工程流体力学第6章理想流体平面势流课件

第六章理想流体平面势流速度势和流函数几种简单的平面势流势流叠加原理简单势流的叠加偶极流流体对圆柱体的无环量绕流工程流体力学1第六章理想流体平面势流第六章理想流体平面势流速度势和流函数工程流体力学1第六章速度均在互相平行平面内，位于同一垂直线上各点的运动情况完全相同的流体流动称为平面流动。若平面流动有势，称平面势流。以机翼为例，沿法线方向速度如图所示。xyvV∞工程流体力学2第六章理想流体平面势流速度均在互相平行平面内，位于同一垂直线上各点的运动情况研究绕流时，由于边界层薄，可近似将边界层看作物体外轮廓，层外就可看作理想流体绕物平面有势流动。紧贴机翼附近有较大的速度梯度，τ较大，层很薄，称为边界层。在其内做强烈有旋流动，但外部却为势流。工程流体力学3第六章理想流体平面势流研究绕流时，由于边界层薄，可近似将边界层看作物体外轮廓§6-1速度势和流函数

引出速度势和流函数概念，将求速度问题转化为求特殊函数的问题，确定速度和压强分布。1.速度势函数若函数偏导数在单连通域中单值连续工程流体力学4第六章理想流体平面势流§6-1速度势和流函数引出速度势和流函数概念，将求速则当：成立，全微分存在的充要条件。这是为某函数工程流体力学5第六章理想流体平面势流则当：成立，全微分存在的充要条件。这是为某函数工程流体力学5且有则若流体无旋，则有：工程流体力学6第六章理想流体平面势流且有则若流体无旋，工程流体力学6第六章理其中：使下式成立：显然，上式成立必存在函数，工程流体力学7第六章理想流体平面势流其中：使下式成立：显然，上式成立必存在函数称之为速度势函数，简称速度势。当以t为参数时，上式仍成立。显然，若将增加一个常数

C，则流动不变。工程流体力学8第六章理想流体平面势流称之为速度势函数，简称速度势。当以t为参数时，上式仍成表示成向量时：工程流体力学9第六章理想流体平面势流表示成向量时：工程流体力学9第六章理想流体平面势流存在只与是否有势有关，而与压缩性无关。对恒定流动，对非恒定流动，显然，与存在对应关系，因此，求出，即可得到工程流体力学10第六章理想流体平面势流存在只与是否有势有关，而与压缩性无关。对恒定流动，对非①速度势函数在任意方向的偏导数等于速

度在该方向的投影，即：

速度势函数的特性：由此得出，柱坐标系的速度分量（见图）：工程流体力学11第六章理想流体平面势流①速度势函数在任意方向的偏导数等于速

度在该方向的投影而对于球坐标系yxdθvθvrrdlθvo工程流体力学12第六章理想流体平面势流而对于球坐标系yxdθvθvrrdlθvo工程流体力学12第式中拉普拉斯算子②对不可压缩流体的有势流动，速度势函数满足拉普拉斯方程，即：工程流体力学13第六章理想流体平面势流式中拉普拉斯算子②对不可压缩流体的有势流动，速度势函由连续方程对有势代入为调和函数工程流体力学14第六章理想流体平面势流由连续方程对有势代入为调和函数工程流体力学14第六章理想③沿任意曲线上的速度环量Γ等于曲线两端点上的速度势之差，而与曲线形状无关。解有势流动的问题，变成了解满足一定边界条件的拉普拉斯方程。

注意：不可以用拉普拉斯方程作为判定速度势存在的判据。工程流体力学15第六章理想流体平面势流③沿任意曲线上的速度环量Γ等于曲线两端点上的速度势之差对封闭曲线，若单值单连通，则工程流体力学16第六章理想流体平面势流对封闭曲线，若单值单连通，则工程流体力学16第六章2.流函数对不可压缩流体平面流动，若连续，则：即(6-15)流线的微分方程：(6-16)工程流体力学17第六章理想流体平面势流2.流函数对不可压缩流体平面流动，若连续，则：即式(6-15)是式(6-16)为全微分的充要条件，即：流线方程变为，，即：

为平面流动中流线方程的解，此函数为流函数。给定就可画出流线。工程流体力学18第六章理想流体平面势流式(6-15)是式(6-16)为全微分的充要条件，流线方程变不可压缩流体的平面真实流动，不论有势否、有粘性否，均有。代表流线，反之则不然。流函数的特性①不可压缩流体平面有势流动，满足拉氏方程。因有势，工程流体力学19第六章理想流体平面势流不可压缩流体的平面真实流动，不论有势否、有粘性否，均有代入，即有：且平面流动：工程流体力学20第六章理想流体平面势流代入，即有：且平面流动：工程流体力学20第六章理想流体平

