第5章机械波湘潭大学大学物理期末复习

第五章机械波孟利军波动：空间某处发生的振动以有限的速度向四周传播.机械波(mechanicalwave)：机械振动在连续介质中的传播，如水波、声波。1、什么是波动波动有机械波，电磁波，物质波波动也是一种运动形式，波动是振动的传播过程。2、波动和其他运动形式相比具时间和空间上的某种重复性3、各类波在传播途中具有共性：类似的波动方程反射、折射现象：在两种介质的界面上的反射，折射干涉现象：同一介质中，几列波的叠加衍射现象：在介质中绕过障碍物§5-1机械波的形成和传播一、机械波产生的条件1、作机械振动的物体，即波源；连续介质2、弹性波：波动中使介质部分振动的回复力为弹性力，如：声波。2）水面波不是弹性波，因为质元所受的力为重力和表面张力的合力，表明张力不是弹性力。二、横波和纵波振动方向和传播方向垂直，只能在固体中传播,如：绳的抖动；振动方向和传播方向平行，能在所有介质中传播，如：伸缩的弹簧。1)弹性力有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力，液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。注意横波（transversewave

）纵波（longitudinalwave

）1、沿着波的传播方向向前看去，前面各质点的振动位相都依次落后于波源的振动位相；2、机械波向外传播的是波源的振动状态（位相）和能量。注意：水面波是横波和纵波的合成，深水中，质元作圆周运动，浅水中作椭圆运动。特点：三、波线和波面波场：波传播到的空间。波线（waveline）

：在波场中，代表波的传播方向的射线波面（wavesurface）

：波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹波前（wavefront）

：某一时刻波源最初的振动状态传播到的波面即最前方的波面。按波面的形状，波可分为：平面波、球面波和柱面波等。各向同性介质，波线恒与波面垂直。任意时刻只有一个波前，而波面可有任意多个。四、简谐波一般说来，波动中各质点的振动是复杂的。最简单而又最基本的波动是简谐波，此时波源及介质中各质点的振动都是谐振动。这种情况只能发生在各向同性、均匀、无限大、无吸收的连续弹性介质中。由于任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加而成，因此，研究简谐波具有特别重要的意义。以下我们所提到的介质都是这种理想化的介质。五、物体的弹性形变1、长变

应变：

应力：

弹性模量：

3、容变

应变：

应力：

容变弹性模量：

2、切变

应变：

应力：

切变模量：

六、描述波动的几个物理量1）波速：振动状态在单位时间内传播的距离（相速）对于机械波，波速通常由介质的性质决定。对于简谐波：固体（细棒）：

通常

弦：

T---弦中张力

μ---线密度

液体、气体：

B---容变弹性模量对理想气体绝热过程：故：

3）波长：反映空间的周期性。

同一波线上相邻的位相差为2π的两质点之间的距离：

注：波速决定于介质，频率决定于波源。2）周期和频率：反映时间的周期性。周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需的时间；由于波源每完成一次全振动，就有一个完整的波形发送出去，因此当波源相对于介质静止时，周期即为波源的振动周期，波动频率即为波源的振动频率。频率：周期的倒数ν，即为单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目。§5-2平面简谐波的波动方程平面简谐波：波阵面为平面，介质中各个质点都作简谐振动。一、平面简谐波的波动方程平面简谐波在理想介质中沿x轴正方向传播。取任意波线为x轴，轴上任一点为原点O,其振动方程：O点的振动经的时间传到P,P点的振动为O点在

振动，故P点的振动方程为：

时刻的介质中各个质点的位移是怎样随时间变化的→任意波线上所有质点的振动情况波动方程由于P点代表波线上任意一点，故上式即为沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程.

