大学物理A类第三章刚体力学基础课件

第3章刚体力学基础刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时完全不会发生形变。因此运动过程中刚体内部任意两点之间的距离始终保持不变。自由度：完全描述运动所需的独立坐标数（决定物体空间位置）§3.1刚体运动的描述一、刚体运动基本形式和自由度第3章刚体力学基础刚体是一个理想模型，指物体11平动（平移）：刚体内任意两质点连线的方向保持不变

2转动：刚体上所有各点绕同一直线作圆周运动，这一直线称为转轴。自由度1平动（平移）：刚体内任意两质点连线的2转动：刚体2xp（1）定轴转动：转轴固定于参考系j如：门窗（2）定点转动：转轴上有一点静止于参考系如：玩具陀螺（转轴方向2，绕轴转角1）oxp（1）定轴转动：转轴固定于参考系j如：门窗（2）定点转33平面平行运动：刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面可以分解为刚体随质心的平移（2）和绕质心垂直于运动平面的定轴转动（1）如：车轮滚动4刚体的一般运动可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动3平面平行运动：刚体上每一质元的运动都可以分解为刚体随质心4力是滑移矢量，只能在力的方向上移动二、刚体的受力力的三要素：大小、方向、作用线。力是滑移矢量，只能在力的方向上移动二、刚体的受力力的三要素：5§3.2刚体的定轴转动一、定轴转动的描述xpj转动平面q角速度，角加速度§3.2刚体的定轴转动一、定轴转动的描述xpj转动平面q6大学物理A类第三章刚体力学基础课件7对于匀角加度速转动，则有：式中是t=0时刻的角速度和角位置对于匀角加度速转动，则有：式中是t=0时刻的角速度和角位置8角量与线量之关系j角量与线量之关系j9角速度矢量大小为方向由右螺旋法则确定规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为角速度矢量的方向在定轴转动下，转轴任取一点为坐标原点角加速度矢量角速度矢量大小为方向由右螺旋法则确定规定顺着刚体转动的右螺旋10定义角位移是否矢量？角速度矢量再研究定义角位移是否矢量？角速度矢量再研究11有限大角位移相加时不满足交换律，不是矢量有限大角位移相加时不满足交换律，不是矢量12刚体是一个质点系,描述质点系转动的动力学方程取惯性参考系二、定轴转动定理刚体是一个质点系,描述质点系转动的动力取惯性131、作用于定轴刚体的合外力矩设第个质元受外力假定垂直于转轴xyz1、作用于定轴刚体的合外力矩设第个质元受外力假定垂直于转轴x14相对于定轴的合外力矩即作用在各质元的力矩的z分量之和xyz的力矩（简称力对转轴的力矩）对参考点的力矩在z轴上的分量就等于力对z轴的垂足o（转心）相对于定轴的合外力矩即作用在各质元的力矩的z分量之和xyz的15由于刚体只能绕z轴转动,引起转动的力矩只有，因此转动动力学方程xyzo由于垂直于z轴2、刚体定轴转动定理由于刚体只能绕z轴转动,引起转动的，因此转动16式中称为刚体对转轴z的转动惯量代入得到xyzo刚体定轴转动定理式中称为刚体对转轴z的转动惯量代入得到xyzo刚体定轴转17称为在t0到t时间内作用在刚体上的冲量矩推广到

可变情形（保持所有质点相同）称为在t0到t时间内作用在刚体上的冲量矩推广到可变18关于刚体角动量的补充说明mmbbaRJ结论：1、角动量和角速度一般并不在同一个方向上2、角动量与角速度在数值上也并不是以转动惯量为比例系数的正比关系关于刚体角动量的补充说明mmbbaRJ结论：1、角动量和角速19【例】定滑轮:物体:轻绳不能伸长，与滑轮间无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。r【解】【例】定滑轮:物体:轻绳不能伸长，与滑轮间无相对滑动。求滑20解得:结论:1.由于考虑了滑轮的质量,使得2.解得:结论:1.由于考虑了滑轮的质量,使得2.21【例】“打击中心”问题细杆：m,l

，轴O，在竖直位置静止.若在某时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。解：如图示，除力F外，系统还受重力、轴的支反力等。但这两个力对轴的力矩＝0。l0O.C.

