2021年度数学建模学生面试问题

学生面试问题

摘要

本文研究学生面试问题，是在给定学生数量前提下，按照每名学生面试组由四名

教师构成，且各个学生面试组两两不完全相似规定，研究需要教师数量，并求出面试

分组方案。为了保证面试公平性，组织者还提出了四条规定，需要考虑除Y2外使其

他三条规定尽量满足分派方案。

第一问是已知学生数量为N,求任意两个面试组最多只有一名教师相似最小教师

数量,咱们将此问题转化成一种0-1规划模型，并设计了优化搜索办法,通过MATLAB

编程实现了至少M近似解。

在第二问解决中，一方面对Y1-Y4四个规定进行了分析，并分别建立了相应量

化指标，在此基本上，建立了一种多目的规划模型。针对学生数较多，模型求解运算

量大问题，特别设计了优化算法，减少了搜索中运算量。同步，通过讨论均衡与公平

性含义，以分目的为基本，建立了综合评价目的，以此为指引，使搜索算法更具备针

对性。计算成果表白，分派方案满足Y1-Y4状况是非常好。

第二问中还运用组合数学中区组设计理论，论证了N=379、M=24时不存在完全

满足均衡和公平规定抱负分派方案。

第三问中，将教师组提成文、理两类，一方面修改了问题一中相应模型和算法，

给出了求解成果。在第二问中提出了启发式一混合交叉算法，从模仿成果看，分派方

案比原第二问中方案要差些，但总体上在各个指标上满足状况也是较好。

第四问一方面分析了均匀性与面试公平性关系，并提出了公平率评价指标。为理

解决学生与面试教师有特殊关系，及个别教师打分过于苛刻或宽松问题，本文提出了

规避解决办法。

核心词：多目的规划算法评价指标

1.问题重述

某高校采用专家面试方式进行自主招生录取工作。通过初选合格进入面试考生

有N人，拟聘请教师M人进行面试。每位学生要分别接受“面试组”每一位教师单

独面试。每个面试组由4名教师构成。各位教师独立地对考生提问并依照其回答问题

状况给出评分。为了保证面试工作公平性，组织者提出如下规定：

Y1：每位教师面试学生数量应尽量均衡；

Y2：面试不同考生“面试组”成员不能完全相似；

Y3：两个考生“面试组”中有两位或三位教师相似情形尽量少；

Y4：任意两位教师面试两个学生集合中浮现相似窗生人数尽量少。

请回答如下问题：

问题一：设考生数N已知，规定在满足条件二状况下，阐明聘请教师数M至少分别

应为多大，才干做到任两位学生“面试组”都没有两位以及三位面试教师相似情形。

问题二：请依照条件一至条件四规定建立学生与面试教师之间合理分派模型，并就N

=379,M=24情形给出每位教师面试学生名单详细分派方案，并分析该方案满足条

件一至条件四状况。

问题三：假设面试教师中理科与文科教师各占一半，并且规定每位学生接受两

位文科与两位理科教师面试，请在此假设下分别回答问题一与问题二。

问题四：请讨论考生与面试教师之间分派均匀性和面试公平性关系。为了保证

