北师版九年级数学上册第1章特殊平行四边形课件

第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定第1课时

菱形及其性质第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升菱形的定义菱形边的性质菱形对角线的性质1课堂讲解2课时流程逐点课堂小结作业提升菱形的定义

下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你1知识点菱形的定义菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

要点精析：(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组

邻边相等．二者必须同时具备，缺一不可．(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判

定方法．知1－讲1知识点菱形的定义菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需

要添加的条件是(

)A．AB＝CD

B．AD＝BCC．AB＝BC

D．AC＝BD知1－练C如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需知1－练C如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，

DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，

要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是(

)A．AD⊥BC

B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC

D．AD＝BD知1－练B如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，知1－练B2知识点菱形边的性质知2－导

菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形还具有哪些特殊性质呢?根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?问

题菱形的四条边都相等.2知识点菱形边的性质知2－导菱形具有平行四边知2－讲例1如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，

E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为()A．B．

C．D．3在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，所以AE垂直于BC，因此AE＝

，所以△AEF的周长为

，故选B.B分析：知2－讲例1如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，A总

结知2－讲

在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃而解.总结知2－讲在菱形中作辅助线经常连接对1边长为3cm的菱形的周长是(

)A．6cmB．9cmC．12cmD．15cm知2－练C1边长为3cm的菱形的周长是()知2－练C知2－练如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，

AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接

EF，则△AEF的面积是(

)A．4B．3C．2D.B知2－练如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，B3知识点菱形对角线的性质知3－导

因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？思考菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?3知识点菱形对角线的性质知3－导因为菱形是平知3－导已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.求证（1）AB＝BC＝CD＝AD，（2）AC⊥BD.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等)．又∵AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD，∴△ABD是等腰三角形．又∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分)．在等腰三角形ABD中，∵OB＝OD，∴AO⊥BD，即

AC⊥BD.知3－导已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC归纳知3－导定理菱形的对角线互相垂直．归纳知3－导定理菱形的对角线互相垂直．知3－导问题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.知3－导问题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理来进行计算．知3－讲例2如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于

点O，BD＝12cm，AC＝6cm.求菱形的周长．导引：由于菱形的四条边都相等，知3－讲例2如图，在菱形ABC∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝

AC，BO＝

BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.

在Rt△ABO中，由勾股定理，

得AB＝

∴菱形的周长＝4AB知3－讲解：∵四边形ABCD是菱形，知3－讲解：总

结知3－讲

菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来计算．总结知3－讲菱形的对角线将菱形分成四个1如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD，

垂足分别为E，F.(1)求证：BE＝BF；(2)当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，

求BE的长．知3－练1如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD知3－练(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠BAD＝∠BCD.∵BE⊥AD,BF⊥CD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°.知3－练(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，知3－练(2)解：∵对角线AC＝8，BD＝8，∴AO＝4，OD＝3.易求得AD＝5.又∵菱形ABCD的面积＝AD·BE＝AC·BD，∴5BE＝知3－练(2)解：∵对角线AC＝8，BD＝8，如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，

DH⊥AB于H，则DH等于(

)A.B.C．5D．4知3－练A如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，知北师版九年级数学上册第1章特殊平行四边形课件1.1菱形的性质与判定第1课时菱形及其性质第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第一章特殊平行四边形123456789101112131415161712345678910111213141516171．有一组________相等的平行四边形叫做菱形因此有:平行四边形+___________⇔菱形．2．菱形是轴对称图形其对称轴的条数为(

)A．2条 B．4条 C．6条 D．8条邻边邻边相等A返回1知识点菱形的定义1．有一组________相等的平行四边形叫做菱形因此有:3．(中考•聊城)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是(

)A．AB＝AC B．AD＝BDC．BE⊥AC D．BE平分∠ABCD返回3．(中考•聊城)如图，在△ABC中，D返回4．菱形的________相等．边长为3cm的菱形周长为________．5．(中考•菏泽)在菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24cm，则菱形的面积为________cm2．四条边12cm182知识点菱形边的性质返回4．菱形的________相等．边长为3cm的菱形周长为_6．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为(

)A．1 B．

C．2 D．2

C返回6．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则7．如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′.当CA′的长度最小时，CQ的长为(

