一阶动态电路分析

一阶动态电路分析第1页，课件共49页，创作于2023年2月学习目标

进一步理解动态元件L、C的特性，并能熟练应用于电路分析。深刻理解零输入响应、零状态响应、全响应的含义，并掌握它们的分析计算方法。弄懂动态电路方程的建立及解法。熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素分析法。第2页，课件共49页，创作于2023年2月一阶电路及其特征若电路中仅包含（或者能等效为仅含）一个动态元件，则电路必为一阶电路。若电路中仅含有一种动态元件（电容或者电感），但数量在两个以上，则要根据连接关系确定动态电路是否是一阶电路。只含一种动态元件，且连接方式为简单的串联或者并联关系，则对应的电路输入方程——输出方程必为一阶线性微分方程。第3页，课件共49页，创作于2023年2月当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应.图5-1-1

RC电路的零输入1i+-UCISR0R2C(a)uR+-+-uCCi(b)5.1零输入响应图5-1-1(a)所示的电路中，在t<0时开关在位置1，电容被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压uC(0-)=R0IS，t=0时，开关扳向位置2，这样在t≥0时，电容将对R放电，电路如图5-1-1(b)所示，电路中形成电流i。故t>0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。5.1.1

RC电路的零输入响应第4页，课件共49页，创作于2023年2月-uR+uc=0而uR=i

R,

，代入上式可得上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为

uc=Aept

t≥0２式式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为１式对应的特征方程的根。将２式代入１式可得特征方程为

RCP+1=0１式换路后由图（b）可知，根据KVL有第5页，课件共49页，创作于2023年2月从而解出特征根为

则通解３式将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式，求出积分常数A为将代入３式，得到满足初始值的微分方程的通解为４式放电电流为

t≥0

t≥0

５式第6页，课件共49页，创作于2023年2月令τ=RC，它具有时间的量纲，即故称τ为时间常数,这样４、５两式可分别写为

t≥0

t≥0由于为负，故uc和i

均按指数规律衰减，它们的最大值分别为初始值uc(0+)=R0IS

及

当t→∞时，uc和i衰减到零。第7页，课件共49页，创作于2023年2月图RC电路零输入响应电压电流波形图画出uc及i的波形如下图所示。

第8页，课件共49页，创作于2023年2月由此可见，时间常数τ是表示放电快慢的物理量。时间常数越大，放电速度越慢；反之，则放电越快。定性地看，时间常数τ与电阻R和电容C的取值呈正比。当R增大时，放电电流减小，电容放电时间增长；当C增大时，电容电压相同的情况下存储的电荷量增大，放电时间增长。第9页，课件共49页，创作于2023年2月5.1.2RL电路的零输入响应一阶RL电路如图5-1-2(a)所示，t=0-时开关S闭合，电路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以在t≥0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中产生电流和电压，如图5-1-2(b)所示。由于t>0后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。图5-1-2

RL电路的零输入响应第10页，课件共49页，创作于2023年2月由图(b)，根据KVL有

uL+uR=0

将代入上式得1式iL=Aeptt≥0上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为

2式将2式代入1式，得特征方程为

LP+R=0

故特征根为第11页，课件共49页，创作于2023年2月则通解为

若令，τ是RL电路的时间常数，仍具有时间量纲，上式可写为

t≥0t≥03式将初始条件i

L(0+)=

iL

(0-)=I0代入3式，求出积分常数A为

iL

(0+)=A=I0这样得到满足初始条件的微分方程的通解为

t≥04式第12页，课件共49页，创作于2023年2月

电阻及电感的电压分别是t≥0t≥0分别作出iL

、uR和、uL的波形如图5-3(a)、(b)所示。

第13页，课件共49页，创作于2023年2月图5-3

RL电路零输入响应iL、uR和uL的波形第14页，课件共49页，创作于2023年2月由图5-3可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分别为iL(0+)=I0、

uR(0+)=RI0、uL(0+)=-RI0，它们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数τ，这与一阶RC零输入电路情况相同。

第15页，课件共49页，创作于2023年2月从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、电流的时间常数相同。若用f