沿-x方向传播的平面简谐波的波动方程:

令：

表示2π长度内所具有的完整波的数目，称为波矢，为矢量，其方向为波的传播方向，则：

二、波动方程的物理意义1、当x=x0,t变化时

表示x=x0处质点任意时刻偏离自己平衡位置的位移，即x=x0处质点的振动方程。则同一波线上两质点的位相差为：

若x0=

，则x0处质点落后于原点的位相为2x0处质点的振动初相为：为x0处质点落后于原点的位相表示t=t0时刻各个质点偏离自己平衡位置的位移称为t=t0时刻的波形方程。2、当t=t0,x变化时，3、若x,t都变化则同一质点在任意两个时刻的位相差为：

t时刻的波形方程t+t时刻的波形方程给出了任意质点在任意时刻的位移，或者说它包括了任意时刻的波形，反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程。在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x三、质点的振动速度和加速度

振动速度：

振动加速度：

可见，各质点的振动速度也是随坐标x和时间t作简谐规律变化的，它与波速是两个完全不同的概念，应严格区别开来。四、平面简谐行波的微分方程将波动方程分别对x,t求二解导数得：则有：

平面波波动微分方程

既适用于简谐波、非简谐波，也适用于机械波、电磁波。例1：一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和圆频率A和ω，波速为u，设t=0时的波形曲线如图所示。1）写出此波的波动方程；2）求距O点分别为λ/8和3λ/8两处质点的振动方程及在t=0时刻的振动速度。（1）（2）例2:设有一平面简谐波频率为，振幅为A，以波速u沿x轴正向传播，已知波线上距原点为d的B点的振动方程为:试写出其波动方程。由图易知O点的振动超前于B点O点的振动方程为：而这列波沿x轴正向传播,故波动方程：若B点在原点右边若B点在原点左边O点的振动方程为:波动方程为:-x轴,右方B点-x轴,左方B点§5-3波的能量声强一、波的能量和能量密度

机械波向外传播的是波源的振动状态和能量，而载波的介质并不随波向前移动，波源的振动能量是通过介质的相互作用而传播出去的，各介质质点都在各自的平衡位置附近振动，因而具有动能，同时介质因形变而具有弹性势能。以一平面简谐波在密度为ρ的弹性介质中沿+x轴方向传播为例：

波动方程：

在坐标为x处取一体积元dV,质量dm=ρdV,视为质点。当波传播到该体积元时，其振动速度：弹性力：

总能量：

则该体积元动能：

等效倔强系数：该体积元弹性势能：（2）体积元的总能量不守恒，随时间做周期性变化。能量增加时，从相邻质点吸收能量，能量减少时，向相邻质点释放能量，这样能量不断地从介质的一部分传递到另外一部分，实现能量的传递。区别：波动能量与谐振子能量。讨论：

（1)dEk=dEp表明两者作同周期、同步变化。同时达到最大值，同时等于零。P点势能和动能极小，Q点势能和动能极大说明该体积元与周围质点间的弹性力要做功，引起它与周围质点间交换能量。实际应用中，通常取一个周期内的平均值，即平均能量密度：为恒量，且

此关系适用于各种弹性波。

3）能量密度：单位体积内所具有的波的能量。随时间做周期性变化能流密度（波强）：

弹性简谐波波强大小：

例：理想介质中，平面简谐波的振幅不变，球面波振幅随距波源的距离增加而成反比的减小，即证：二、波的能流和能流密度平均能流：单位时间内通过某一截面的能量

能量随波一起传播，其传播方向就是波动的传播方向，其速度就等于波速。为定量的描述能量的传播，引入能流和能流密度的概念。三、波的吸收波在实际介质中传播时，介质总要吸收波的一部分能量因而波的强度、振幅要逐渐减小，这种现象称为波的吸收。实验指出：若波通过厚度为dx的介质后，其振幅减量-dA与dx的满足关系：---介质吸收系数由于波强与振幅的平方成正比，故波强衰减规律为：机械能→热运动能（不可逆）；非弹性碰撞使分子规则振动能→分子内部无规则的转、振能（不可逆）①内摩擦：②热传导：③分子碰撞：疏部、密部有温差，发生热交换,机械能→热运动能（不可逆）；造成吸收的因素：四、声压、声强和声强级声压：介质中有声波传播时的压力与无声波时的静压力之间的压差。对于平面简谐波，可证明声压振幅为:声强：声波的能流密度。频率越高越容易获得较大的声压和声强引起人听觉的声波有频率范围和声强范围由于声波是疏密波，在稀疏处实际压力小于静压力，声压为负，在稠密处，实际压力大于静压力，声压为正，因介质中各点振动是周期性变化的，所以声压也做周期性变化。声强级人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定声源声强(W·m-2)声强级(dB)响度听觉阈10-120风吹树叶10-1020轻通常谈话10-660正常闹市车声10-570响摇滚乐1120震耳喷气机起飞103150地震(里氏7级，距震中5km)4×104166聚焦超声波109210§5-4惠更斯原理波的叠加和干涉一、惠更斯原理