)A．5 B．7 C．8 D．B返回7．如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上8．菱形的对角线__________________，且每条对角线______________．菱形的面积等于两条对角线长的乘积的______;对角线所在的直线是菱形的________．互相平分且垂直平分一组对角一半对称轴3知识点菱形对角线的性质返回8．菱形的对角线__________________，且每条9．(中考•益阳)下列性质中菱形不一定具有的性质是(

)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形C返回9．(中考•益阳)下列性质中菱形不一定具有的性质是()10．(中考·长沙)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为(

)A．5cm

B．10cm

C．14cm

D．20cmD返回10．(中考·长沙)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长11．(中考•宁夏)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边的中点，连接EF.若EF＝

，BD＝2，则菱形ABCD的面积为(

)A．2 B．

C．6 D．8A返回11．(中考•宁夏)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交12．(中考•河北)求证:菱形的两条对角线互相垂直．已知:如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证:AC⊥BD．以下是排乱的证明过程:①又BO＝DO;②∴AO⊥BD，即AC⊥BD;③∵四边形ABCD是菱形;④∴AB＝AD．12．(中考•河北)求证:菱形的两条对角线互相垂直．证明步骤正确的顺序是(

)A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②B返回证明步骤正确的顺序是()B返回13．(中考·怀化)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为____________cm.(10－10)

返回13．(中考·怀化)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝12014．(中考·沈阳)如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；证明：∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD.∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠DBE.∴∠CEB＝∠CBE.1题型菱形定义在判定菱形中的应用14．(中考·沈阳)如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上(2)四边形BCED是菱形．证明：∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD.由(1)得∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB.∴CE＝BD.∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形．又∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形．返回(2)四边形BCED是菱形．证明：∵△ABC≌△ABD，∴B15．(中考·沈阳)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF.求证：(1)△ADE≌△CDF；2题型菱形边的性质在证明角相等中的应用15．(中考·沈阳)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥A∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C. ∵DE⊥BA，DF⊥CB，

∴∠AED＝∠CFD＝90°.

在△ADE和△CDF中，∠A＝∠C，∠AED＝∠CFD，AD＝CD，

∴△ADE≌△CDF.证明：∵四边形ABCD是菱形，证明：15．(中考·沈阳)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF.求证：(2)∠BEF＝∠BFE.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB.∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF.∴BE＝BF.∴∠BEF＝∠BFE.返回15．(中考·沈阳)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥A16．(中考·苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．16．(中考·苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∵DE⊥BD，∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AC⊥BD.∴AD＝CD＝

＝5.∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.返回(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，返回(2)解：17．(中考·南宁)已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.类比法17．(中考·南宁)已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠A(1)如图①，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；解：AE＝EF＝AF.(1)如图①，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，E(2)如图②，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B，C重合)，求证：BE＝CF；证明：连接AC，如图所示．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝60°.∴△ABC，△ACD是等边三角形．(2)如图②，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B，C重∴△ABC，△ACD是等边三角形．∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACF＝60°.∵∠BAE＋∠EAC＝∠BAC＝60°，∠CAF＋∠EAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∴△ABC，△ACD是等边三角形．∴AB＝AC，在△ABE和△ACF中，∠ABE＝∠ACF，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF(ASA)．∴BE＝CF.在△ABE和△ACF中，(3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．解：过点A作AG⊥CE于点G，过点F作FH⊥CE于点H，如图所示．

∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴∠AEG＝45°，∠BAG＝30°.易得△AEG为等腰直角三角形．(3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°∵AB＝4，∴BG＝2，AG＝2.∴AG＝EG＝2.此时BE＝EG－BG＝2－2.又易知△ABE≌△ACF，∴CF＝BE＝2－2.易知∠BCD＝120°，∴∠BCF＝60°.∴∠CFH＝30°.∵AB＝4，∴BG＝2，AG＝2.返回返回第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定第2课时

菱形的判定第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第2课时1课堂讲解由对角线的位置关系判定菱形由边的数量关系判定菱形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解由对角线的位置关系判定菱形2课时流程逐点课堂小结作1.菱形的定义?2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,

则只需补充

就可以判定它是一个菱形.3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD

相交于点O,并且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为

cm.1.菱形的定义?

