第五章 判别分析

第五章判别分析§1

两总体判别分析§2

多总体判别分析§3

逐步判别分析§4

应用算例简介1引言地学领域内有很多属于归类判别的问题，如:储层是否含油、岩样属于什么沉积相

、生油岩处于什么演化阶段等，从定量角度看，它们都是对个体进行归类判别的问题。

为叙述方便，将个体称为样品，个体所属的类称为总体。在此基础上给出判别分析的一般概念:

判别分析:根据已知的G个总体中取出的G组样品的观测值，建立总体与样品变量之间定量关系(判别函数)，并据此判别未知类属样品类别的一种多元统计分析方法。

2

设ag(g=1,2,…,G)表示G个总体，每个总体中分别有ng个样品，每个样品有m个变量。当G=2时，叫做两总体判别，又称为线性判别;当G>2时，叫做多总体判别；筛选变量建立判别函数的方法叫做逐步判别分析。

判别分析的基本步骤：(1)搜集来自G个总体的G组已知观测值(m个变量);(2)根据已知数据建立判别函数;(3)利用判别函数判别未知总体的样品类属。3

简单说，两总体判别就是确定样品X是属于总体A还是属于B

的统计分析方法。§1两总体判别分析

判定样品X是属于A

还是属于B

的判别函数一般是线性判别函数。x1x2AB判别指数yc

右图是一个简单的判别过程。判别样品归属依赖于变量x1，变量x2对判别不起作用。y=x1即线性判别函数。图5-1示例4图5-2两总体判别分析示意图

A

B

abdx1x2yc新变量是原变量的线性组合一、线性判别函数的一般形式

若样品X有x1、x2两个变量，总体A、B的样品分别落在两个椭圆内，如图所示。

若直接用x1、x2的观测值确定X所属的总体，则当观测值x1、x2分别落在区间(c,d)和(a,b)内时,不能确定样品属于A或属于B。但若把坐标系旋转α角,变为新坐标系y、z，变量y则可把A、B分开，变量y称为判别函数，其形式为：5

1．原始数据若总体A、B各有na、nb个样品观测值,分别为:xij(a)(

i=1,2,…,na;j

=1,2,…,m)xkj(b)(k=1,2,…,nb;j

=1,2,…,m)(5-1)

称上式为线性判别函数，它是空间中的平面。称c1,c2,…,cm为判别系数。

一般，设样品有m个变量，那么判别函数的一般形式为：二、判别系数的确定这是建立判别函数所需要的数据。6

把xij(a)、xkj(b)分别代入(5-1)得判别函数值：2.费歇尔(Fisher)准则下的判别函数记：两组判别函数点的中心距组内判别函数点的离散度7

费歇尔准则:使Q达到最大、H达到最小。

Q达到最大，表明两组判别函数点的中心距最大；H达到最小，判别函数点的分布最集中。满足以上条件的判别函数可最大限度地把A和B区分开(如图所示)。它的含义是：图5-3

两总体样品点在平面y上的投影yx2x18

V是cj(j=1,2,…,m)的二次函数,且V>0，令：

要求Q达到最大，H达到最小，则等价于要求达到最大。整理后可得：V=Q/H9(5-2)由上述线性方程组解出cj，从而确定判别函数:10

若A、B差异不明显，那么由观测值建立的判别函数就无实际意义。为此，需要对A、B的差异性进行检验。检验方法：利用建立的判别函数对N(na+nb)个样品的总体重新判定，若判对了n

(n

≤

N)个，定义R=n/N为判对率。R值越大，A、B差异就越明显。三、显著性检验及样品判别在检验显著的条件下，定义：1.显著性检验2.判别指数11为判别未知样品所属总体的判别指数。当y<yc

时，X∈A当y≥yc

时，X∈B

3.样品总体的判别方法

设，把样品观测值xj(j=1,2,…,m)

代入判别函数，得：BA图5-4判别指数12

若从G个总体中分别取出ng(g

=1,2,…,G)个样品，每个样品有m个变量，样品观测值记为：§2多总体判别分析一、原始数据

xgk(i)为总体ag(g=1,2,…,G)中第k(k=1,2,…,ng)个样品的第i个变量的观测值。Xgk是求判别函数的原始数据。13二、多总体判别分析的基本原理