面试公平性，除了组织者提出规定外，你们以为尚有哪些重要因素需要考虑，试给出

新分派方案或建议。

2.模型假设

依照题意，可以进行如下假设：

1.所有参加面试考生在建模中不作区别，以为是完全同样；

2.所有面试教师也以为是没有差别，完全同样；

3.只考虑面试分组，不考虑时间安排。

4.制定分派方案时，只考虑尽量使教师交叉混合，而不考虑学生主观规定。

3.符号商定

M教师总数

N学生总数

N2遇到两位教师相似状况学生人数

N3遇到三位教师相似状况学生人数

N敏敏感学生人数

N号吃亏学生人数

N幸幸运学生人数

%,第，个学生如果分派给第/位教师面试则此值为1,否则为0

I,第i位教师面试学生人数

I陪单独一位教师面试学生人数最大值

R评价每位教师面试人数均匀性指标

T两位教师共同面试人数最大值最小值

7公平率

X所有教师之间相似窗生个数均值

4所有教师之间相似窗生个数方差

4.模型建立和分析

4.1问题一

4.1.1分析与建模

无论是最多只有一位教师相似还是两位教师相似，该问题解决都可以当作满足

一定约束规定，使得在给定学生数下，谋求至少聘请教师数。因而，咱们把问题抽象

为一种规划模型来寻优。

（1）最多只有一位教师重复状况

设马（马为0,1变量），取值为1时表达第i个学生分派给第7位教师面试，取值为0时

表达第i个学生不分派给第/位教师面试，满足问题规定约束一方面是每个学生面试

构成员数为4,并且使得任意两个学生面试组最多只有一名教师重复。目的是使聘请

教师数M最小，即

MinM

/+/+/+/=4Vi=l,2,…,N

/+/+%+/<4%j/U=l,2,…,M且各不相同

Vi,〃=1,2,・・・，N,iw〃

马=0或1

针对该模型，咱们设计了寻优算法，采用Matlab编程实现。该算法流程图如图1

所示。

M。为设定的初值

图1寻优算法流程图

表1列出了某些数值，图2是该数值可视化。

表1任两位学生“面试组”都没有两位教师相似时至少教师数

学生至少教师学生至少教师学生至少教师学牛至少教师

人数人数人数人数人数人数人数人数

1461116〜171624〜2720

277〜91218〜191728-3021

3910-1313201831〜3222

4〜51014〜151521〜23193323

18

!

疑

Y

£

1烈

180

2468101214161820

学生人数

图2任两位学生“面试组”都没有两位教师相似时至少教师数

（2）最多只有两位教师重复状况

同（1）中同含义相似，（4.1）式中第一种约束依然不变，只是使得任意两个学

生面试组最多只有两名教师重复。

MinM

/+冏+/+/=4Vi=l,…，N

(42)

<xjk++xit+xhk+xhj+xht<6VAJs,/=l,…,M且各不相同.