根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流．（来自教材）

根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四（来自1知识点由对角线的位置关系判定菱形可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．下面我们证明这个结论．知1－导（来自教材）1知识点由对角线的位置关系判定菱形可以发现，对角线互相垂直的已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：ABCD是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线．∴BA＝BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．知1－讲（来自教材）

证明：已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于知1知1－讲总结1.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱

形.2.规律导引：若用对角线进行判定：先证明四边

形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或

直接证明四边形的对角线互相垂直平分.知1－讲总结1.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件________________________使其成为菱形(只填一个即可)．知1－练AC⊥BD（答案不唯一）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适2下列命题中正确的是(

)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形知1－练D2下列命题中正确的是()知1－练D2知识点由边的数量关系判定菱形知2－导议一议已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形．你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流．定理：四边相等的四边形是菱形.请你完成这个定理的证明.（来自教材）2知识点由边的数量关系判定菱形知2－导议一议（来自教材）知2－讲例1已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交

于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.求证：ABCD

是菱形．

在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝AO2＋OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．∴AC⊥BD.∴

ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．（来自教材）证明：知2－讲例1已知：如图，在ABCD中，对角线AC总结知2－讲1.判定定理2：四边相等的四边形是菱形.2.规律导引：若用边进行判定：先证明四边形是平

行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四

边形的四条边都相等．总结知2－讲1.判定定理2：四边相等的四边形是菱形.1做一做你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，

将纸展开，就得到了一个菱形．

你能说说小颖这样做的道理吗？知2－练（来自教材）1做一做知2－练（来自教材）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给

出的条件不正确的是(

)A．AB＝AD

B．AC⊥BDC．AC＝BD

D．∠BAC＝∠DAC知2－练C如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，知2－练C1.菱形的判定方法：(1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)(边)：四边相等的四边形是菱形．

1.菱形的判定方法：平行四边形四边形菱形2、判定菱形的常见思路：

四条边都相等判定条件对角线互相垂直一组邻边相等平行四边形四边形菱形2、判定菱形的常见思路：

四条边都相等判1.1菱形的性质与判定第2课时菱形的判定第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第一章特殊平行四边形123456789101112131412345678910111213141．对角线____________的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的________是菱形．互相垂直四边形1知识点由对角线的位置关系判定菱形返回1．对角线____________的平行四边形是菱形；互相垂2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是________(写出一个即可)AC⊥BD(答案不唯一)返回2．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD返回3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是(

)A．AB＝BC

B．AC，BD互相平分C．AC＝BD

D．AB∥CDB返回3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条4．(中考·泰安)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；

④PF＝PC，其中正确结论的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．4D返回4．(中考·泰安)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边5．有__________________的平行四边形是菱形；四边相等的________是菱形．一组邻边相等四边形2知识点由边的数量关系判定菱形返回5．有__________________的平行四边形是菱形6．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD的边至少满足条件(

)A．AB＝AD B．AB＝BCC．AB＝CD D．BC＝CDC返回6．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，B7．(中考·河南)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有(

)A．AC⊥BD B．AB＝BCC．AC＝BD D．∠1＝∠2C返回7．(中考·河南)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交8．(中考·宁德)如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(

)A．一组邻边相等的平行四边形是菱形B．四条边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形B返回8．(中考·宁德)如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC9．(中考·河池)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是(

)A．AB＝BC

B．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°B返回9．(中考·河池)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE10．如图，四边形ABCD的对角线相交于O点，AD＝BC，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，且DE＝BF，则下列结论：①AE＝CF；②AO＝CO；③AC＝EF；④AC⊥EF；⑤四边形AECF是菱形；⑥四边形ABCD为平行四边形；其中正确结论的个数为(

)A．2 B．3 C．4 D．5B返回10．如图，四边形ABCD的对角线相交于O点，AD＝BC，作11．(中考·张家界)如图，在▱ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，垂足为点G.连接AF，BE.(1)求证：△AGE≌△BGF；1题型平行四边形对角线的位置关系在判定菱形11．(中考·张家界)如图，在▱ABCD中，边AB的垂直平分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠AEG＝∠BFG.∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG.在△AGE和△BGF中，∠AEG＝∠BFG，∠AGE＝∠BGF，AG＝BG，∴△AGE≌△BGF(AAS)．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠AEG＝∠B11．(中考·张家界)如图，在▱ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，垂足为点G.连接AF，BE.(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．11．(中考·张家界)如图，在▱ABCD中，边AB的垂直平分四边形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF.又∵AD∥FC，∴四边形AFBE是平行四边形．又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．返回解：四边形AFBE是菱形，理由如下：返回解：12．(中考·贵阳)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，

