2023年新疆阿勒泰第二高级中学数学高二第二学期期末统考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数在区间上为单调函数，且，则函数的解析式为（）A． B．C． D．2．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（）A． B． C． D．3．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A． B．C． D．4．已知，的最小值为，则的最小值为（）A． B． C． D．5．若函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能（）A． B．C． D．6．函数在的图像大致为（）A． B．C． D．7．椭圆的长轴长为（）A．1 B．2 C． D．48．因为对数函数是增函数，而是对数函数，所以是增函数，上面的推理错误的是A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．以上都是9．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．10．某图书出版公司到某中学开展奉献爱心图书捐赠活动，某班级获得了某品牌的图书共4本，其中数学、英语、物理、化学各一本，现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁4个人，每人一本，并请这4个人在得到的赠书之前进行预测，结果如下：甲说：乙或丙得到物理书；乙说：甲或丙得到英语书；丙说：数学书被甲得到；丁说：甲得到物理书．最终结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测均不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人得到的书分别是（）A．数学、物理、化学、英语 B．物理、英语、数学、化学C．数学、英语、化学、物理 D．化学、英语、数学、物理11．64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为a的球，记其体积为，表面积为，则（）A．>且> B．<且<C．=且> D．=且=12．函数的所有零点的积为m，则有（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答）14．已知复数z＝(m＋1)＋(m﹣2)i是纯虚数（i为虚数单位），则实数m的值为_______．15．精准扶贫期间，5名扶贫干部被安排到三个贫困村进行扶贫工作，每个贫困村至少安排一人，则不同的分配方法共有____________种．16．已知是虚数单位，则复数的模为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.（1）当时，求及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.18．（12分）设数列an的前n项和为Sn且对任意的正整数n都有:（1）求S1（2）猜想Sn的表达式并证明19．（12分）已知数列满足：，且.（Ⅰ）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.20．（12分）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若方程恰有两个实数根，求a的值.21．（12分）在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为：（为参数）．（1）求圆和直线l的极坐标方程；（2）点的极坐标为，直线l与圆相交于A，B，求的值．22．（10分）在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由函数在区间上为单调函数，得周期，，得出图像关于对称，可求出，，得出函数的对称轴，结合对称中心和周期的范围，求出周期，即可求解.【详解】设的最小正周期为，在区间上具有单调性，则，即，由知，有对称中心，所以.由，且，所以有对称轴.故.解得，于是，解得，所以.故选：C【点睛】本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法，属于中档题.2、B【解析】

先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，确定其圆心的直角坐标再化成极坐标即可．【详解】圆化为,，配方为，因此圆心直角坐标为，可得圆心的极坐标为故选B【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，点的直角坐标与极坐标的转化，比较基础．3、C【解析】取BD的中点E，连结CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱锥的侧视图，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面积S=××=，故选C.4、C【解析】

如图所示：在直角坐标系中，取点，，，得到的轨迹方程为，故，得到答案.【详解】如图所示：在直角坐标系中，取点，，，则，，满足，设，过点作垂直于所在的直线与，则的最小值为，即，根据抛物线的定义知的轨迹方程为：.取，故，即，当垂直于准线时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量和抛物线的综合应用，根据抛物线的定义得到的轨迹方程是解题的关键.5、C【解析】

根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性即可.【详解】由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则由导函数的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，排除，且两个拐点（即函数的极值点）在x轴上的右侧，排除B.故选：.【点睛】本题主要考查的是导数与函数的单调性，熟练掌握函数的导数与函数单调性的关系是解题的关键，是基础题.6、C【解析】

利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及与的大小关系辨别函数的图象．【详解】，所以，函数为奇函数，排除D选项；当时，，则，排除A选项；又，排除B选项．故选C．【点睛】本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查分析问题的能力，属于中等题．7、D【解析】

由椭圆方程得出即可【详解】由可得，即所以长轴长为故选：D【点睛】本题考查的是由椭圆的方程得长轴长，较简单8、A【解析】

由于三段论的大前提“对数函数是增函数”是错误的，所以选A.【详解】由于三段论的大前提“对数函数是增函数”是错误的，只有当a>1时，对数函数才是增函数，故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查三段论，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)一个三段论，只有大前提正确，小前提正确和推理形式正确，结论才是正确的.9、A【解析】

直接求交集得到答案.【详解】集合，集合，则.故选：.【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.10、D【解析】

根据甲说的和丁说的都错误，得到物理书在丁处，然后根据丙说的错误，判断出数学书不在甲处，从而得到答案.【详解】甲说：乙或丙得到物理书；丁说：甲得到物理书．因为甲和丁说的都是错误的，所以物理书不在甲、乙、丙处，故物理书在丁处，排除A、B选项；因为丙说：数学书被甲得到，且丙说的是错误的，所以数学书不在甲处，故排除C项；所以答案选D项.【点睛】本题考查根据命题的否定的实际应用，属于简单题.11、C【解析】

