2022-2023学年江苏省常州市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.计算的结果是()

A.B.C.D.

2.若，两边都除以，得()

A.B.C.D.

3.细菌的个体十分微小，大约亿个细菌堆积起来只有一颗小米粒那么大某种细菌的直径是，用科学记数法表示这种细菌的直径是()

A.B.C.D.

4.下列运算正确的是()

A.B.

C.D.

5.一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数为()

A.B.C.D.

6.九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行，问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为()

A.B.C.D.

7.若，则关于的方程的解的取值范围是()

A.B.C.D.

8.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.计算：______．

10.因式分解：______．

11.“对顶角相等”是一个______命题填“真”或“假”．

12.已知是方程的解，则的值为______．

13.若，则______．

14.一个三角形的两边长分别是和，若第三边的长为偶数，则第三边的长是______．

15.已知关于，的二元一次方程组满足，则的取值范围是______．

16.如图，四边形纸片，，将纸片折叠，点、分别落在、处，为折痕，交于点若，则______

三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

计算：

；

．

18.本小题分

因式分解：

；

．

19.本小题分

解方程组或不等式组：

；

．

20.本小题分

已知，求下列代数式的值：

；

．

21.本小题分

观察下列等式：

；

；

；

；

根据上述规律，解答下列问题：

填空：______，______；

用含是正整数的等式表示这一规律，证明你的结论是正确的．

22.本小题分

“互联网”让我国经济更具活力，直播带货就是运用“互联网”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地甲为当地特色花生与茶叶两种产品直播带货，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低元，千克花生的售价与千克茶叶的售价相同．

求每千克花生与茶叶的售价；

若甲在小时内销售两种特产共千克，销售收入不低于元，则茶叶至少需要销售多少千克？

23.本小题分

如图，在中，点、分别在、上，，，垂足分别是、．

与平行吗？证明你的结论；

已知，，求的度数．

24.本小题分

关于的两个不等式与．

若两个不等式的解集相同，求的值．

若不等式的解都是的解，求的取值范围．

25.本小题分

如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．

求证：；

如图，，点在上，，求证：；

如图，平分，平分，若，求的度数．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：

的

．

故选：．

利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．

本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

2.【答案】

【解析】解：，两边都除以，

得，

故选：．

根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，求解即可．

本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

3.【答案】

【解析】解：

故选：．

绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

4.【答案】

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；

B、，原计算错误，故此选项不符合题意；

C、，原计算错误，故此选项不符合题意；

D、，原计算正确，故此选项符合题意；

故选：．

根据合并同类项法则、同底数幂的除法运算法则、平方差公式、幂的乘方的运算法则分别化简得出答案．

此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则和乘法公式是解题的关键．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查的是多边形的外角和的运用，明确正多边形的每个外角的度数边数是解题的关键．

任意多边形的外角和为，用除以即为多边形的边数．

【解答】

解：因为多边形的外角和为，

所以该多边形的边数．

故选：．

6.【答案】

【解析】解：设共有人，辆车，

依题意得：．

故选：．

设共有人，辆车，根据“如果每人坐一辆车，那么有辆空车；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

．

故选：．

把看作已知数求出方程的解得到的值，将代入计算即可．

本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是表示出．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质定理和外角的性质，求出，的度数是解本题的关键．利用三角形的内角和定理可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果．

【解答】

解：如图，

，，

，

，，

，

，

，

，

故选A．

9.【答案】

【解析】解：原式．

故答案为：．

直接根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．

此题考查的是单项式乘多项式，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

10.【答案】

【解析】解：原式．

故答案为：．

应用平方差公式进行计算即可得出答案．

本题主要考查了因式分解应用公式法，熟练掌握因式分解应用公式法进行求解是解决本题的关键．

11.【答案】真

【解析】解：对顶角相等是真命题，

故答案为：真．

根据对顶角相等、真命题的概念解答．

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

12.【答案】

【解析】解：把代入到方程中得：，

，

故答案为：．

把方程组的解代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可．

本题考查了二元一次方程的解，把方程组的解代入方程，得到关于的一元一次方程是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：，