Yi,h=l,…，N

/=0或1

表2列出了某些数值，图3是数值可视化。

表2任两位学生“面试组”都没有三位教师相似时至少教师数

学生至少教学生人至少教师学生人至少教师学生人至少教师

人数师数人数数人数数人数

人数

I420〜26II141-14317310-35823

2〜3627-4112144〜16518359〜40424

4〜7742〜5513166-19519

8~14856〜7514196〜22920

15-18976-10515230〜26321

1910106-14016264~30922

24

22

20

18

Y赧

lue

茶

8

6

4

050100150200250300350400450

学生人数

图3任两位学生“面试组”都没有三位教师相似时至少教师数

4.1.2成果分析

从图2、图3可以看出，随着学生人数增长，至少面试教师数是增多；并且随着

教师数增多，学生人数变化率是加快，这种趋势是比较符合直观经验。但在图3数据

中也发既有个别不满足这种状况点。对于因素尚未找到，有也许是算法精度问题。并

且每个至少面试教师数上，均有一种学生数“持续期”。

4.2问题二

4.2.1抱负分派方案存在性分析

这里咱们以为抱负分派应当是同步严格满足题中四条规定分派。通过对Y1~Y4

分析，咱们发现这样分派方案就是满足平衡不完全区组设计规定某种构形。而具备

3,%尸,攵,乃-构形平衡区组设计必要条件如定理I"1：

定理1对于一种平衡不完全区组设计，有

秘=”和「（左一1）=43-1）（4.3）

当咱们将学生与教师间某个抱负分派方案当作一种平衡区组设计成果，则学生数

八教师数人、任两位学生“面试组”中相似个数X以及每位教师面试学生人数攵应

当满足（4.3）。咱们以学生数379,教师数24进行检查，发现同步满足（4.3）式两

个方程整数Z是不存在。这就阐明，并不是在任意给定学生数和教师数下均存在满足

Yl~Y4抱负方案。通过以上分析可知，当N=379,M=24时，同步严格满足四条原

则抱负分派是不存在。基于上述分析，可知四条原则不能同步严格满足。那么，若仅

以其中某一原则与否严格满足作为衡量成员交叉混合好坏唯一根据，可行吗？咱们在

论证绝对抱负分派与否存在过程中发现：这四条原则间存在着某些内在微妙联系，仅

以一条原则作为衡量根据，一味追求单一原则严格满足，将会使其她原则满足限度发

生相应变化，这种变化普通是向着不抱负方向发展。因而，咱们应当将四条原则综合

考虑，寻找一种使它们都尽量满足规则。基于上述分析，咱们设计了如下模型。

依照对题目中组织者提出规定分析，发现Y2这一规定事实上是对学生和教师分

派模型作了强制性限制，可以作为模型中约束来考虑。而Yl、Y3、Y4条件体现了组

织者对面试工作均衡性和公平性规定。而依照实际经验判断，均衡性和公平性往往是

互相矛盾两个方面，因而这个问题事实上是一种多目的规划问题。建立模型核心一方

面需要通过对规定理解，对每一种优化目的进行量化，同步还需要考虑各个目的对整

个分派方案作用关系。

4.2.2对每一种评价原则量化

(1)对于题目给出条件Y1

每位教师面试人数完全均衡，是指分派方案中每位教师面试人数完全相等。但是

在各种目的约束下，完全达到这个目的是很难。因而尽量均衡，也就要尽量使每位教

师面试人数与所有教师面试人数最大值之比应接近1。用一种量化指标来表达，咱们

选用上述比值与1之差平方和获得最小值，即

M1

R=MinZ(」--I)2

«=11max

⑵对于题目给出条件Y2

不同考生“面试组”成员不能完全相似，这是必要满足约束条件。对于那些不同

窗生“面试组”四位教师完全相似状况，不符合此条件，可以直接排除在本题思考范

畴之外，不进行考虑。

(3)对于题目给出条件Y3

用任意两位学生面试组中三位教师相似组合数风与任意两名学生面试分派总组

合数N之比，来原则化有三位教师相似情形；用任意两位学生面试组中两位教师相似

组合数凡与任意两名学生面试分派总组合数N之比，来原则化有两位教师相似情形。

可以采用两种方式来表达满足条件Y3规定。一种是采用优先序办法，另一种是采用

两个指标加权和来综合两个方面。从公平性角度来看，咱们以为优先满足使三位教师

相似状况尽量少，在此基本上进一步规定两位教师相似状况尽量少，更能体现公平性

原则。因而，在背面详细方案计算中，为了分派搜索中寻优，虽然采用两个指标加权

和，单是将满足三个指标时选较大。

(4)对于题目给出条件Y4

虽然用任意两个教师共同面试学生个数》中最大值可以反映Y4规定，但考虑到

虽然相似max%值，对不同大小学生总数，它反映公平性限度是不同样，因而，这里

采用"除以总学生数来反映Y4这一规定，并使该指标尽量小，即

maxty

T=Min(-^—)

N

4.2.3建立多目的规划模型

对4.2.1提出各种指标，应进行综合考虑。一种可行办法是将几种指标按照不同

优先级进行排序。咱们选用优先序依次为4,z2,Z3,如下模型所示：

MJ

Z,minR=Z(7--1)2

i=l/max

z2min—

分目的:(4.3)

min--

N

(max%、

Z4min-----

IN)

Z=2]Z]+^222++

综合目的：4>4>4>乙

4+4+4+4=1

xik+Xy+xjs+xjt=4Vi=1,•一,N

卜VZJs,/=l,…,M且各不相同

马=0或1

4.2.4模型求解算法

(1)模型思路设计

由前文，绝对抱负分派是不存在，仅仅追求单一原则严格满足作法也是不可行，

那么，寻找一种使四条原则都尽量满足规则是当前核心。

普通，人们在安排该学生面试时，总是依照前几次面试安排状况来决定本次面试

教师分派。因而，咱们从如下两个方面出发进行思路设计:

*假设当前已安排了i-l次面试，在安排第i次面试时，一方面应当依照每个教师在

前i-1次面试中与学生会面次数由多到少顺序，对教师进行排序。在制定分派筹划时，

应以此顺序对教师加以考虑。

由于，如果先安排那些同其她教师会面次数少人，一旦她们进行面试学生后，再

安排那些与学生会面次数较多人时，就会浮现无论这些人被分派到哪一组，均有也许

同已见过多次面教师分在同一组。为避免以上状况发生，咱们应优先考虑分派那些同

窗生会面次数较多人。

*在教师优先排序方案拟定之后，就可以依次对各个教师分派加以考虑了。假定前

1个教师已被编入面试小组内，由于第i名教师面试不同窗生产生效果是不同，而

效果好坏又是以四条原则满足限度来衡量。因而，通过对不同面试四条原则满足限度

对比，可拟定究竟将其面试哪一种学生。由于这四条原则对某个教师来说都是限制性。

如果咱们但愿以四条原则综合满足限度来描述交叉混合好坏话，则这种综合满足限度

可看作是各约束条件一种方面。于是咱们可以通过比较各面试小组对第i名教师综合

满足限度大小来决定该组教师应去哪个学生面试小组。对某个教师来说，她最后被编

入面试组必是对她综合满足限度最大组。

(2)状态变量定义

由于该模型在求解过程中，将某位教师编入哪一位学生面试组取决于前几次面试

安排状况，故模型求解核心就在于如何存储和运用前几次面试安排信息。在这里，咱

们定义“当前状态”为前几次面试安排状况。重要涉及如下几种方面。

•前几次面试安排中，每位教师面试学生个数。

它是拟定面试教师优先排序准则及由会面熟引起尽量满足目的为Y1重要因素。

4表达第i个教师几次面试学生次数(i=1,2,……,24)0

*前几次面试安排中，任意两面试教师之间相似窗生次数。

它是拟定面试教师面试那个学生重要因素。程序中，通过数组芍(1«/<*24)来

存储。7；表达教师i与教师j在前几次面试中相似窗生次数。

*两个考生“面试组”中有两位或三位教师相似情形

判断方案优劣一条原则。可以作为方案备选原则。

(3)流程框图

图4是整个算法框图，它涉及了对面试组安排以及各种记录指标计算输出。依照

算法，咱们用MATLAB7.0编制了程序，见附件1.m,2.m。

安排面试教师时应以各组人数尽量均衡性、公平性为重要原则。

开始

n=n+1否

计算该组老师于以往面试的老师之

间相同学生个数的方差

对方差大小进行排序

选择最小的一组作为面试组

▼

进行新一轮的面试

判断n的组数己经用完

图4面试分组程序流程图

(4)算法环节:

•假设进行了第i个学生面试，判断i与否达到规定，如果i=379则结束，否则

继续判断；

•依次选取面试教师相似个数至少排序进行选取，如果选取完毕，则任意两个

学生面试教师相似个数增长1;

•计算每位面试教师面试学生数量，并按照由小到大顺序进行优选选取排序，

选取4位教师作为该学生面试教师；

•计算所有教师之间相似窗生次数方差；作为进一步选取根据；

•找到最佳一组教师作为该学生面试教师，直至满足所有面试规定结束；

4.2.5模型成果

•Y1满足状况

每个教师面试学生个数((1SiV24)如表3所示，图5为每个教师面试学生个数

条形图。

表3每个教师面试学生个数

教师序面试学生个数教师序号面试学生个教师序号面试学生个

号数数

1639631763

26310631863

36311631963

46312632063

56313682164

66314642263

76315642364

86316632463

70

图5所有教师面试学生个数记录图

•Y2满足状况

两个考生“面试组”中有零位、一位、两位、三位、四位教师相似指标值如表4

所示：

表4相似教师数量个数组数

相似教师数量个数totlt2t3t4

该组数比值0.4640.4150.1200.0010

可以看出该分派方案对满足没有三位教师相似状况是非常好，但对两位相似状况

有一定限度不满足，但是从综合评价指标看还是比较优。

•Y4满足状况

任意两个教师之间相似窗生个数，为一种23X24三角矩阵与（14/＜区24）（见

附录1对Y4满足评价指标值为T=0.032。

可以看出24位教师面试学生数是相称均匀.

4.2.6模型成果分析

分派方案如下：S,y(l<z<379,l</44)为表达第i个学生第j个面试教师。

(见附录2)

