第十二章-动量矩定理1课件

质点和质点系的动量矩动量矩定理刚体绕定轴转动的微分方程刚体对轴的转动惯量质点系相对质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程

第十二章动量矩定理引言

由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平动和相对基点的转动。若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理（质心运动定理）描述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。12.1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩

设质点某瞬时的动量为，质点相对固定点

的矢径为，如图。质点M的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩，即

垂直于，大小等于面积的二倍，方向由右手法则确定。

类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对固定坐标轴的动量矩等于质点对坐标原点的动量矩在相应坐标轴上的投影，即质点对固定轴的动量矩是代数量，其正负号可由右手法则来确定。动量矩是瞬时量。在国际单位制中，动量矩的单位是12.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩

1、质点系对固定点的动量矩

设质点系由个质点组成，其中第个质点的动量为，对任一固定点的动量矩为，则质点系对固定点的动量矩为即：质点系对任一固定点O的动量矩定义为质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和。

2、质点系对固定轴的动量矩

以固定点O为原点建立直角坐标轴，将上式投影到轴上，则有即：质点系对任一固定轴的动量矩定义为质点系中各质点对该固定轴动量矩的代数和。12.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩

3、平动刚体的动量矩

设平动刚体的质量为，质心的速度为。其上任一点的质量为，速度为，则。任选一固定点，则有由于，所以即：平动刚体对任一固定点的动量矩等于视刚体为质量集中于质心的质点对该固定点的动量矩。

12.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩

4、转动刚体对转轴的动量矩

设刚体绕定轴转动的角速度为，刚体上任一质点的质量为，到转轴的距离为，则其速度的大小为，于是有令

称为刚体对转轴的转动惯量，于是有即：定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与刚体角速度的乘积。12.1质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩

例1均质圆盘可绕轴转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物。若圆盘对转轴的转动惯量为，半径为，角速度为，重物的质量为，并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴的动量矩。

解：的转向沿逆时针方向。12.2动量矩定理一、质点的动量矩定理

设质点对固定点的动量矩为

，作用力对同一点的矩为，如图所示。

将动量矩对时间取一次导数，得由，且，则上式可改写为因为，，于是得12.2动量矩定理一、质点的动量矩定理即：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于质点所受的力对同一点的矩。这就是质点的动量矩定理。

将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得即：质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩。12.2动量矩定理一、质点的动量矩定理

在特殊情况下，若，则

若，则即：若作用在质点上的作用力对某固定点（或固定轴）之矩恒等于零，则质点对该点（或该轴）的动量矩为常矢量（或常量）。这就是质点的动量矩守恒定理。12.2动量矩定理一、质点的动量矩定理

例2图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为，摆线长为，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。

解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为，摆的偏角为，则式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标的正负号相反。它表明力矩总是有使摆锤回到平衡位置的趋势。12.2动量矩定理一、质点的动量矩定理由，得即这就是单摆的运动微分方程。当很小时摆作微摆动，，于是上式变为此微分方程的解为其中和为积分常数，取决于初始条件。可见单摆的微幅摆动为简谐运动。摆动的周期为显然，周期只与有关，而与初始条件无关。12.2动量矩定理二、质点系的动量矩定理

设质点系内有个质点，作用于每个质点的力分为外力和内力。由质点的动量矩定理有这样的方程共有个，相加后得由于内力总是成对出现，因此上式右端的底二项上式左端为于是得12.2动量矩定理二、质点系的动量矩定理即：质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。这就是质点系的动量矩定理。应用时，取投影式即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。12.2动量矩定理二、质点系的动量矩定理

在特殊情况下，若，则

若，则即：若作用在质点系上的作用力对某固定点（或固定轴）之矩恒等于零，则质点系对该点（或该轴）的动量矩为常矢量（或常量）。这就是质点系的动量矩守恒定理。12.2动量矩定理二、质点系的动量矩定理例3高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为，质量为，绕轴转动。小车和矿石的总质量为。作用在鼓轮上的力偶矩为，鼓轮对转轴的转动惯量为，轨道倾角为。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度。

解：以系统为研究对象，受力如图。以顺时针为正，则由，有12.2动量矩定理二、质点系的动量矩定理因，，于是解得若，则，小车的加速度沿轨道向上。

必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。12.2动量矩定理二、质点系的动量矩定理例4水平杆AB长为，可绕铅垂轴转动，其两端各用铰链与长为的杆AC及BD相连，杆端各联结重为的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂时，这系统绕轴的角速度为（如图）。如某时此细线拉断后，杆AC和BD各与铅垂线成角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度。

解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即12.2动量矩定理二、质点系的动量矩定理其中于是由此求出断线后的角速度为显然，此时的角速度。12.2动量矩定理二、质点系的动量矩定理

例5一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为的重物，另一端有一质量为的人以速度相对细绳向上爬。若滑轮半径为，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。

