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大学物理第4佔讲薛定谔方程一、薛定谔方程假设一个质量为m的粒子被限制沿x轴运动,所受力为F(x1)。经典力学中要解决的问题是确定在给定任意时刻这个粒子的位置:x(t)并由此求出我们感兴趣的其它物理量。确定x(1)是通过求解牛顿运动方程F=mad2xaU其中力可以表示为势能函数Udt2的导数F(x,t)量子力学中要解决的问题不是确定x()而是要寻找粒子的波函数v(x,t),得到这个波函数是通过求解薛定谔方程:ay(x,t)h=ay(,,)+Uy(,t)at2max大学物理oy(x,t)hay(x,t)2mr2+UP(x,t)上式中,讠是-1的平方根,h=h是约化普朗克常量,U是限制粒子运动的势能函数薛定谔方程的作用和地位就像经典力学中的牛顿第二定律:给定适当的初始条件y(x,0),薛定谔方程确定以后所有时刻的波函数Y(x,t),然后可以根据波函数求出感兴趣的动力学量的期待值。薛定谔方程是量子力学的一条基本原理,它揭示了微观世界中物质运动的基本规律。大学物理定态薛定谔方程要得到波函数y(x,t)必须要解薛定谔方程,假设U不随时间变化即U(x),则可以通过分离变量法来求解:先将波函数写成4(x,)=v(x)(t)于是(xqa-y(,t)dy代入薛定谔方程y=dy2mdx2toye两边同时除以Wqhuy+Udt2mydx上式左边仅是t的函数,右边仅是x的函数。这样方程成立的唯一可能就是两边都是常数,记这个常数为E大学物理这样就得到两个方程h-1d-yin1do-Edt2mydrop+UE第一个方程可以直接解出()=Ce-lb由于我们感兴趣的是乘积V,所以常数C可以并到里,这样o(t)iEl/N第二个方程可以写成称为定态薛定谔方程L2mdr3+U=v如果不指定具体的U(x)我们将无法继续求解定态薛定谔方程大学物理注意:1、尽管波函数本身y(x,t)=y(x)e明显与时间有关,但概率密度即波函数模的平方y(x1)2=yy=v(x)c"y(x)e=lv(x)却不依赖时间—一时间因子被相互抵消。因此以后我们可以简单的用来代替y2、定态是能量取确定值的状态经典力学中,总能量(动能加势能)称为哈密顿量通过标准的替换规

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