把G

个总体记作ag(g=1,2,…,G),那么对于未知类别的一个样品X来说，它可能属于任何一个总体，但它归属每个总体ag的概率不同。由Bayes公式可以求得X∈ag(g=1,2,…,G)的条件概率：(5-3)总体ag

的先验概率总体ag

的概率密度14(5-4)

上式是Bayes准则下多总体判别的一般判别函数,根据Eg(X)的相对大小,可对样品的总体做出判别。如果P(ak/X)是条件概率中的最大者，即：

那么就判定样品X∈ak，且判错的概率最小。按照条件概率的大小判定样品归属的原则称为Bayes准则。在计算条件概率时，式(5-3)的分母是一个常数，故只取分子，其相对大小不变。记为：15三、正态总体的判别函数

若用式判定样品X所属的总体,还需要给出总体的先验概率Pg

和概率密度fg(X)。(5-4)

假设X服从正态分布，其概率密度为：(5-5)式中μg是

ag的期望向量；∑是各总体共同的协方差矩阵，∑-1是∑的逆矩阵；16由此，式(5-5)可以近似写为:式中:i,j=1,2,…,m;N=n1+n2+…+nG

由原始数据可求得μg、Σ的估计值和S：

17(5-6)

把上式和Pg(Pg≈qg=ng/N)代入式(5-4)得:(5-7)

即得正态总体的判别函数。

再对两边取自然对数，舍去其中与g无关的项并化简，得函数：

对于服从其他分布的总体来说，仿照上述做法得到相应的判别函数。18

把样品的观测值X=(x(1)x(2)…x(m))T

代入式(5-7)

得Fg(X)

，若：四、对样品总体的判别则认为X∈ak

。X∈ak

的条件概率19五、判别函数的显著性检验1.正判率检验

利用判别函数对N(N=n1+n2+…+ng)个样品的总体重新判定，若判对了n(n≤N

)个，定义R=n/N为判对率。R值越大，总体间的差异就越明显，判别函数的判别效果就会越好。2.马哈拉诺比斯距离D2检验假设H0：总体差异不明显统计量20

统计量D2服从自由度为m(G-1)的χ2分布，故确定检验方法如下：给定检验水平α，查χ2分布表得D2的临界值D*,当D2>D*时，否定假设，即拟定的m个变量能够区分已知的G个总体。否则接受假设，即拟定的m个变量不能对样品的归属做出正确的判别，此时应剔除其中区分能力小的或者引入一些更有效的变量，重新建立判别函数。其中21§3逐步判别分析一、逐步判别的提出及其基本思想1.逐步判别的提出

在拟定的判别变量之间,既有相对的独立性,又存在着一定的成因联系。对于区分已知总体来说,具有成因联系的那些变量似乎各自的区分能力都较强,但当把它们都选入判别函数后,又使得先选入的变量区分能力变弱。另外,建立判别函数时需要求出S-1,若存在区分能力不显著的变量,可能导致S-1不存在,故求不出判别函数。鉴于上述原因,提出类似逐步回归中“筛选”变量的方法,即挑选那些判别能力真正强的变量建立判别函数。22

如3个总体各有5个样品，每个样品有2个变量，它们的观测值如下：

对上述三个总体来说，x1的区分能力远不如x2大,若存在这样的变量，就求不出判别函数。

总体样品a1(x1,x2)a2(x1,x2)a3(x1,x2)11.02.51.24.01.45.021.02.61.24.21.45.231.02.41.24.11.45.141.02.31.24.31.45.351.02.71.24.21.45.2注意变量特点23S-1不存在，故求不出判别函数。

逐个检验拟定变量的区分能力，把区分能力强的变量“引入”判别函数，在引入变量的过程中,随时“剔出”已引入判别函数中的区分能力变弱的变量,直到既没有区分能力强的变量引入，又没有区分能力变弱的变量剔除为止。2.逐步判别的基本思想24

假设总体ag～N(μg,Σ),g=1,2,…,G。为了检验变量的区分能力，定义总体内离差矩阵W、总体间离差矩阵B、总离差矩阵T。记二、逐步判别分析方法原理1.原始数据与一般多总体判别分析相同。2.WilksΛ统计量(检验变量区分能力的指标)25可以证明:

T=W+B26WilksΛ统计量：U=|W|/|T|

例2

有3个总体，样品有2个变量，其观测值如下表：特点：第二个变量差异明显，故总体差异大

U是检验m个变量综合区分能力的指标。U越小总体内部差异越小，而总体之间差异越大。

总体样品a1(x1,x2)a2(x1,x2)a3(x1,x2)11.02.51.14.01.15.021.12.61.04.21.05.231.32.41.34.11.45.141.22.31.24.31.25.351.12.71.04.21.35.227例3

有3个总体，样品有2个变量，样品观测值下表：在本例中：特点：变量差异不明显，故总体差异不大

总体样品a1(x1,x2)a2(x1,x2)a3(x1,x2)11.02.51.12.11.12.121.12.61.02.31.02.331.32.41.32.71.42.141.22.31.22.51.22.751.12.71.02.41.32.628

上述结果说明：U越大变量的区分能力越弱，即总体之间的差异越小。(5-8)

这里的

WilksΛ统计量U是检验m个变量综合判别能力的统计量。如果按列号r1，r2，…，rm的顺序对W和T的行列式进行消去计算，并表示出消去次序，那么U可以改写为：

从式(5-8)可导出检验某个变量x(r)判别能力的WilksΛ统计量。29类似式(5-8)可得(5-9)

(1)“引入”变量x(r)的WilksΛ统计量若在判别函数中再引入变量x(r)，则有:

设逐步判别进行了p步，共引入了p个变量(前p个都是判别能力强的变量，没有被剔除)，记为：(p个变量)

3.“引入”与“剔除”变量的统计量30

因此，wrr(p)/trr(p)是引入变量x(r)后U的改变因子,记为(5-11)

Ur越小，变量x(r)

使总体之间的差异越明显，它的判别能力就越强。(5-10)(p+1个变量)31例2中：U1=0.22/0.2373=0.93U2=0.204/18.256=0.011

可见，第2个变量的区分能力比第1个变量大，因为从统计量来说，U2小于U1。32(5-12)

因此用Ur做为检验变量x(r)判别能力的WilksΛ统计量。是否能够引入，还需进行假设检验。式中N=n1+n2+···+ng，即样品的总数。F1服从自由度为(G-1)和(N-G-p)的F分布。对于给定的检验水平α,查Fα(G-1，N-G-p)分布表,得临界值Fα，若F1>Fα,变量x(r)的判别能力强。统计量：假设H0:μ1=μ2=···=μG(总体间无差异)33

(2)“剔除”变量x(r)的WilksΛ统计量

设逐步判别进行了p步，共引入了p个变量(前p个都是判别能力强的变量，没有被剔除)，记为：

它的第p+1步拟剔除变量x(r)(r∈(r1,r2,…,rp)),此时，将x(r)

的判别能力视为第p步要引入x(r)

的判别能力，即:34

统计量F2服从自由度为(G–1)和(N–G–p+1)的F分布。对于给定的检验水平α

，查Fα(G-1，N-G-P+1)分布表得临界值Fα*

，若F2≤Fα*

，变量x(r)

的判别能力小，应剔除变量x(r)。统计量(5-13)35

逐步判别建立判别函数的过程与逐步回归相似，不同之处是逐步判别分析要对W、T两个矩阵进行变换。它的第p+1步不论是引入还是剔除变量x(r)，都是对W和T矩阵进行一次变换。(5-14)

第p+1步消去W、T矩阵第r列的变换公式为：3.逐步判别的变换公式36(5-15)

1.判别函数的系数若逐步判别分析进行了p步结束，共引入了v个变量

(v

≤

m)，那么按下式计算判别函数的系数：三、判别函数的系数和对样品的判别37

2.对样品的判别样品属于ag的函数值为Fg(X)，若,则样品X∈ak

。

判别函数为:X∈ak

的条件概率为：38图5-5判别分析流程图输入n、m、G和样品观测值输入先验类型、PP值剔除变量否？变换矩阵W和T，引入变量数L=L-1计算类内均值、总均值、类内离差矩阵W和总离差矩阵T，引入变量数L=0变换W、T矩阵，计算判别系数和判别矩阵，输出中间结果，引入变量数L=L+1L=0?改变PP?引入变量否？开始输入临界值F1和F2结束NYNNNYYY39§4应用算例简介

例1

判定生油岩热演化阶段

基本思想：视不同热演化阶段的生油岩为不同的总体。建立判别函数，可用来判定生油岩样品的热演化阶段。(详见教材)。根据目前研究，可把生油岩的热演化过程分为四个阶段，即未成熟、成熟、高成熟和过成熟阶段,因此可视为四个总体。