解：以系统为研究对象，受力如图。由于，且系统初始静止，所以。

设重物A上升的速度为，则人的绝对速度的大小为所以即12.2动量矩定理二、质点系的动量矩定理由上式解得重物A的速度为于是人的绝对速度为由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人与重物A将始终保持相同的高度。

设刚体绕定轴转动，受力如图所示。设刚体对轴的转动惯量为，则，由得即：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。以上各式均称为刚体绕定轴转动的微分方程。应用刚体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题。12.3刚体定轴转动的微分方程刚体定轴转动的微分方程

例6如图所示，已知滑轮半径为，转动惯量为，带动滑轮的皮带拉力为和。求滑轮的角加速度。

解：由刚体定轴转动的微分方程于是得由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。12.3刚体定轴转动的微分方程

例7图示物理摆的质量为，为其质心，摆对转轴的转动惯量为。求微小摆动的周期。

解：设角以逆时针方向为正。当角为正时，重力对点之矩为负。由刚体定轴转动的微分方程，有

当微摆动时，有，故方程写为此方程通解为

为角振幅，为初相位。它们均由初始条件确定。摆动周期为12.3刚体定轴转动的微分方程

如将上式改写为这就表明，如已知某物体的质量和质心位置，并将物体悬挂于点作微幅摆动，测出摆动周期后即可计算出此物体对于轴的转动惯量。

例8如图，飞轮对转轴的转动惯量为，以初角速度绕水平轴转动，其阻力矩（为常数）。求经过多长时间，角速度降至初角速度的一半，在此时间内共转多少转。

解：以飞轮为研究对象，由刚体定轴转动的微分方程，有（1）12.3刚体定轴转动的微分方程将（1）式变换，有将上式求定积分，得将（1）式改写为即将上式求定积分，得转过的角度为因此转过的转数12.3刚体定轴转动的微分方程例9如图所示，啮合齿轮各绕定轴、转动，其半径分别为、，质量分别为、，转动惯量分别为、，今在轮上作用一力矩，求其角加速度。

解：分别以两轮为研究对象，受力如图，由刚体定轴转动的微分方程，有由运动学关系，得注意到，联立求解以上三式得12.3刚体定轴转动的微分方程12.4转动惯量一、转动惯量的概念

由前知，刚体对轴的转动惯量定义为：刚体上所有质点的质量与该质点到轴的垂直距离的平方乘积的算术和。即对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式

由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是：。同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。12.4转动惯量二、规则形状均质刚体的转动惯量

1、均质细杆对过质心和端点且垂直于杆轴线轴的转动惯量

取杆的轴线为轴，轴的位置如图。在距轴为处取一长度为的微段，它的质量为，对于的转动惯量为。于是整个细长杆对于轴的转动惯量为同法可得对轴的转动惯量为12.4转动惯量二、规则形状均质刚体的转动惯量

2、细圆环对过质心垂直于圆环平面轴的转动惯量

设细圆环的质量为，半径为。则

3、薄圆板对过质心垂直于板平面轴的转动惯量设细圆环的质量为，半径为。则，圆环的质量为，于是圆板转动惯量为12.4转动惯量二、规则形状均质刚体的转动惯量

4、圆柱体对其中心轴的转动惯量

设圆柱体的质量为，半径为，则

5、薄平面的转动惯量

取如图坐标轴。任取微面元，其质量为，则于是得到薄平板对三坐标轴的转动惯量之间的关系式，即12.4转动惯量二、规则形状均质刚体的转动惯量

对于薄圆板，注意到它关于直径的对称性，有

6、矩形薄平板的转动惯量

设板的质量为，则同理而它对垂直于板平面的质心轴的转动惯量为12.4转动惯量三、转动惯量的平行轴定理

定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即

证明：如图所示，作直角坐标系，则因为，，于是12.4转动惯量三、转动惯量的平行移轴定理

由质心坐标公式，当坐标原点取在质心时，，，又有，于是得证毕。

由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小。12.4转动惯量三、转动惯量的平行移轴定理

例10如图所示，已知均质杆的质量为，对轴的转动惯量为，求杆对的转动惯量。

解：由，得（1）（2）12.4转动惯量四、组合刚体的转动惯量

例11均质直角折杆尺寸如图，其质量为，求其对轴

的转动惯量。

解：12.4转动惯量四、组合刚体的转动惯量

例12如图所示，质量为的均质空心圆柱体外径为，内径为，求对中心轴的转动惯量。

解：空心圆柱可看成由两个实心圆柱体组成，外圆柱体的转动惯量为，内圆柱体的转动惯量为取负值，即设、分别为外、内圆柱体的质量，则于是12.4转动惯量四、组合刚体的转动惯量

设单位体积的质量为，则代入前式得注意到，则得12.4转动惯量五、回转半径（惯性半径）

在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为

称为刚体对轴的回转半径。显然具有常度的单位。如果已知回转半径，则刚体对转轴的转动惯量为

回转半径的几何意义是：假想地将刚体的质量集中到一点处，并保持刚体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。