(t)表示零输入响应，用f(0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通式表示为t≥0

应该注意的是:RC电路与RL电路的时间常数是不同的，前者τ=RC，后者τ=L/R。第16页，课件共49页，创作于2023年2月一阶电路零输入响应的简化分析方法简单RC和RL电路零输入相应归纳：RC电路：τ=RC，t≥0+τ=LG，t≥0+RL电路：零输入相应=初始值×第17页，课件共49页，创作于2023年2月求解零输入响应的一般步骤：1.根据电路模型、元件属性和原始状态确定待求电路变量的初始值。2.根据换路后的电路模型确定电路的时间常数τ。3.写出零输入响应。（零输入相应=初始值×）第18页，课件共49页，创作于2023年2月例1：如图5-1(a)所示电路，t=0-时电路已处于稳态，t=0时开关S打开。求t≥0时的电压uc、uR和电流ic。解由于在t=0-时电路已处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路。图5-1例1图所以由换路定律，得作出t=0+等效电路如图(b)所示，第19页，课件共49页，创作于2023年2月电容用4V电压源代替，由图(b)可知

换路后从电容两端看进去的等效电阻如图(C)所示，为：

时间常数为第20页，课件共49页，创作于2023年2月AVt≥0t≥0也可以由

求出i

C

=-0.8e-tAt≥0

Vt≥0计算零输入响应，得第21页，课件共49页，创作于2023年2月

5.2零状态响应

在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应。5.2.1RC电路的零状态响应

图5-2-1所示一阶RC电路，电容先未充电，t=0时开关闭合，电路与激励US接通，试确定k闭合后电路中的响应。

图5-2-1(a)RC电路的零状态响应在k闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律uc(0+)=uc(0-)=0，t=0+时电容相当于短路，uR(0+)=US，故电容开始充电。随着时间的推移，uC将逐渐升高，第22页，课件共49页，创作于2023年2月uR则逐渐降低，iR（等于ic）逐渐减小。当t→∞时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流ic(∞)=0，uR(∞)=0，uc=(∞)=Us。由kVLuR+uc=US而uR=RiR=RiC=

，代入上式可得到以uc为变量的微分方程

t≥0

初始条件为uC(0+)=01式1式为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解uCP，即

uc=uch+ucp第23页，课件共49页，创作于2023年2月将初始条件uc(0+)=0代入上式，得出积分常数A=-US，故由于1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式完全相同,因此其通解应为式中A为积分常数。特解ucp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设ucp=k，代入1式得1式的解（完全解）为ucp=k=US第24页，课件共49页，创作于2023年2月由于稳态值uc(∞)=US，故上式可写成

t≥02式由2式可知，当t=0时，uc(0)=0，当t=τ时，uc(τ)=US（1-e–1）=63.2%US，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值uc=(∞)=US的63.2%所需的时间是τ。而当t=4~5τ时，uc上升到其稳态值US的98.17%~99.3%，一般认为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为t≥0

t≥0t≥0第25页，课件共49页，创作于2023年2月根据uc、ic、iR及uR的表达式，画出它们的波形如5-2-1(b)、(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过程一致。图5-2-1(b)、(C)RC电路零状态响应uc、ic、iR及uR波形图第26页，课件共49页，创作于2023年2月5.2.2RL电路的零状态响应图5-2-2(a)一阶RL电路的零状态响应

对于图5-2-2(a)所示的一阶RL电路，US为直流电压源，t＜0时，电感L中的电流为零。t=0时开关s闭合，电路与激励US接通，在s闭合瞬间，电感电流不会跃变，即有iL(0+)=

iL(0-)=0,

选择iL为首先求解的变量，由KVL有：uL+uR=US

将,uR=RiL,代入上式，可得初始条件为

iL(0+)=01式第27页，课件共49页，创作于2023年2月

1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解iLh和非齐次方程的特解iLP两部分组成，即

iL=iLh+iLp其齐次方程的通解也应为式中时间常数τ=L/R，与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故特解