．

，

，

．

故答案为：．

将化成底数都为的幂，根据同底数幂的乘法可得的值，代入所求式子即可．

本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方．化成底数相同是本题的关键．

14.【答案】

【解析】解：设第三边为，根据三角形的三边关系知，

，即，

又第三边的长是偶数，

为．

故答案为：．

利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．

此题主要考查了三角形三边关系，掌握第三边满足：大于已知两边的差，且小于已知两边的和是解决问题的关键．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查解一元一次不等式、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确利用加减消元法得到的值．

根据方程组的特点，用第一个方程减第二个方程，即可得到，再根据，即可得到，从而可以求得的取值范围．

【解答】

解：，

，得，

，

，

解得，

故答案为．

16.【答案】

【解析】解：，，

四边形是平行四边形，

，

根据翻转折叠的性质可知，，，

，

，，

，，

，

，

，

，

，

故答案为：．

首先判定四边形是平行四边形，得到，，再根据折叠变换的性质和平行线的性质将角度转化求解．

本题主要考查了翻转变化、平行四边形的判定和性质、三角形内角和等知识点，解题关键是将角度灵活转化求解．

17.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】利用零指数幂、负整数指数幂的法则，以及数的乘方的意义计算即可得到结果；

利用平方差公式和完全平方公式计算即可得到结果．

本题考查了整式的混合运算以及实数的运算，熟练掌握公式及运算法则是解题的关键．

18.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可；

提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．

本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

19.【答案】解：，

得：，

，

把代入得：，

，

方程组的解为；

，

解不等式得：，

解不等式得：，

不等式组的解集为．

【解析】用加减消元法把方程组转化为一元一次方程即可求解；

解出每个不等式，再取公共解集．

本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是掌握“消元“将“二元“转化为“一元“和取不等式公共解集的方法．

20.【答案】解：，

，

，

；

．

【解析】将已知完全平方公式展开，再代入计算即可得到答案；

将所求完全平方式展开后，整体代入计算可得答案．

此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

21.【答案】

【解析】解：，，

故答案为：，．

由数列，，，，得第个数为：，

由数列，，，，得第个数为：，

由数列，，，，得第个数为：，

该等式的规律为：．

等式左边：

，

结论正确．

按题所给算式计算即可；

分别探索三个数列的规律，再按照等式形式表示即可，将结论按照平方差公式展开计算即可．

本题考查了数字规律的探究，等差数列规律的性质及平方差公式的应用是解题关键．

22.【答案】解：设每千克花生的售价为元，每千克茶叶的售价为元，

根据题意得：，

解得：．

答：每千克花生的售价为元，每千克茶叶的售价为元；

设销售茶叶千克，则销售花生千克，

根据题意得：，

解得：，

的最小值为．

答：茶叶至少需要销售千克．

【解析】设每千克花生的售价为元，每千克茶叶的售价为元，根据“每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低元，千克花生的售价与千克茶叶的售价相同”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；

设销售茶叶千克，则销售花生千克，利用销售收入销售单价销售数量，结合销售收入不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

23.【答案】解：与平行．理由如下：

，，

，

；

，

，

，

，

，

．

【解析】先根据垂直的定义得到，然后根据同位角相等，两直线平行可判断；

由，根据平行线的性质得，而，所以，根据内错角相等，两直线平行得到，所以．

本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．

24.【答案】解：利用不等式的基本性质，由得：，

由得：，

由两个不等式的解集相同，得到，

解得：；

由不等式的解都是的解，得到，

结合的结论，可得：．

【解析】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．

利用不等式的基本性质，求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出的值即可；

根据不等式的解都是的解，结合的结论，求出的范围即可．

25.【