A.只有F对细杆的转动有影响，对转轴O的力矩为：可通过转动定理求细杆的转动，再求质心加速度。利用质心运动定理求支反力。细杆遵从如下动力学方程：【例】“打击中心”问题细杆：m,l，轴O，在竖直位置静22质心运动定律分量式：l0OC.

A..质心运动定律分量式：l0OC.A..23l0OC.

A..讨论打击中心l0OC.A..讨论打击中心24网球拍thesweetspot网球拍thesweetspot25【例】一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度为0，绕中心o旋转，问经过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为）drr解：Ro【例】一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。26为其转过的角度。为其转过的角度。27旋转哑铃。（1）【例】求角动量及外力矩（o点）旋转哑铃。（1）【例】求角动量及外力矩（o点）28大学物理A类第三章刚体力学基础课件293、刚体的转动惯量转动惯量的计算物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小反映了改变刚体转动状态的难易程度。与转动惯量有关的因素①刚体的质量及其分布;②转轴的位置;③刚体的形状。

刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘积之和。3、刚体的转动惯量转动惯量的计算物理意义：转动惯量是对刚体30若质量连续分布质量为线分布质量为面分布质量为体分布线分布体分布面分布为质量的线密度为质量的体密度为质量的面密度注意

只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。若质量连续分布质量为线分布质量为面分布质量为体分布线分布体31大学物理A类第三章刚体力学基础课件32平行轴定理刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平行转轴的转动惯量Jc加上刚体质量m乘以两平行转轴间距离d的平方cdo平行轴定理刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平行转轴33oxyz有一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分别为Jx，Jy，则板对z轴的转动惯量Jz

。垂直轴定理oxyz有一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分别为Jx，34【例】求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯量。【解】xyzrdr盘由许多环组成【例】求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的转动惯35【例】圆盘：m，R，求以直径为轴的转动惯量【例】挂钟摆锤的转动惯量o【例】圆盘：m，R，求以直径为轴的转动惯量【例】挂钟摆锤36【例】求球体对通过球心轴的转动惯量，球的半径为R体密度为。【解】将球分为一系列的圆盘rRoz任一圆盘的质量：对与球体相切的轴的转动惯量又为多少？【例】求球体对通过球心轴的转动惯量，球的半径为R体密度为37【例】圆柱体：m，r，l，求转动惯量【例】圆柱体：m，r，l，求转动惯量38三、定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动角动量定理：定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。三、定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动角动量定理：定轴转动39茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳4012解：两轮对共同转轴的角动量守恒摩擦离合器飞轮1：J1w1飞轮2:

J2

静止两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。【例】若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：12解：两轮对共同转轴的角动量守恒摩擦离合器41【例】均质细棒：m1、l

，水平轴O，小球：m2与棒相碰，碰前碰后如图，设碰撞时间很短，棒保持竖直，求碰后棒的角速度。系统对O轴角动量守恒注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。只当碰撞在打击中心时，Nx=0，系统的水平动量守恒：解：O【例】均质细棒：m1、l，水平轴O，小球：m2与棒相碰42【例】如图，小球用细绳挂于o，细棒挂于o’，水平释放，与棒相碰，问碰撞过程系统对o点及o’点角动量是否守恒？为什么？oo’TmgMgN解：受力如图，重力冲量矩可忽略，对o’点外力矩为零，角动量守恒。对

o点外力矩不为零，角动量不守恒。【例】如图，小球用细绳挂于o，细棒挂于o’，oo’Tmg43【例】两圆盘形齿轮半径r1、

r2，对通过盘心垂直于盘面转轴的转动惯量为J1、

J2，开始

1轮以w0转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理：得：解：12【例】两圆盘形齿轮半径r1、r2，对通过盘心垂直于盘44【例】【例】45大学物理A类第三章刚体力学基础课件46大学物理A类第三章刚体力学基础课件47角动量守恒定律角动量守恒定律481、