(1)公共学生数评估

从以上成果咱们可以看出，最小公共学生数目为7,最大数为12,因此公共学生数是

很小，并且最大公共学生数为12只有1组。可见公共学生数是令人满意。

(2)公共教师数评估

本模型最后成果中，虽然没能保证公共教师数没有，但从会面次数成果登记表来看，

各教师之间会面次数是比较合理，没有浮现两位教师、三位教师共同面试次数过多状

况。如表4所示。

(3)教师工作量

在对成果分析中，咱们发现，教师面试次数最大为64,最小为63,不同教师之

间工作量最大之差不超过1，因此教师工作量非常均衡。

综上所述，该分派方案对Y1-Y4满足状况是比较好。

4.3问题三

在对教师进行编组时，作如下规定：1-12位文科教师，13-24位理科教师；别的

条件见以上模型。

4.3.1对问题一模型重新修改

面试教师提成文、理两类后，模型与4.1.1问题一中最大不同是规定一种学生面

试方案中必要涉及两个文科教师和两个理科教师，故约束上需要修改。改进后模型为

MinM

4+/+%+/=4%=1,...,乂伏,_/是文科老师,s,1是理科老师）

\/%,加,/=「..,知且各不相同

x*+七+xit+xhk+xhj+xhl<61

=…，N

马=0或1

4.3.2对问题一模型求解成果及分析

表5任两位学生“面试组”都没有两位教师相似时至少教师数

学生至少教师学生至少教师学生至少教师

人数人数人数人数人数人数

I4101424-2622

28H-141627〜3324

3~51015〜1718

6~91218〜2320

22

20

18

1

16

疑14

/12

gw1

1

10

5101520253035

学生人数

图6任两位学生“面试组”都没有两位教师相似时至少教师

表6任两位学生“面试组”都没有三位教师相似时至少教师数

学生至少教师学生人至少教师学生人至少教师

人数人数数人数数人数

I419-3612130-18220

2~3637〜6314183〜23022

4〜12864〜11216231〜31324

13〜1810113-12918

24

22

20

18

16

14

12

10

8

050100150200250300350

学生人数

图7任两位学生“面试组”都没有三位教师相似时至少教师数

可以看出，求解成果具备与4.1.2类似变化结论。

4.3.3问题3成果

两个考生“面试组”中有零位、一位、两位、三位教师相似数量=123,4）如

表7所示。

表7相似教师数量个数组数

相似教师数量个数totlt2t3t4

该组数在总体中比值0.4710.4030.1222720.004

每个教师面试学生个数7；(1<z<24)如表8所示。

表8每个教师面试学生个数

教师序号面试学生个数教师序号面试学生个数教师序号面试学生个数

1669581761

26610581865

36611611963

46712582062

56613682161

66514622265

76415642361

86316662460

70

60•

50•

40-

30•

20■

10■

0510152025

图8每位教师面试学生个数条形图

任意两个教师之间相似窗生个数，为一种23X24三角矩阵芍(14/<注24)见附

录4o

面试分组方案如下：5,7(1</<379,1</<4)为表达第i个学生第j个面试教师。见

附录3。

4.3.4模型成果分析

(1)公共学生数评估

从以上成果咱们可以看出，最小公共学生数目为4,最大数为15,因此公共学生数是

很小，并且最大公共学生数为15只有3组。可见公共学生数是令人满意。

(2)公共教师数评估

本模型最后成果中，虽然没能保证公共教师数没有，但从会面次数成果登记表来看，

各教师之间会面次数是比较合理，没有浮现两位教师、三位教师共同面试次数过多状

况。如表7所示

（3）教师工作量

在对成果分析中，咱们发现，教师面试次数最大为67,最小为58,不同教师之间工

作量最大之差不超过9,因此教师工作量是比较均衡。

4.4问题四

4.4.1假设与实际状况偏差

上述所有解题过程引用了这样两条隐含假设：一是任何一位教师对任何一名学生

都没有先入为主较好或较差印象。二是每一位教师打分习惯完全相似，没有特殊偏好。

但是事实上这两条假设并不成立。一是某位教师也许与某名学生有特殊关系，面

试打分会受到影响。二是每一名教师在实际打分过程中有自己风格。对于大多数教师,

面试打分普通会集中在某个不大区间内。对于这些教师，可以称为原则型。也许有个