当波在弹性介质中传播时，由于介质质点间的弹性作用，介质中任何一点的振动都会引起邻近各质点的振动。因此，波动到达的任何一点都可以看作新的波源，其发出的波称为子波（次波）。1690年，荷兰物理学家惠更斯在观察和研究了大量波的传播现象之后，提出了一条描述波动传播特性的重要原理，即惠更斯原理：介质中波阵面(波前)上的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面。1）适用性：不仅适用于机械波也适用于电磁波，不仅适用于均匀介质也适用于非均匀介质，不仅适用于各向同性介质也适用于各向异性介质。2）根据此原理作波阵面：如各项同性介质中的平面波、球面波可见:在各向同性均匀介质中，波阵面形状、波线方向不变。而在各向异性介质或不均匀介质中两者都会改变。3）应用此原理可说明波的衍射、散射、反射和折射等现象。以衍射为例：

越小，衍射现象越显著；

越大，衍射现象越不明显。

声波波长0.1～10m，大于可见光波长，故声波衍射现象明显。如:隔墙有耳两波阵面相距：t时刻：S1T+∆t

时刻:

S2二、波的叠加原理1）波的叠加原理（独立性原理）：各列波在相遇前和相遇后都保持原来特性（频率、波长、振动方向、传播方向）不变，与各波单独传播时一样，而相遇处各质点的振动则为各列波在该处激起的振动的合成。如：两列水波相遇互不干扰、多种声音混杂仍能辨其音、无线电波彼此不干扰等。（1）波的叠加与振动合成：波的叠加是振动合成的直接结果，但合成仅发生在单一质点上，而叠加发生在相遇区域所有质点上。（2）任何复杂的波都可以分解为频率或波长不同的许多平面简谐波的叠加，多个平面间歇波在重叠区域构成合成波。说明：2）一般说来，振动方向、频率、位相等都不相同的几列波在介质中相遇时，相遇处质点的合振动很复杂，所形成的合成波不稳定也没有实际意义。所以只讨论一种最简单而又最重要的情形。相干条件：频率相同、振动方向相同、位相差恒定。

满足相干条件的波源称为相干波源，所发出的波称为相干波。在同一介质中传播的两相干波：

到达P点3）适用于波的强度（或振幅）较小的情况，否则介质表现出非线性特征，线性方程不再正确，叠加原理不再满足。本节只讨论叠加原理适用的线性波。位相差对任意一点恒定，故任一点振幅恒定，即合成振幅随各点空间位置而改变:

合成振幅随各点到波源的距离差不同而不同，距离差：称为波程差(几何路程之差)

相遇合成后：

1）波强重新分布了，有些地方加强I>I1+I2

，有些地方减弱I<I1+I2等于单个波强度的四倍

波强度最小

为其他值时，波强介于两者之间，连续分布。若I1=I2，则：若初始位相恒定，

，则：

水波盘中水波的干涉波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布叫波的干涉。2）两列不满足相干条件的波叠加称为非相干叠加，此时任意点波强：

