高考数学全国新课标I卷3年（2023-2023）真题汇编-解答题 (含解析)

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高考数学全国新课标I卷3年（2023-2023）真题汇编-解答题

一、解答题

1．（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．

(1)求；

(2)设，求边上的高．

2．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；

(2)点在棱上，当二面角为时，求．

3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．

4．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．

(1)若，求的通项公式；

(2)若为等差数列，且，求．

5．（2023·全国·统考高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．

6．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．

(1)求的方程；

(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．

7．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

8．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求B；

(2)求的最小值．

9．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

10．（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．

附，

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

11．（2022·全国·统考高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．

(1)求l的斜率；

(2)若，求的面积．

12．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．

(1)求a；

(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

13．（2023·全国·统考高考真题）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.

14．（2023·全国·统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

15．（2023·全国·统考高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.

（1）证明：；

（2）若，求.

16．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

17．（2023·全国·统考高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.

18．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

参考答案：

1．(1)

(2)6

【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；

（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.

【详解】（1），

，即，

又，

，

，

，

即，所以，

.

（2）由（1）知，，

由，

由正弦定理，，可得，

，

.

2．(1)证明见解析；

(2)1

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.

【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，

，

，

又不在同一条直线上，

.

（2）设，

则，

设平面的法向量，

则，

令，得，

，

设平面的法向量，

则，

令，得，

，

，

化简可得，，

解得或，

或，

.

3．(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；

（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.

方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.

【详解】（1）因为，定义域为，所以，

当时，由于，则，故恒成立，

所以在上单调递减；

当时，令，解得，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增；

综上：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）方法一：

由（1）得，，

要证，即证，即证恒成立，

令，则，

令，则；令，则；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，则恒成立，

所以当时，恒成立，证毕.

方法二：

令，则，

由于在上单调递增，所以在上单调递增，

又，

所以当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增，

故，则，当且仅当时，等号成立，

因为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以要证，即证，即证，

令，则，

令，则；令，则；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，则恒成立，

所以当时，恒成立，证毕.

4．(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；

（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.

【详解】（1），，解得，

，

又，

，

即，解得或（舍去），

.

（2）为等差数列，

，即，

，即，解得或，

，，

又，由等差数列性质知，，即，

，即，解得或（舍去）

当时，，解得，与矛盾，无解；

当时，，解得.

综上，.

5．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据全概率公式即可求出；

（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；

（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．

【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，

所以，

.

（2）设，依题可知，，则

，

即，

构造等比数列，

设，解得，则，

又，所以是首项为，公比为的等比数列，

即．

（3）因为，，

所以当时，，

故．

【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．

6．(1)

(2)见解析

【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即可；

（2）法一：设矩形的三个顶点，且，分别令，，且，利用放缩法得，设函数，利用导数求出其最小值，则得的最小值，再排除边界值即可.

法二：设直线的方程为，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.

法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.

【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，

故.

（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，

则,令，

同理令，且，则，

设矩形周长为,由对称性不妨设，，

则.，易知

则令,

令，解得，

当时，，此时单调递减，

当，，此时单调递增，

则，

故,即.

当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,

得证.

法二：不妨设在上，且，

依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，

则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，

直线的方程为，

则联立得，

，则

则，

同理，

令，则，设，

则，令，解得，

当时，，此时单调递减，

当，，此时单调递增，

则，

，

但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.

法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,

矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.

设,根据对称性不妨设.

则,由于,则.

由于,且介于之间,

则.令,

,则,从而

故

①当时,

②当时,由于,从而,

从而又,

故,由此

，

当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.

.

【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.

7．(1)

(2)见解析

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.

【详解】（1）∵，∴,∴,

又∵是公差为的等差数列，

∴,∴,

∴当时，，

∴,

整理得：,

即,

∴

，

显然对于也成立，

∴的通项公式；

（2）

∴

8．(1)；

(2)．

【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；

（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．

【详解】（1）因为，即，

而，所以；

（2）由（1）知，，所以，

而，

所以，即有，所以

所以

．

当且仅当时取等号，所以的最小值为．

9．(1)

(2)

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.

【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，

则，

解得，

所以点A到平面的距离为；

（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,

又平面平面，平面平面，

且平面，所以平面，

在直三棱柱中，平面，

由平面，平面可得，，

又平面且相交，所以平面，

所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）得，所以，，所以，

则,所以的中点，

则，,

设平面的一个法向量，则，

可取，

设平面的一个法向量，则，

可取，

则，

所以二面角的正弦值为.

10．(1)答案见解析

(2)（i）证明见解析；(ii)；

【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.

【详解】（1）由已知，

又，，

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

（2）(i)因为，

所以

所以，

(ii)

由已知，，

又，，

所以

11．(1)；

(2)．

【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；

（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线的距离，即可得出的面积．

【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．

易知直线l的斜率存在，设，，

联立可得，，

所以，，且．

所以由可得，，

即，

即，

所以，

化简得，，即，

所以或，

当时，直线过点，与题意不符，舍去，

故．

（2）［方法一］：【最优解】常规转化

不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，

当均在双曲线左支时，，所以，

即，解得（负值舍去）

此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；

当均在双曲线右支时，

因为，所以，即，

即，解得（负值舍去），

于是，直线，直线，

联立可得，，

因为方程有一个根为，所以，，

同理可得，，．

所以，，点到直线的距离，

故的面积为．

［方法二］：

设直线AP的倾斜角为，，由，得，

由，得，即，

联立，及得，，

同理，，，故，

而，，

由，得，

故

【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；

法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．

12．(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.

（2）根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.

【详解】（1）的定义域为，而，

若，则，此时无最小值，故.

的定义域为，而.

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

故.

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

故.