由定义知，回转半径仅与刚体的形状有关，而与刚体的材质（即与刚体的质量）无关。即几何形状相同，材质不同的均质刚体，其回转半径相同。12.5质点系相对质心的动量矩定理

如图所示，为固定点，为质点系的质心，质点系对于固定点的动量矩为对于任一质点，由图可见于是由于，令，它是质点系相对于质心的动量矩。于是得即：质点系对任一点O的动量矩等于集中于质心的系统动量对于O点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩（应为矢量和）。一、质点系对任一固定点O的动量矩12.5质点系相对质心的动量矩定理其中，即：质点系在绝对运动中对质心的动量矩，等于质点系在相对质心平动坐标系的运动中对质心的动量矩。二、质点系在绝对运动及相对运动中对质心的动量矩计算：由于于是得：12.5质点系相对质心的动量矩定理即：质点系对任一点O的动量矩等于集中于质心的系统动量对于O点的动量矩再加上此系统相对于质心的动量矩（应为矢量和）。质点系对任一固定点O的动量矩12.5质点系相对质心的动量矩定理即：质点系对任一点O的动量矩等于集中于质心的系统动量对于O点的动量矩再加上此系统相对于质心的动量矩（应为矢量和）。质点系对任一固定点O的动量矩12.5质点系相对质心的动量矩定理

例13均质圆盘质量为，半径为。细杆OA质量为，长为，绕轴O转动的角速度为、求下列三种情况下系统对轴O的动量矩：(a)圆盘与杆固结；(b)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度逆时针方向转动；(c)圆盘绕轴A相对杆OA以角速度顺时针方向转动。解：(a)12.5质点系相对质心的动量矩定理(b)(c)12.5质点系相对质心的动量矩定理

质点系对于固定点O的动量矩定理可写成展开上式括弧，注意右端项中，于是上式化为因为，，，，于是上式成为上式右端是外力对质心的主矩，于是得12.5质点系相对质心的动量矩定理即：质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。这就是质点系相对于质心的动量矩定理。12.6刚体平面运动微分方程

由刚体平面运动理论知：平面运动刚体的位置可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。取质心为基点，如图所示，则刚体的位置可有质心坐标和角确定。刚体的运动可分解为随同质心的平动和相对质心的转动两部分。取如图的动坐标系，则刚体绕质心的动量矩为

为刚体过质心且垂直于图示平面轴的转动惯量。

设刚体在力、、、作用下作平面运动，由质心运动定理和相对质心的动量矩定理得12.6刚体平面运动微分方程上式也可写成以上两式称为刚体平面运动微分方程。应用时，前一式取其投影式。即或12.6刚体平面运动微分方程

例14一均质圆柱，重，半径为，无初速地放在倾角为的斜面上，不计滚动阻力，求其质心的加速度。

解：以圆柱体为研究对象，受力如图。圆柱体在斜面上的运动形式，取决于接触处的光滑程度，下面分三种情况进行讨论：（1）设接触处完全光滑

此时圆柱作平动，由质心运动定理即得圆柱质心的加速度12.6刚体平面运动微分方程（2）设接触处相当粗糙

此时圆柱作纯滚动，这时滑动摩擦力。由有（1）（2）（3）由纯滚动条件有（4）

由（1）、（3）、（4）式解得同时可解得由于圆柱作纯滚动，故12.6刚体平面运动微分方程所以：，可得这就是圆柱体在斜面上作纯滚动的条件。（3）设不满足圆柱体在斜面上作纯滚动的条件，即当时，则圆柱体在斜面上既滚动又滑动。在这种情况下，关系式（4）不成立。

设圆柱体沿斜面滑动的动摩擦系数为，则滑动摩擦力（5）于是，由式（1）、（2）、（3）、（5）联立解得12.6刚体平面运动微分方程

例15均质圆柱体A和B重量均为，半径均为。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。

解：分别以A、B为研究对象，受力如图。A作定轴转动，B作平面运动。对A和B分别应用定轴转动的微分方程和平面运动的微分方程，有（1）（2）（3）其中（4）12.6刚体平面运动微分方程由运动学关系（5）联立求解（1）——（5），得12.6刚体平面运动微分方程

例16如图质量为的均质杆AB用细绳吊住，已知两绳与水平方向的夹角为。求B端绳断开瞬时，A端绳的张力。

解：以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。由有（1）（2）

AB作平面运动，以A为基点，则12.6刚体平面运动微分方程因为断开初瞬时，，，故，所以将上式投影到轴上，得而所以（3）联立求解（1）、（2）、（3）式，得12.6刚体平面运动微分方程

例17长，重的均质杆AB和BC用铰链B联接，并用铰链A固定，位于平衡位置如图所示。今在C端作用一水平力，求此瞬时，两杆的角加速度。解：分别以AB和BC为研究对象，受力如图。AB和BC分别作定轴转动和平面运动。对AB由定轴转动的微分方程得（1）对BC由刚体平面运动的微分方程12.6刚体平面运动微分方程得（2）（3）BC作