基本不等式及不等式的应用课件

基本不等式及不等式的应用高考理数

(课标Ⅲ专用)全国名校高考数学复习优质学案汇编（附详解）基本不等式及不等式的应用高考理数(课标Ⅲ专用)全国名校高考1考点一基本不等式1.(优质试题福建,5,5分)若直线

+

=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于

()A.2

B.3

C.4

D.5自主命题·省(区、市)卷题组答案

C将(1,1)代入直线

+

=1,得

+

=1,又a>0,b>0,故a+b=(a+b)

=2+

+

≥2+2=4,等号当且仅当a=b时取到,故选C.解题思路把点代入直线方程,问题可转化为已知

+

=1,求a+b的最小值问题.考点一基本不等式自主命题·省(区、市)卷题组答案

C22.(优质试题陕西,9,5分)设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(

),q=f

,r=

(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是

()A.q=r<p

B.q=r>p

C.p=r<q

D.p=r>q答案

C解法一:由题意知p=f(

)=ln

,q=f

=ln

,r=

(f(a)+f(b))=

(lna+lnb)=

ln(ab)=ln

.又∵b>a>0,∴

>

>0.∵函数f(x)=lnx为增函数,∴p=r<q,故选C.解法二(特殊值法):令a=1,b=2,∴p=f(

)=ln

,q=f

=f

=ln

,r=

(ln1+ln2)=ln

.∵

<

,∴ln

<ln

,∴p=r<q.2.(优质试题陕西,9,5分)设f(x)=lnx,0<a<33.(优质试题天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+

的最小值为

.答案

解析本题主要考查运用基本不等式求最值.由已知,得2a+

=2a+2-3b≥2

=2

=2

=

,当且仅当2a=2-3b时等号成立,由a=-3b,a-3b+6=0,得a=-3,b=1,故当a=-3,b=1时,2a+

取得最小值

.易错警示利用基本不等式求最值应注意的问题:(1)使用基本不等式求最值,易失误的原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要

利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使满足基本不等式中“正”

“定”“等”的条件.3.(优质试题天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+44.(优质试题上海,5,4分)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为

.答案2

解析∵x2+2y2≥2

=2

xy=2

,当且仅当x=

y时取“=”,∴x2+2y2的最小值为2

.4.(优质试题上海,5,4分)若实数x,y满足xy=1,则x55.(优质试题天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则

的最小值为

.答案4解析本题考查基本不等式的应用.∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),∴

≥

=4ab+

,由于ab>0,∴4ab+

≥2

=4

当且仅当4ab=

时“=”成立

,故当且仅当

时,

的最小值为4.规律方法利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须

一致.5.(优质试题天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则 6考点二基本不等式的实际应用问题1.(优质试题江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交

AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为

.答案9解析本题考查基本不等式及其应用.依题意画出图形,如图所示.

易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即

csin60°+

asin60°=

acsin120°,∴a+c=ac,∴

+

=1,∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,当且仅当

=

,即a=

,c=3时取“=”.考点二基本不等式的实际应用问题答案9解析本题考查基本不7一题多解1作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,

∴

=

=

,∵DE∥CB,∴

=

=

=

,∴

=

,

=

.∴

=

+

.∴

=

,∴1=

+

+2·

·

|

|·|

|×

,∴1=

,∴ac=a+c,∴

+

=1,∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,当且仅当

=

,即a=

,c=3时取“=”.一题多解1作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线8一题多解2以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,

则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A

,C

.∵A,D,C三点共线,∴

∥

,∴

+

c

=0,∴ac=a+c,∴

+

=1,∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,当且仅当

=

,即a=

,c=3时取“=”.一题多解2以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面92.(优质试题江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总

存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是

.答案30解析本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元,则y=

×6+4x=4

≥240.当且仅当x=

,即x=30时,等号成立.易错警示1.a+b≥2

(a>0,b>0)中“=”成立的条件是a=b.2.本题是求取最值时变量x的值,不要混同于求最值.2.(优质试题江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600101.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当

取得最大值时,

+

-

的最大值为

()A.0

B.1

C.

D.3教师专用题组答案

B由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,∴

=

=

.又x、y、z为正实数,∴

+

≥4,当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2.∴

+

-

=

+

-

=-

+

=-

+1,当

=1,即y=1时,上式有最大值1,故选B.评析本题考查基本不等式的应用、二次函数求最值等知识,考查学生的运算能力.1.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-112.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a=

时,

+

取得最小值.答案-2解析∵a+b=2,∴

+

=

+

=

+

=

+

+

≥

+2

=

+1.当且仅当

=

且a<0,即b=-2a,a=-2时,

+

取得最小值.评析本题主要考查基本不等式及其应用,着重考查运算变形能力.2.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a12解析解法一:∵sinA=2sinBsinC,∴sin(B+C)=2sinBsinC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,亦即tanB+tanC=2tanBtanC,∵tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-