也是调和函数，也可变为求一定起始边界条件的拉氏方程。满足数学上的柯西-黎曼条件，故为共扼调和函数，知其一就可求另一个。

②平面流动中两条流线间通过的流体流量，等于两条流线的流函数之差。这也正是流函数的物理意义。证明从略。工程流体力学21第六章理想流体平面势流也是调和函数，也可变为求一定起始边界条件的拉氏方程③在不可压缩流体的平面有势流场中，流线簇和等势线簇相互正交。这是和相互正交的条件。正交网称为流网。这是流函数和速度势函数的重要性质。工程流体力学22第六章理想流体平面势流③在不可压缩流体的平面有势流场中，流线簇和等势线簇相互正交。§6-2几种简单的平面势流深度和宽度很大的流体流过平面时的流动称均匀平行流。1、均匀平行流特点：各点速度大小相等，方向相同。设均匀流与轴成角，速度，分速度

、，，。

由，故为有势流动。工程流体力学23第六章理想流体平面势流§6-2几种简单的平面势流深度和宽度很大的流体流过平

由

积分：工程流体力学24第六章理想流体平面势流由积分：工程流体力学24第六章理想流体平面势流同理：因流体流动相同，与、无关，所以：令，得到流线为一组平行线，与夹角，等势线（虚线）与流线

垂直（见图）。

工程流体力学25第六章理想流体平面势流同理：因流体流动相同，与、无关，所以：令工程流体力学26第六章理想流体平面势流工程流体力学26第六章理想流体平面势流讨论：①若或，平行轴，则；②若或，

平行轴，则。2、点源与点汇定义：流体从一点径向均匀地向外流出，流动对称，流线是由该点发出的射线，称点源。工程流体力学27第六章理想流体平面势流讨论：①若或，平行轴，则相反，若流体对称地径向直线流向一点，称点汇。工程流体力学28第六章理想流体平面势流相反，若流体对称地径向直线流向一点，称点汇。工程流体力学28若极坐标下，通过任一圆柱的流量为，则

；对于汇：；。

当；故源为奇点，应排除在流场之外，因为该点流动无意义。①当为点源时：工程流体力学29第六章理想流体平面势流若极坐标下，通过任一圆柱的流量为，则

工程流体力学30第六章理想流体平面势流工程流体力学30第六章理想流体平面势流工程流体力学31第六章理想流体平面势流工程流体力学31第六章理想流体平面势流舍去、，工程流体力学32第六章理想流体平面势流舍去、，工程流体力学32第六章理想流体平面势线为一系列半径不同的同心圆；流线为一系列由原点发出的放射线，二者正交。由于不单值，流经点源，点汇的封闭曲线流量不等于0；同理：点汇时，工程流体力学33第六章理想流体平面势流势线为一系列半径不同的同心圆；流线为一系列由原点发出的放射线3、点涡与环流涡束的半径时，变成一条涡线，垂直于无限长直涡线的各平行平面中的流动称为点涡，又称自由涡。由于，故点涡为奇点。提示：速度为零的点为驻点，速度为无穷大的点为奇点。工程流体力学34第六章理想流体平面势流3、点涡与环流涡束的半径时，变成一条涡若绕包围涡点的封闭线速度环量为，速度

分量为，，

，称为点涡强度，工程流体力学35第六章理想流体平面势流若绕包围涡点的封闭线速度环量为，速度

分量为工程流体力学36第六章理想流体平面势流工程流体力学36第六章理想流体平面势流积分：令，得流线为以为原点得同心圆簇。的等势线为射线，与点源（汇）相反。>0时，环流为逆时针；<0时，环流为顺时针。工程流体力学37第六章理想流体平面势流积分：令，得流线为以为原点得同心§6-3势流叠加原理原理：几个势流叠加，得到一个新的势流。

其中，分别等于原有几个有势流动的

的代数和，而新的势流场中的速度等于原先几个势流场速度的几何和。即：工程流体力学38第六章理想流体平面势流§6-3势流叠加原理原理：几个势流叠加，得到一个新的势流§6-4简单势流的叠加1、点源、点涡叠加流动――源环流设强度为的点源，与强度为的点涡同位于坐标原点。叠加后组合流的速度势和流函数为：工程流体力学39第六章理想流体平面势流§6-4简单势流的叠加1、点源、点涡叠加流动――源环流设强令，有，令，有，工程流体力学40第六章理想流体平面势流令，有式中为常数。