分别计算出、、、，再比较大小。【详解】，，故=，>【点睛】已知直径利用公式,分别计算出、、、，再比较大小即可。12、B【解析】

作函数y=e-x与y=|log2x|的图象，设两个交点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）（不妨设x1＜x2），得到0＜x1＜1＜x2＜2，运用对数的运算性质可得m的范围．【详解】令f（x）=0，即e-x=|log2x|，

作函数y=e-x与y=|log2x|的图象，

设两个交点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）

（不妨设x1＜x2），

结合图象可知，0＜x1＜1＜x2＜2，

即有e-x1=-log2x1，①

e-x2=log2x2，②

由-x1＞-x2，

②-①可得log2x2+log2x1＜0，

即有0＜x1x2＜1，

即m∈（0，1）．

故选：B．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图象，以及转化思想和数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、60【解析】分析：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人。详解：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人（乙、丙派的人不一样故要排列）。共有60种。点睛：分配问题，先分组（组合）后分派（排列）。14、-1.【解析】分析：由复数的实部等于0且虚部不等于0列式求解m的值.详解：由复数是纯虚数，得，解得.故答案为-1.点睛：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件.15、150【解析】

分两种情况讨论：一是三个贫困村安排的干部数分别为、、，二是三个贫困村安排的干部数分别为、、，利用排列组合思想分别求出这两种情况的分配方法数，加起来可得出结果.【详解】分两种情况讨论：一是三个贫困村安排的干部数分别为、、，分配方法种数为；二是三个贫困村安排的干部数分别为、、，分配方法种数为.综上所述，所有的分配方法种数为，故答案为．【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分配问题，这类问题一般是先分组再排序，由多种情况要利用分类讨论来处理，考查分类讨论数学思想，属于中等题．16、【解析】

先由复数除法化简复数，再求得复数模。【详解】由题意可得，所以，填。【点睛】本题主要考查复数的除法以及复数的模，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），l的极坐标方程为；（2）【解析】

（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【详解】（1）因为点在曲线上，所以；即，所以，因为直线l过点且与垂直，所以直线的直角坐标方程为，即；因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；（2）设，则，，由题意，，所以，故，整理得，因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.18、（1）12,23【解析】

（1）分别代入n=1,2,3计算即可求解；（2）猜想:Sn=【详解】当n=1,S当n=2,当n=3,（2）猜想:Sn证明：①当n=1时，显然成立；②假设当n=k(k≥1且k∈N*)则当n=k+1时，由(Sk+1-1)2整理得Sk+1即n=k+1时,猜想也成立.综合①②得Sn【点睛】本题考查递推数列求值，数学归纳法证明，考查推理计算能力，是基础题19、（Ⅰ），，，猜想.（Ⅱ）证明见解析【解析】

（Ⅰ）令，可得，，的值，根据，可猜想数列的通项公式；（Ⅱ）①当时，猜想显然成立；②假设当时猜想成立，通过证明当时，猜想也成立，从而得到证明.【详解】解：（Ⅰ）由递推公式可得，，，猜想.（Ⅱ）下面用数学归纳法证明猜想成立.①当时，猜想显然成立；②假设当时猜想成立，即，则时，由，得，即当时，猜想也成立，由①②可知，对任意均成立.【点睛】本题主要考查归纳推理及用数学归纳法证明猜想成立.20、（1）（2）【解析】

（1）根据已知求得，可求得曲线在处的切线方程;（2）由方程恰有两个实数根，进行参变分离得，构造函数，对所构造的函数求导,分析出其导函数的正负,得出所构造的函数的单调性和图象趋势,极值,从而可得出a的值.【详解】（1）函数，，，曲线在处的切线方程为，即.（2）方程恰有两个实数根，即恰有两个实数根，∵，所以可得，显然时，上式不成立；设，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；，，又当时，，当时，，，得.【点睛】本题考查求在函数上的一点的切线方程,和根据方程的根的情况求参数的值,解决的关键在于进行参变分离,构造合适的函数,并对所构造的函数求导,分析其导函数的正负,得所构造的函数的单调性和图象趋势和极值,属于常考题,难度题.21、（1）圆的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）．【解析】

（1）代入圆C得圆C的极坐标方程；直线l的参数方程转化成普通方程，进而求得直线l的极坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，求得关于t的一元二次方程，令A，B对应参数分别为t1，t2，根据韦达定理、直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值．【详解】（1）圆的直角坐标方程为：，把代入圆得：化简得圆的极坐标方程为：由（为参数），得，的极坐标方程为：.（2）由点的极坐标