iLP为常量，令iLP=K，代入1式得因此完全解为第28页，课件共49页，创作于2023年2月代入t=0时的初始条件iL(0+)=0得于是

由于iL的稳态值，故上式可写成：

t≥0

电路中的其他响应分别为

t≥0

第29页，课件共49页，创作于2023年2月它们的波形如图5-2-2(b)、(c)所示。t≥0t≥0图5-2-2(b)(C)一阶RL电路的零状态响应波形图第30页，课件共49页，创作于2023年2月其物理过程是，S闭合后，iL(即iR)从初始值零逐渐上升，uL从初始值uL(0+)=US逐渐下降，而uR从uR(0+)=0逐渐上升，当t=∞，电路达到稳态，这时L相当于短路，iL(∞)=US／R，uL(∞)=0，uR(∞)=US。从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。第31页，课件共49页，创作于2023年2月RC电路零状态响应：RL电路零状态响应：一阶电路零状态响应的简化分析：第32页，课件共49页，创作于2023年2月

5.3全响应

由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。如图5-3所示，设

uC=uC(0-)=U0，S在t=0时闭合，显然电路中的响应属于全响应。图5-3

RC电路的全响应第33页，课件共49页，创作于2023年2月对t≥0的电路，以uC为求解变量可列出描述电路的微分方程为

1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的形式，即代入初始条件uC(0+)=U0得

K=U0-US1式第34页，课件共49页，创作于2023年2月从而得到通过对1式分析可知，当US=0时，即为RC零输入电路的微分方程。而当U0=0时，即为RC零状态电路的微分方程。这一结果表明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。2式中第二项US=uC(∞)受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量。这样有

全响应=暂态响应+稳态响应

2式第35页，课件共49页，创作于2023年2月2、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。将2式改写后可得：3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加，即

全响应=零输入响应+零状态响应

3式第36页，课件共49页，创作于2023年2月5.4求解一阶电路三要素法

如用f(t)表示电路的响应，f(0+)表示该电压或电流的初始值，f(∞)表示响应的稳定值，表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为：

上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。式中f(0+)、f(∞)和称为三要素，把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。第37页，课件共49页，创作于2023年2月

用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下：

一、确定初始值f(0+)

初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。先作t=0-电路。确定换路前电路的状态uC(0-)或iL(0-),这个状态即为t＜0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。作t=0+电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此电路中C用电压源U0代替，第38页，课件共49页，创作于2023年2月图3-16电容、电感元件在t=0时的电路模型L用电流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0或iL(0+)=iL(0-)=0，则C用短路线代替，L视为开路。可用图3-16说明。作t=0+电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u(0+)、i(0+)。第39页，课件共49页，创作于2023年2月二、确定稳态值f(∞)作t=∞电路。瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u(∞)、i(∞)。在此电路中，电容C视为开路，电感L用短路线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。三、求时间常数τRC电路中，τ=RC；RL电路中，τ=L/R；其中，R是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效源中的R0)。例2图5-4(a)所示电路中，t=0时将S合上，求t≥0时的i1、iL、uL。

第40页，课件共49页，创作于2023年2月

图5-4例2图解(1)先求iL(0-)。作t=0-电路，见图(b)，电感用短路线代替，则第41页，课件共49页，创作于2023年2月(2)求f(0+)。作t=0+电路，见图(C),图中电感用4/3A的电流源代替，流向与图(b)中iL(0-)一致。因为题意要求i1、iL、uL，所以相应地需先求i1(0+)和uL(0+)。椐KVL，图(C)左边回路中有

3i1(0+)+6[i1(0+)-iL(0+)]=12得图(C)右边回路中有第42页，课件共49页，创作于2023年2月(3)求f(∞)。作t=∞电路如图(d)，电感用短路线代替，则

uL(∞)=0

(4)求τ。从动态元件L两端看进去的戴维南等效电阻为第43页，课件共49页，创作于2023年2月（5）代入三要素公式t≥0t≥0t≥0第44页，课件共49页，创作于2023年2月i1(t)、iL(t)及uL(t)的波形图如5-4所示。图5-4例2图第45页，课件共49页，创作于2023年2月

小结(1)含有动态元件L、C的电路是动态电路，其伏安关系是微分或积分关系。电容C:

电容L:换路定律是指：电容电流和电感电压不能跃变：

即

uC(0+)=uC(0-)

iL(0+)=iL(0-)第46页，课件共49页，创作于2023年2月第47页，课件共49页，创作于2023年2