、B两个码头，

灯塔P距A码头13km，在B码头测得灯塔P在北偏

东45°方向，则灯塔P到海岸线的距离为

km.4.一只兔子沿OP（北偏东30°）的方向向前跑．已

知猎人在Q（1，）点挖了一口陷阱，问：如果

兔子继续沿原来的方向跑，

（填“有”或

“没有”）危险？5或12有整理课件课堂精讲知识点

方位角的概念

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角．如图所示目标方向线OA，OB，OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向，北偏东45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向，南偏西45°习惯上又叫做西南方向，整理课件

注意：因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角都写成“北偏……”，“南偏……”的形式，而一般不写成“西偏……”，“东偏……”的形式．

解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.【例1】如图，一艘海轮位于灯塔P的

北偏东30°方向，距离灯塔

80海里的A处，它沿正南方向

航行一段时间后，到达位于

灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为

海里．（结果保留根号）整理课件解析：作PC⊥AB于C，由已知条件易求PC的长，在Rt△PBC中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°，则PB可求出．解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中∵PA=80，∠PAC=30°∴PC=40在Rt△PBC中，PC=40，

∠PBC=∠BPC=45°∴PB=40答案：40整理课件【例2】（2015•泰安模拟）甲、乙两条轮船同时从

港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北

偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的

速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令

要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿

着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假

设乙船的速度和航向保持不变，求：（