连续变化例1：原点O是一波源，振动方向垂直纸面，波长为λ，AB为波的发射面，发射时无半波损失，O点位于A点正上方，AO=h，Ox平行于AB，则Ox轴上干涉加强点的坐标（限x>0）？到达P点时两列波的位相分别为：位相之差：则振幅为：例2：如图所示，两列平面简谐波，在两种不同的媒质中传播，在分界面上的P点相遇。频率ν=100Hz，振幅AA=AB=1.0×10-2m，SA的位相比SB的位相超前π/2，在媒质1中波速uA=400m/s，在媒质2中的速度uB=500m/s，SAP=rA=4.00m，SBP=rB=3.75m，求P点的合振幅。例4：s1、s2是两相干波源，相距为，s１比s2的周相超前，设两波源s１、s2在它们连线上的强度都为I0且不随距离而变化，问s1s2的连线上，s1外侧各点处的合成强度如何？s2外侧各点的强度又如何？解：1、设P为s1外侧的一点，且有：则：干涉相消，所以P点的合振幅为零，2、设Q为S2外侧的一点，则：干涉相长，则：§5-5驻波（Standingwave）两列振幅相同，相向传播的相干波的叠加称为驻波。驻波实际上是一种特殊的干涉现象。如：一列平面简谐波入射到两种介质的界面上，入射波和反射波进行叠加即可形成驻波。一、驻波方程两相干波：合成后：

此即驻波方程，为两个因子的乘积设x=0,t=0

时，，yA合二、驻波的特点1）当x给定，则驻波方程变成坐标x处质点的振动方程不同点振幅不同

振幅:2）波节和波幅----振幅分布特点即x处质点振幅为零，始终不动→波节

若

相邻波节距离：

等于半个波长。

若

即x处质点振幅最大，振动最强→波腹

此时：

相邻波腹距离：

等于半个波长故只需测定两相邻波节和波腹之间的距离即可确定原波长。2At=0y0x0t=T/8xx0t=T/20xt=T/4波节波腹/4-/4x02A-2A振动范围/2xt=3T/803）相位分布特点-----驻波实际上是一种分段振动现象t时刻，设

位相

平衡位置上方；

若则：若则：位相

平衡位置下方；

相邻波节间质点，位移同号、位相相同、同步一齐振动；一波节两边质点，位移异号、位相相反、反方向振动。故驻波振动是一种分段振动现象。由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。所以选（Ａ）例1：某时刻驻波波形曲线如图所示，则a,b两点位相差是：4）能量特点-----波腹动能和波节势能的不断转换由：则波形不向前传播故称为驻波（Standingwave），动能（波腹）<=>势能（波节）合能流密度为:平均说来没有能量的定向传播，而是动能和势能的不断转换，即：瞬时位移为0，势能为0，动能最大主要为势能，波节势能→波腹动能主要为势能，波腹动能→波节势能半波损失出现与否取决于波的种类、界面两边介质的相对波阻及入射角。三、驻波演示及半波损失1、驻波：入射波和反射波满足驻波形成条件在弦线上形成驻波。2、半波损失：

B点固定，形成波节，反射波与入射波在B点反相位，说明反射波和入射波有位相突变，因距离半波长的两点位相差为π，故称为半波损失。如果反射点是自由的，则形成波腹，无半波损失。波阻：介质密度与波速乘积ρu较大---波密介质，

ρu较小---波疏介质。

弹性波正入射：波密介质波疏介质

光波正入射或掠射：

n较大---光密介质，

n较小---光疏介质

波密介质波疏介质

波节驻波相位突变π波疏媒质波密媒质x波腹相位不变波疏媒质波密媒质x驻波反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节，说明有半波损失。例2：设入射波的波动方程为：故应选(D)在x＝0处发生反射，反射点为一节点，则反射波的波动方程为：四、简正模式（或称本征振动）一根两端固定的张紧的弦(弦的长度为l，质量为m,张力为T)产生驻波振动，由于弦的两端固定,可知弦两端均为波节,因而在弦上形成的驻波波长与弦长之间必然满足：