=

,又△ABC为锐角三角形,∴tanA=

>0,tanB+tanC>0,∴tanBtanC>1,∴tanAtanBtanC=

·tanB·tanC=

,令tanBtanC-1=t,则t>0,∴tanAtanBtanC=

=2

≥2×(2+2)=8,3.(优质试题江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是

.答案8解析解法一:∵sinA=2sinBsinC,3.(优13当且仅当t=

,即tanBtanC=2时,取“=”.∴tanAtanBtanC的最小值为8.解法二:sinA=sin(B+C)=2sinBsinC⇒tanB+tanC=2tanBtanC,因此tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥2

⇒tanAtanBtanC≥8,即最小值为8.思路分析思路1:把已知条件sinA=2sinBsinC转化为sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,进而

得到tanB+tanC=2tanBtanC,再把tanA用tanB、tanC表示出来,从而将tanAtanBtanC用含tan

BtanC的式子表示出来,这是解题关键.思路2:sinA=sin(B+C)⇒tanB+tanC=2tanBtanC,斜三角形ABC中恒有tanAtanBtanC=tanA+

tanB+tanC=tanA+2tanBtanC,结合基本不等式可求解.解后反思消元与降次是高中数学主旋律,利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本

题突破口,解法二利用斜三角形ABC中恒有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,迅速得解.提高

转化问题的能力,培养消元意识,并多总结积累常见的三角恒等变形,可事半功倍.当且仅当t= ,思路分析思路1:把已知条件sinA=2s14考点基本不等式1.(优质试题广西陆川中学模拟,6)已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上,则2x+4y的最小值

为

()A.2

B.4

C.16

D.不存在A组

优质试题—优质试题年高考模拟·基础题组三年模拟答案

B过A(3,0),B(1,1)两点的直线为y-1=

(x-1),即x+2y=3,所以(x,y)满足x+2y=3,因此,2x+4y=2x+22y≥2

=2

=4

,当且仅当x=

,y=

时取“=”,所以,2x+4y的最小值为4

.考点基本不等式A组

优质试题—优质试题年高考模拟·基础152.(优质试题四川成都七中入学考,16)已知a≥0,b>0且a+b=1,则

+

的最小值为

.答案

解析由a≥0,b>0,a+b=1,得a=1-b≥0,∴0<b≤1,

+

=

+

,令f(b)=

+

,0<b≤1,f'(b)=

-

=

,∵0<b≤1,∴f'(b)<0,f(b)在(0,1]上单调递减,∴f(b)min=f(1)=

.易错警示观察到(2+a)+b=3,故用“1”的代换求

+

的最小值,但是取等(即最值)时,a=-

,与已知矛盾,故不能直接用基本不等式求解.2.(优质试题四川成都七中入学考,16)已知a≥0,b>0且16一题多解设a=sin2θ,b=cos2θ

,则

+

=

+

=

=

=

=

.因为θ∈

,所以cos2θ∈(0,1],所以当cos2θ=1时,-

+

取得最大值2,所以

+

的最小值为

.一题多解设a=sin2θ,b=cos2θ ,则 + = +171.(优质试题广西来宾4月月考,11)若

的展开式的常数项为5,其中a,b均为正数,则

()A.

-

的最小值为

B.

-

的最小值为1C.

-

的最大值为

D.

-

的最大值为1B组

优质试题—优质试题年高考模拟·综合题组(时间:15分钟分值:25分)一、选择题(每题5分,共15分)答案

C

的展开式的常数项为

a-

b=5,∴2a-b=4,∴

-

=

(2a-b)·

=

≤

×(5-2

)=

.1.(优质试题广西来宾4月月考,11)若  的展开式的常数项182.(优质试题四川保山统测,11)在△ABC中,若3(

·

+

·

)=2|

|2,则tanA+

的最小值为

()A.

B.2

C.

D.

答案

B设△ABC的内角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c,则有3(

·

+

·

)=3(-bccosA+accosB)=2c2,由正弦定理得3(-sinBcosA+sinAcosB)=2sinC=2sin(B+A),展开可得sinAcosB=5cosAsinB,所以tanA=5tanB,则tanA+

=5tanB+

≥2

,当且仅当tanB=

时,等号成立.故选B.评析当方程左右两边关于边或角为齐次式时,可以利用正弦定理统一化为边或化为角来处

理.2.(优质试题四川保山统测,11)在△ABC中,若3( · 193.(优质试题广西桂林第十八中学第三次月考,10)设x,y满足

若z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则

+

的最小值为

()A.

B.

C.

D.4答案

A根据题意作出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界),

可知函数z=ax+by(a>0,b>0)在点A(4,6)处取得最大值,所以4a+6b=12,即2a+3b=6.

+

=

=

+

+

≥

+2

=

,当且仅当a=b时,等号成立.故选A.思路分