三垂线定理及逆定理

三垂线定理及逆定理第1页，课件共12页，创作于2023年2月复习：什么叫平面的斜线、垂线、射影？如果aα,a⊥AO，思考a与PO的位置关系如何？∪aAPoαPO是平面α的斜线,O为斜足;PA是平面α的垂线,A为垂足;AO是PO在平面α内的射影.第2页，课件共12页，创作于2023年2月PO平面PAO∪a⊥PO③

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PA⊥αaα∪①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAO

第3页，课件共12页，创作于2023年2月1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。2、a与PO可以相交，也可以异面。3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内

的一条直线垂直的判定定理。对三垂线定理的说明：三垂线定理

PaAoα第4页，课件共12页，创作于2023年2月例题分析：例1、判定下列命题是否正确(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b。()2°定理的关键:找一个平面（基准面）强调：1°四线是相对同一个平面而言(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。()××三垂线定理

第5页，课件共12页，创作于2023年2月例2:如图,在△ABC中,∠ACB=90º,AB=8,∠BAC=60º,PC⊥平面ABC,PC=4,M为AB边上一个动点,求PM的最小值。APBCH

由三垂线定理知PH⊥AB即点M在H时PM最小解：作CH⊥AB于H，连PH在△ABC中，易求得CH=2则在RT△PCH中，PH=2即PM的最小值为2

∵PC⊥平面ABC第6页，课件共12页，创作于2023年2月例3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C

∴BD1⊥ACA1D1C1B1ADCB∴BD1⊥平面AB1C证明：连结BD，连结A1B三垂线定理∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD又DD1⊥平面ABCD∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影∴BD1⊥AB1

第7页，课件共12页，创作于2023年2月关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。利用三垂线定理证明a⊥b的一个程序：一垂、二射、三证。第一、找平面(基准面)及平面垂线第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与一条斜线。三垂线定理第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。第8页，课件共12页，创作于2023年2月反过来,如果a⊥PO,是否有a⊥AO?

aAPoα三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线和斜线的射影垂直.第9页，课件共12页，创作于2023年2月例4四面体P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,求证PC⊥AB解:过P作PH⊥面ABC，连AH延长交BC于E，连BH延长交AC于FPH⊥平面PBC,PA⊥BC,而PA在面ABC内的射影为AH,由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH三垂线定理则H为△ABC的垂心同理可证BF⊥ACPABCEFGH连CH延长交AB于G，于是CG⊥AB而CH是PC在面ABC的射影故PC⊥AB第10页，课件共12页，创作于2023年2月请你解决一个实际问题：道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有水平测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？（假设塔基B、道路处于同一水平面）BAC90°D⌒45°三垂线定理第11页，课件共12页，创作于2023年2月三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。小结3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”1°定理中四条线均针对同一