又弦中传播速度为则所有可能的频率为基频谐频在物理学中，我们将各种允许频率对应的驻波振动称为简正模式，或直接简称为“模”。对两端固定的弦这一驻波振动系统，有许多个“模”式，即有许多个振动自由度。上述讨论方法，也适用于两端开放，或一端固定、一端开放的管或弦驻，乃至于膜（即二维驻波振动）。L二次谐频n=2三次谐频n=3基频n=1波在x＝0处反射,反射点为一固定端，则反射波的表达式为——，驻波的表达式为————，入射波和反射波合成的驻波的波腹所在处的坐标为———。(考虑半波损失）驻波的表达式为：波腹所在处的坐标为在波腹处应有：成立反射波的表达式为：例3：设入射波的表达式为：解：（１）与标准波动方程比较:例5：两波在一很长的弦线上传播，其波动方程式分别为:

ｙ1＝4.00×10-2cos[()（4ｘ－24ｔ）]（ＳＩ） ｙ2＝4.00×10-2cos[()（4ｘ＋24ｔ）]（ＳＩ）

求：（１）两波的频率、波长、波速；（２）两波叠加后的节点位置；（３）叠加后振幅最大的那些点的位置．（３）波腹位置（２）节点位置驻波方程为：根据节点位置满足：§6-6多普勒效应冲击波一、多普勒效应（Dopplereffect）1、机械波的多普勒效应波源和观察者都相对介质静止，观察者接受频率与波源频率及介质中的波动频率都相等。若波源或观察者，或两者相对介质运动时，接受频率与波源频率是否仍然相等呢？回答是否定的。如：火车进站和出站时音调的高昂和低沉。1842年，奥地利物理学家及数学家多普勒（J.C.Doppler，1803~1853年）首先发现这一现象，故称为多普勒效应。多普勒效应：当波源或观察者，或两者同时相对于介质有相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同的现象。Doppler分析：选介质作参考系，运动发生在两者连线上

u---波速

vs---波源速度

vB---观察者速度

νs---波源频率

ν---介质波动频率

ν’---观察者接收频率,即单位时间接收的完整波的个数

分三种情况讨论：1、

观察者靠近波源，此时波相对于观察者的速度:

忽略相对论效应

则：

波源不动，观察者靠近波源，接受频率大于波动频率

同样，观察着远离波源：

波源不动，观察者远离波源，接受频率小于波动频率

特殊情况：

观察者接收不到波2、

波源靠近观察着：

远离观察者：

特殊情况：如：

则：

如果波长小于介质分子间距，介质对波不再连续，此波不能传播。观察者不动，波源靠近观察者，接受频率大于波动频率

观察者不动，波源远离观察者，接受频率小于波动频率

例1：汽车驶过车站前后，车站上的观察者测得声音频率由1200Hz变到1000Hz。已知空气中声速330m/s,则汽车速度：

选A)3、

综合以上两种情况有：

相互接近时，

取正，相互远离时，

取负。

结论：多普勒效应中，不论波源还是观察者运动，或者两者都运动，总有两者远离时

A)30m/s;B)55m/s;C)66m/s;D)90m/s两者接近时例2：设声波在媒质中的传播速度为u，声源的频率为vs．若声源S不动，而接收器R相对于媒质以速度vB

沿着S、R连线向着声源S运动，则位于S、R连线中点的质点P的振动频率为：

选A)例1:设机车以30m/s的速度行驶，其汽笛声的频率为500Hz，计算下列情况,观察者听到的声音的频率。（1）机车向观察者靠近；（2）机车离开观察者；（3）机车行驶方向与机车和观察者的连线垂直（已知空气的声速30m/s）。解：根据多普勒效应中的有关公式（3）机械波无纵向多普勒效应，故:2、电磁波的多普勒效应多普勒效应是一切波动的共同特征，不仅机械波有多普勒效应，电磁波也有多普勒效应。在电磁波多普勒效应中，因为电磁波传播不需要介质，因此接收频率由光源与观察者相对运动速度v决定。