因为和有相同的最小值，

故，整理得到，其中，

设，则，

故为上的减函数，而，

故的唯一解为，故的解为.

综上，.

（2）[方法一]：

由（1）可得和的最小值为.

当时，考虑的解的个数、的解的个数.

设，，

当时，，当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

所以，

而，，

设，其中，则，

故在上为增函数，故，

故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.

设，，

当时，，当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

所以，

而，，

有两个不同的零点即的解的个数为2.

当，由（1）讨论可得、仅有一个解，

当时，由（1）讨论可得、均无根，

故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，

则.

设，其中，故，

设，，则，

故在上为增函数，故即，

所以，所以在上为增函数，

而，，

故上有且只有一个零点，且：

当时，即即，

当时，即即，

因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，

故，

此时有两个不同的根，

此时有两个不同的根，

故，，，

所以即即，

故为方程的解，同理也为方程的解

又可化为即即，

故为方程的解，同理也为方程的解，

所以，而，

故即.

[方法二]：

由知，，，

且在上单调递减，在上单调递增；

在上单调递减，在上单调递增，且

①时，此时，显然与两条曲线和

共有0个交点，不符合题意；

②时，此时，

故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；

③时，首先，证明与曲线有2个交点，

即证明有2个零点，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又因为，，，

令，则，

所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为

其次，证明与曲线和有2个交点，

即证明有2个零点，，

所以上单调递减，在上单调递增，

又因为，，，

令，则，

所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为

再次，证明存在b，使得

因为，所以，

若，则，即，

所以只需证明在上有解即可，

即在上有零点，

因为，，

所以在上存在零点，取一零点为，令即可，

此时取

则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，

最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，

因为

所以，

又因为在上单调递减，，即，所以，

同理，因为，

又因为在上单调递增，即，，所以，

又因为，所以，

即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.

13．（1）；（2）.

【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；

(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.

【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：

显然为偶数，则，

所以，即，且，

所以是以2为首项，3为公差的等差数列，

于是．

[方法二]：奇偶分类讨论

由题意知，所以．

由（为奇数）及（为偶数）可知，

数列从第一项起，

若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，

若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．

所以，则．

[方法三]：累加法

由题意知数列满足．

所以，

，

则．

所以，数列的通项公式．

（2）[方法一]：奇偶分类讨论

．

[方法二]：分组求和

由题意知数列满足，

所以．

所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．

从而数列的前20项和为：

．

【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；

方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；

方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.

(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；

方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.

14．（1）见解析；（2）类．

【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．

【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．

；

；

．

所以的分布列为

（2）由（1）知，．

若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．

；

；

．

所以．

因为，所以小明应选择先回答类问题．

15．（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.

（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.

【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，

得，

因为，所以，即．

又因为，所以．

（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理

因为，如图，在中，，①

在中，．②

由①②得，整理得．

又因为，所以，解得或，

当时，（舍去）．

当时，．

所以．

[方法二]：等面积法和三角形相似

如图，已知，则，

即，

而，即，

故有，从而．

由，即，即，即，

故，即，

又，所以，

则．

[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合

由（1）知，再由得．

在中，由正弦定理得．

又，所以，化简得．

在中，由正弦定理知，又由，所以．

在中，由余弦定理，得．

故．

[方法四]：构造辅助线利用相似的性质

如图，作，交于点E，则．

由，得．

在中，．

在中．

因为，

所以，

整理得．

又因为，所以，

即或．

下同解法1．

[方法五]：平面向量基本定理

因为，所以．

以向量为基底，有．

所以，

即，

又因为，所以．③

由余弦定理得，

所以④

联立③④，得．

所以或．

下同解法1．

[方法六]：建系求解

以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，

长为单位长度建立直角坐标系，

如图所示，则．

由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．

设，则．⑤

由知，，

即．⑥

联立⑤⑥解得或（舍去），，

代入⑥式得，

由余弦定理得．

【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.

16．(1)证明见解析；(2).

【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.

【详解】（1）因为，O是中点，所以，

因为平面，平面平面，

且平面平面，所以平面．

因为平面，所以.

（2）[方法一]：通性通法—坐标法

如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

则，设,

所以，

设为平面的法向量，

则由可求得平面的一个法向量为．

又平面的一个法向量为，

所以，解得．

又点C到平面的距离为，所以，

所以三棱锥的体积为．

[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作，垂足为点G．

作，垂足为点F，连结，则．

因为平面，所以平面，

为二面角的平面角．

因为，所以．

由已知得，故．

又，所以．

因为，

．

[方法三]：三面角公式

考虑三面角，记为，为，，

记二面角为．据题意，得．

对使用三面角的余弦公式，可得，

化简可得．①

使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②

将①②两式平方后相加，可得，

由此得，从而可得．

如图可知，即有，

根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，

结合的正切值，

可得从而可得三棱锥的体积为．

【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；

方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.

方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.

17．（1）；（2）.

【分析】(1)利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；

(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值.

【详解】(1)因为，

所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，

设轨迹的方程为，则，可得，，

所以，轨迹的方程为.

（2）[方法一]【最优解】：直线方程与双曲线方程联立

如图所示，设,

设直线的方程为．

联立,

化简得.

则．

故．

则．

设的方程为，同理．

因为，所以，

化简得，

所以，即．

因为，所以．

[方法二]：参数方程法

设．设直线的倾斜角为，

则其参数方程为，

联立直线方程与曲线C的方程，

可得，

整理得．

设，

由根与系数的关系得．

设直线的倾斜角为，，

同理可得

由，得．

因为，所以．

由题意分析知．所以，

故直线的斜率与直线的斜率之和为0．

[方法三]：利用圆幂定理

因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．

设,直线的方程为，

直线的方程为,

则二次曲线．

又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：

，

整理可得：

，

其中．

由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项