别教师面试打分习惯性偏低或偏高，其打分值与大多数教师有明显差别。偏低称为苛

刻型教师，偏高称为宽松型教师。苛刻型教师和宽松型教师属于个别状况，数量比较

少，甚至不一定存在。

4.4.2特殊关系对公平性影响

当某位教师与某位学生有特殊关系时候，面试打分也许会受到影响。为保证公平,

应实行规避，不安排这位教师对这名学生进行面试。可以在已经生成分组方案中进行

某些局部调节，把她与此外一名与她“面试组”完全不同窗生对换即可。

4.4.3教师打分偏好对公平性影响

依照每一名教师以往参加面试打分状况，设这多名教师当中第i名教师打分盼望

值分别为g,。这次参加面试某学生A面试构成员为第w,x,y,z号教师。组织者和教师

对学生A状况一无所知。学生A面试成绩盼望值为g'+g，，+g=+g”：。如果这四位教

4

师都属于原则型，则这次面试对学生A是公平。如果这四位教师当中有两位是苛刻型，

而没有一位是宽松型，则学生A在这次面试中吃亏。如果这四位教师当中有两位是宽

松型，而没有一位是苛刻型，则学生A在这次面试中占便宜。如果不考虑教师打分习

惯，完全随机地进行分组，不可避免地会有一某些学生在面试中吃亏，同步也有一某

些学生在面试中占便宜。如果可以科学合理地进行分组，把苛刻型教师和宽松型教师

进行搭配分组，则会相对公平某些。如果完全随机地分布，虽然可以避免浮现苛刻型

教师过度汇集或宽松型教师过度汇集状况，从而在一定限度上可以避免浮现极度不公

平现象，但是与此同步，完全随机分布也排除了苛刻型教师和宽松型教师搭配分组合

理方案，因而完全随机分组公平性具备局限性。

合理解决办法是在分组过程中对苛刻型教师和宽松型教师搭配分组。只有少数学

生会遇到“面试组”内同步有两位苛刻型教师，或同步有两位宽松型教师状况。对于

这种比例较小例外状况，可以使用规避办法解决。即在计算过程中，分组时候判断与

否浮现了上述状况。遇到苛刻型教师时候，优先把她与宽松型教师安排在一起。遇到

宽松型教师时候，优先把她与苛刻型教师安排在一起。应尽量避免把两个苛刻型教师

分派到同一种没有宽松型教师小组内。对于已经生成面试分组方案，要检测其公平性。

对公平性不符合规定，把吃亏或占便宜学生“面试组”进行一下局部调节，将多余苛

刻型或宽松型教师置换出去，换回同样数量原则型教师。这样，就可以大大减少面试

过程中浮现不公平现象。

4.4.4公平性评价指标

如果参加面试某位学生与参加面试某位教师有特殊关系，则称之为敏感学生。敏

感学生总人数称为敏动人数，记为Ng

参加面试某位学生“面试组”只要具备此特性：苛刻型教师人数-宽松型教师人

数22,则称此学生为“吃亏学生”，“吃亏学生”总人数记为N号.

参加面试某位学生“面试组”只要具备此特性：宽松型教师人数-苛刻型教师人

数22,则称此学生为“幸运学生”，“幸运学生”总人数记为N幸.

定义公平率%I-%++

N

公平率〃可以作为评价面试与否公平指标

4.4.5修正背面试分组方案

在第二问基本上，假设1号学生与19号教师有特殊关系，应实行规避。求新面

试分组方案。

由于附件1可以得知1号学生面试构成员为第2、6、19、23号教师，13号学生

面试构成员为第3、7、20、24号教师。两组完全不同，可以互换。互换之后，1号学

生面试构成员为第3、7、20、24号教师，13号学生面试构成员为第2、6、19、23

号教师。分组方案别的某些保持不变。这样就避免了1号学生面试组中有第19号教

师敏感状况。

5模型评价

由于本文建立规划模型很难用解析办法求解，因此本文使用数值办法解题。该办

法具备可操作性强长处。

但是与此同步，数值办法应用于此题，也有不完美之处。例如：本文第一问建立

规划模型，试图用Lingo求解，但因运算量太大而没有实现，因此改用Matlab编程序

求解。第一问搜索算法，如果不通过优化，要进行Cj!次搜索。可见构造简朴数值算

法有时候会有运算量过大问题。通过优化，减少运算量，是此后需要关注一种问题。

参照文献

[1]卢开澄,组合数学[M].北京：清华大学出版社，1991,135~186。

⑵李南南等，MATLAB7简要教程[M].北京：清华大学出版社，，85~170。

⑶编写组，数学手册[M].北京：高等教诲出版社，1979,23-27o

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附录1：第2问面试组分派方案

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