刚体定轴转动的动能可分解为刚体绕质心转动的动能和质心携总质量绕定轴作圆周运动的动能oc四、刚体的能量1、刚体定轴转动的动能可分解为刚体绕质心转动的动能和质心49设作用在质元dmi上的外力Fi位于转动平面内zp2、力矩的功设作用在质元dmi上的外力Fi位于转动平面内zp2、力矩的功503、刚体定轴转动的动能定理3、刚体定轴转动的动能定理51刚体和地球系统的重力势能：以地面为零势能点，质元i：Zoi4、刚体的重力势能刚体和地球系统的重力势能：Zoi4、刚体的重力势能525、刚体定轴转动的功能原理将重力矩作的功用重力势能差表示得其中，M为除重力以外的其它外力矩若M=0,则即刚体的机械能守恒定律5、刚体定轴转动的功能原理将重力矩作的功用重力势能差表示得其53【例】细杆A：m，L，轴O，水平静止，在竖直位置与静止物块B：m

发生弹性碰撞，求碰后：解：BAO【例】细杆A：m，L，轴O，水平静止，解：BAO54NBAONBAO55kRmm=2千克,=370,光滑,静止释放(弹簧为原长),求：(滑轮无滑转动)(1)最大距离Smax

(2)最大速度vmax与对应的S解：（1）机械能守恒（2）寻找

v~S关系，并求导求得极值设某时刻下滑S

机械能守恒[例]已知k=20牛/米，R=0.3米，J=0.5千克

米2kRmm=2千克,=370,光滑,静止释放(弹簧为原长56求导：kmR求导：kmR57

绕对称轴高速旋转的刚体称为陀螺，或称回转仪。陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，故属刚体的定点运动。利用角动量定理和角速度的矢量性质，可以解释陀螺的运动。五、陀螺的运动绕对称轴高速旋转的刚体称为陀螺，或称回转仪。五、陀螺的581、玩具陀螺的进动高速旋转的陀螺为什么能够立而不倒？情况一：竖直时o1、玩具陀螺的进动高速旋转的陀螺为什么能够立而不倒？情况一：59定向陀螺仪

安装在导弹、飞机、坦克或舰船中，随时纠正导弹等的方向和姿态。定向陀螺仪安装在导弹、飞机、坦克或舰船中，随60情况二时刻改变方向而大小不变发生进动(Precession)情况二时刻改变方向而大小不变发生进动(Precession)61设进动角速度为投影图OzLsinMLd进动轴自转轴设进动角速度为投影图OzLsinMLd进动轴自转轴62改变方向，情况如何？改变方向，情况如何？有周期性变化称为章动(nutation)投影图投影图进动章动进动改变方向，情况如何？改变方向，情况如何？有周期性变化称为章动632、杠杆陀螺的进动平衡时保持大小方向不变移动重物P，受力矩作用，出现进动现象2、杠杆陀螺的进动平衡时保持大小方向不变移动重物P，受力矩作64回归年:太阳连续两次直射于北回归线的时间间隔

恒星年:地球绕太阳一周实际所需的时间间隔

3、地球的进动岁差回归年:太阳连续两次直射于北回归线的时间间隔恒星年:地球绕65地球进动周期=25770年≈

26000年织女星

北极星地球进动周期=25770年≈26000年织女星北极66地球进动周期=25770年≈

26000年地球章动周期=18.6年≈

19年地球进动周期约为2.6万年，章动周期约为19年。中国古代历法以19年为一章，译名“章动”即源于此。地球进动周期=25770年≈26000年地球章动周期67xyzo图中所示为一船中的高速旋转体,如船带着旋转体绕z轴作逆时针转动,则轴承将受到巨大压力,试指出其压力的方向,为什么?xyzo图中所示为一船中的高速旋转体,如船带着旋转体绕z轴作68六、刚体的平面平行运动刚体的每一个点都在自己对应的一个平面内运动，所有这些平面相互平行。对质心定轴转动加上初始条件、约束条件平面平行运动质心的运动+绕过质心轴的转动