点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE；2题型平行四边形边的数量关系在判定菱形中的应用12．(中考·贵阳)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，且DE＝

AC.∴AC＝2DE.∵EF＝2DE，∴EF＝AC.又∵EF∥AC，∴四边形ACEF是平行四边形．∴AF＝CE.证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，证明：12．(中考·贵阳)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，

点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由．12．(中考·贵阳)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ACEF是菱形．理由如下：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AC＝

AB.∵E为AB的中点，∴BE＝AE＝

AB.∴AE＝AC.又易知∠EAC＝60°，∴△AEC为等边三角形．∴AC＝EC.又由(1)得EF＝AC，AF＝CE.∴AF＝CE＝AC＝EF.

∴四边形ACEF是菱形．返回解：四边形ACEF是菱形．理由如下：返回解：13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE.证明：在△ABC和△ADC中，∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)．3题型菱形的判定和性质在解题中的应用13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是∴∠BAC＝∠DAC.在△ABF和△ADF中，∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△ABF≌△ADF(SAS)．∴∠AFB＝∠AFD.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE.∴∠BAC＝∠DAC.(2)若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.又∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD.∴四边形ABCD是菱形．(2)若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵AB(3)在(2)的条件下，当BE与CD满足怎样的位置关系时，∠EFD＝∠BCD？请说明理由．解：当BE⊥CD时，

∠EFD＝∠BCD.(3)在(2)的条件下，当BE与CD满足怎样的位置关系时，∠理由：∵四边形ABCD为菱形，∴∠BCF＝∠DCF.

在△BCF和△DCF中，CB＝CD，∠BCF＝∠DCF，CF＝CF，∴△BCF≌△DCF(SAS)．

∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°.∴∠EFD＝∠BCD.返回理由：∵四边形ABCD为菱形，返回14．(中考·新疆)如图，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；对称找点法14．(中考·新疆)如图，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝1∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.∴∠DEA＝∠EAD′.由折叠可知∠DAE＝∠EAD′，∴∠DAE＝∠DEA.∴DE＝DA＝1.由折叠可知AD′＝AD＝1，ED′＝ED＝1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝2，BC＝AD＝1.∴BD′＝AB－AD′＝2－1＝1，EC＝DC－DE＝2－1＝1.∴EC＝BC＝BD′＝ED′＝1.∴四边形BCED′是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形，(2)若点P是直线l上的一个动点,请计算PD′＋PB的最小值．解：由折叠可知点D和点D′关于直线l对称，连接BD交直线l于点P，连接PD′，此时PD′＋PB的值最小，其最小值为线段BD的长.过点D作DF⊥AB，垂足为F(如图)．(2)若点P是直线l上的一个动点,请计算PD′＋PB的最小值∵DC∥AB，DF⊥AB，∴DF⊥DC.∵∠ADC＝60°，∴∠ADF＝30°.∵DC∥AB，DF⊥AB，∴DF⊥DC.返回返回第一章

特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第3课时菱形性质与判定

的综合应用第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第3课名师点金菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对

角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平

行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，

也可直接判定四边相等．名师点金菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性1训练角度利用菱形的性质与判定判断图形的形状如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断

△ABC的形状，并说明理由．1训练角度利用菱形的性质与判定判断图形的形状如图，在四边形A(1)∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形，∠DAC＝∠ACE.∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠DAC.∴∠EAC＝∠ACE.∴AE＝CE.∴四边形AECD是菱形．证明：(1)∵AB∥CD，CE∥AD，证明：(2)△ABC是直角三角形，理由如下：∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.∵AE＝CE，∴CE＝BE.∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，

∠EAC＝∠ACE，∴∠BCE＋∠ECA＝90°，即∠BCA＝90°.∴△ABC是直角三角形．解：(2)△ABC是直角三角形，理由如下：解：2训练角度利用菱形的性质与判定证明线段的关系2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，

BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是

AB，CD，AC，BD的

中点，求证：线段EF

与线段GH互相垂直平分．2训练角度利用菱形的性质与判定证明线段的关系2．如图，在四边(1)如图，过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，

则∠ACD＝∠M.

∵AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形．∴AC