(1)在上述总体中取66块生油岩样品，统计它们地层年龄(t)、现今地层温度(T)和埋藏深度(H)。(2)拟定判别变量40

(3)建立四个总体的判别函数取引入和剔除临界值F1=F2=1.0，共引入x1,x2,x3和x5四个变量，得判别函数：在此拟定6个变量，它们是：未成熟成熟高成熟过成熟x1=T+273，x2=t

，x3=H，x4=1/H,x5=ln(T+273)，x6=1/(t+273)41引入顺序变量号变量名1x5ln(T+273)2x1T+2733x2t4x3H变量引入顺序问：变量的引入顺序说明了什么？

某种程度上说明了变量区分总体能力的强弱顺序。42(4)应用珠江口盆地第三系生油岩为中新世至晚渐新世沉积,地层绝对年龄为16~30百万年，埋藏深度为2200米，现今地层温度为104℃。取地层绝对年龄为25百万年,按上述判别函数计算,得：

其中F3(X)=514582.5最大，因此判珠江口盆地第三系生油岩处在热演化高成熟阶段，与实际情况相符。43

东濮凹陷西部沙三段有三角洲、浊流和风暴流三种沉积相。在上述三种沉积相中取了45块岩样，镜下统计其成份成熟度指标x1(石英/(长石+岩屑))、杂基含量x2和胶结物含量x3三项参数。建立判定三角洲、浊流和风暴流沉积相的判别函数为：

例2

识别沉积相把某沉积环境下形成的岩石看成总体，对不同的总体取样，可建立判别岩样沉积相的判别函数，用以识别碎屑岩的沉积相。44

应用实例:

资料：某地区有30余口井，仅有1口井完整的岩心，其余各井均有测井资料。利用上述已知井的资料建立了岩性识别函数，反演了30余口无岩心井的岩性剖面。具体做法如下：

例3

识别岩性基本思想：视不同岩性的岩石为不同的总体，对总体取样，以不同岩性的岩石所对应的测井参数为判别变量，建立岩性识别判别函数，用于识别无岩心井的岩性剖面。45

(1)观察描述现有岩心，结果有砾岩、砂岩和泥岩，即有3个岩性总体。

(2)在测井图上按不同岩性对应的深度读取测井参数值，获得建立判别函数的原始数据。图5-6某井实际岩性剖面46

(3)建立岩性识别的判别函数砾岩砂岩泥岩

x1-微电极2;x2-2.5m梯度;x3-4m梯度;x4-感应电导;x5-声波;x6-浅测向;x7-补偿中子;x8-井径;x9-微电极差。在判别函数中没有引入x2和x5。47(4)判别结果图5-7岩性剖面及部分电测曲线示意图2274222622302234223822422246225022542258226222662270深度岩心剖面预测剖面微电极24米梯度感应电导浅测向补偿中子微电极差井径48例4

气、水层判别

大庆长垣南部黑帝庙油气层分为气层、气水层、含气水层、差气层和水层5类，作为建立判别函数时的5个总体。选取常规测井的7个参数作为判别指标，分别是：深测向x1

、浅测向x2

、声波时差x3

、微电极x4

、微电位x5

、2.5m电阻率x6、自然电位x7

。

选取该地区气藏典型井的气层、气水层、含气水层、差气层和水层样品分别为46、83、14、20、33个，总共196个已知样品。在此基础上，应用逐步判别分析建立了该区的气、水层判别函数：49气层F1(x)=332.509x1–149.538x2+85.343x3+223.248x4+121.791x6+78.242x7–51.838气水同层F2(x)=266.472x1–78.156x2+84.501x3+210.524x4–1.879x6+34.774x7–27.497含气水层F3(x)=317.019x1–101.174x2+65.514x3+91.535x4+25.578x6+83.621x7–39.848差气层F4(x)=321.165x1–109.990x2+72.239x3+152.130x4–2.474x6+85.940x7–43.447水层F5(x)=228.842x1–95.139x2+91.373x3+276.140x4+6.387x6+80.724x7–49.940其中微电位x5判别效果不显著，未引入判别函数。50

所建立的判别模型对气层、含气层、气水层、干层和水层的判别效果相当显著,除气层外所有层的正判率均达到90%以上,气层也达到89%。总的正判率达