当光源与观察者在同一直线上运动时，可以证明：接近时：

紫移远离时：

红移

此外电磁波还有横向多普勒效应：

一般情况下：θ为接收器与波源的连线到速度方向的夹角。红移是大爆炸(BigBangtheory)宇宙学理论的重要证据：星球光谱与地球上相同元素光谱比较，发现星球光谱红移，说明星球远离地球。二、冲击波(Shockwave，艏波）

马赫锥

当波源在介质中的运动速度大于波在介质中的传播速度时，这时波源本身的运动会引起起介质的扰动，激起另一种波，此时运动物体充当了另一种波的波源，这种波是一种以运动物体的运动轨迹为中心的一系列球面波。由于球面波的波速u比物体的运动速度vs小，所以会形成如下图的V形锥面波，这种波就叫做击波。a.波源静止,波面是同心的b.波源速度小于波速,波面错开,产生多普勒效应.C.波源速度趋于波速,所有波面在一点相切,接收频率趋于无穷大.d.波源速度大于波速,波面的包络面呈圆锥状,即为马赫锥.（2）由于波的传播速度不会超过运动物体本身，故马赫锥面就是波前，其外是没有扰动波及的。马赫角马赫数（1）在u一定时，随着vS的增大，V形波愈加变得尖锐．如果这个冲击波是声波，那么必然是在运动物体通过之后我们才能听到声音．由此可见如超音速飞机飞过我们头顶之后才听到强烈的响声。Shockwave习题(A)(B)(C)(D)1.轻弹簧上端固定，下系一质量为m1的物体，稳定后在m1的下边系一质量为m2的物体，于是弹簧又伸长了△x若m2移去，并令其振动，则振动周期为选(B)2.一个简谐振动的振动曲线，如图所示，则此振动的周期T为（Ａ）12s（Ｂ）10s（Ｃ）14s（Ｄ）8st=0t=5选（A）xOO/x/3、轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点，位移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位置时有一个小物体落到盘上并粘住，如果以新的平衡位置为原点，设新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅，小物体与盘相碰为计时零点，那么新的位移表示式的初位相在（A）0－2之间；（B）2－之间；（C）32之间；（D）32－2之间。A易分析，当t=0时，x>0,v>0选（D）4、一质点作简谐振动，周期为T，质点由平衡位置向X轴正向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为（A）T/4；（B）T/12；（C）T/6；（D）T/8t1时刻t2时刻选（B）选（A）（B）波沿x轴负方向运动，动能增加，符合题意。答案（B）7、一平面简谐波在介质中以速度u=20m/s沿x轴正向传播，已知x=5m处的质点的振动方程为则这一平面简谐波的波动方程为y=

,在x=2.5m处质点的振动方程为y=

。解：（1）1=2，在BC间任取一P点(如图)BP=r1=xCP=r2=30

x

8：B、C为处在同一媒质中相距30m的两个相干波源，它们产生的相干波波长都为4m，且振幅相同。求下列两种情况下，BC连线上因干涉而静止的各点的位置：（1）B、C

两波源的初相位1=2；（2）B点为波峰时，C点恰为波谷。xCBPx30x由题意，应有：代入数值：x=2k+16k=0,1,2,

x=0,2,4,…,30m为静止点（2）B点为波峰时，C点恰为波谷，说明：12=

x

=1,3,5,…,29m为静止点。9：在弹性介质中有一沿x轴传播的平面波，其方程为：y=0.01cos[4t-x-()](SI)。若在x=5.00m处有一介质分界面，且在分界面处位相突变，设反射后波的强度不变，试写出反射波的波动方程。·x05解：分析得波长为2m.界面处的位相比原点落后：同理，反射波传到原点时，其比界面处的位相又落后5再考虑到界面处的位相突变，于是，反射波在原点处的位相为：于是，向右传播的波动方程为：或者：（1）声波的在空气中的速度与声源的运动无关，故：10.一个频率为1000Hz

的声源S在静止的空气中以100m·s-1的速度向右方运动，在声源的右方有一个光滑的大反射面以40m·s-1速度向左运动，（设声速为u=300m·s-1)问:（1）一个发射波在0.01s内走多远？（2）在声源的前面（右方）发