流线与势线为相互正交的对数螺旋线簇（见图），称源环流线或螺旋流。工程流体力学41第六章理想流体平面势流式中为常数。流线与势线为相互正交水泵压水室（涡壳）内的流动为点源和点涡叠加的源环流。2、点汇与点涡的叠加流――汇环流将点源强度改为的点汇，与点涡叠加得到：工程流体力学42第六章理想流体平面势流水泵压水室（涡壳）内的流动为点源和点涡叠加的源环流。2、点汇等势线：流线：工程流体力学43第六章理想流体平面势流等势线：流线：工程流体力学43第六章理想流体平面势流如：水轮机引水室（涡壳）、旋风燃尽室、离心式喷油嘴和离心式除尘器中，流体自外面沿圆周引入，自中心不断流出。为减少损失，应使叶片制成对数螺旋线形状。工程流体力学44第六章理想流体平面势流如：水轮机引水室（涡壳）、旋风燃尽室、离心式喷油嘴和离§6-5偶极流设强度为的源位于，强度为的汇位于，放在同一平面内，两点间距为，流体有源向汇流动。取任意点，距为，夹角为，如图。工程流体力学45第六章理想流体平面势流§6-5偶极流设强度为的源位于工程流体力学46第六章理想流体平面势流工程流体力学46第六章理想流体平面势流对点：其中：工程流体力学47第六章理想流体平面势流对点：其中：工程流体力学47第六章理想流体平面势流当时，得到偶极流。但此时，源与汇强度不变，则不能形成流动，即源一流出即被汇吸收。工程流体力学48第六章理想流体平面势流当时，得到偶极流。但此时，源与汇强度不只有当距离无限缩小，源与汇强度逐渐增大，时，增强至无限大，使的极限趋于一个常数，即，此时才能有偶极流存在。

说明乘积有极限（有限）存在，是偶极流产生的充要条件，称为偶极流的偶极距，是一个向量，方向从源到汇。

工程流体力学49第六章理想流体平面势流只有当距离无限缩小，源与汇强度逐渐增大，下面求速度势：令当为无限小时，工程流体力学50第六章理想流体平面势流下面求速度势：令当为无限小时，工程流体力学50工程流体力学51第六章理想流体平面势流工程流体力学51第六章理想流体平面势流流函数：由于工程流体力学52第六章理想流体平面势流流函数：由于工程流体力学52第六章理想流体平面势流设当为无穷小时，为无穷小，工程流体力学53第六章理想流体平面势流设当为无穷小时，为无穷小，工程流体力学53第六章于是，则：令，即工程流体力学54第六章理想流体平面势流于是，则：令配方：可见，偶极流的流线是半径为，圆心在

轴上的圆周簇。可见：所有的流线均经过偶极流中心，流体从偶极流中心由负向出发沿圆周又流入中心。这时，轴为流线对称轴。如图所示。工程流体力学55第六章理想流体平面势流配方：可见，偶极流的流线是半径为，圆心在

工程流体力学56第六章理想流体平面势流工程流体力学56第六章理想流体平面势流同理：为等势线方程，为中心在，半径为的圆周簇，与流线正交，以轴对称。

下图为点源与点汇叠加的流线和势线，称源汇流，非偶极流图。工程流体力学57第六章理想流体平面势流同理：为等势线方程，为中心在工程流体力学58第六章理想流体平面势流工程流体力学58第六章理想流体平面势流注意：（当，极限有限存在条件不满足时，无偶极流，称源汇流

），这时我们看到的由源到汇的流线是不封闭的，与偶极流不同。工程流体力学59第六章理想流体平面势流注意：（当§6-6流体对圆柱体的无环量绕流对不可压缩理想流体，平面势流的主要问题是绕流问题。而平行流绕圆柱是最基本的，这一流动由平行流与偶极流叠加。1.流函数与势函数设一平行流为无穷远处速度：工程流体力学60第六章理想流体平面势流§6-6流体对圆柱体的无环量绕流对不可压缩理想流体，平中心位于坐标原点的偶极流：工程流体力学61第六章理想流体平面势流中心位于坐标原点的偶极流：工程流体力学61第六章理想流体2.速度场在驻点处应有：。工程流体力学62第六章理想流体平面势流2.速度场在驻点处应有：假定处为驻点，则有，即由①式：故：y不存在。故在的点，不存在，故不是驻点当时，令由①式：工程流体力学63第六章理想流体平面势流假定处为驻点，则有故在x轴上有两个驻点，分别称为前驻点和后驻点。因此得到，在点（，0）和点（,0）存在于是得到流线方程：工程流体力学64第六章理想流体平面势流故在x轴上有两个驻点，分别称为前驻点和后驻点。因此得到，在点令C=0，得到零流线，即：

即：可知，零流线是x轴和圆心在坐标原点，半径为的圆周。

工程流体力学65第六章理想流体平面势流令C=0，得到零流线，即：即：可知，零流线是x轴和圆心在

显然，前驻点和后驻点均在零流线上，在前驻点分成两股，汇合于后驻点。由于流体不能穿过流线，零流线就相当于半径为r0圆柱体边界，从而得到理想流体绕圆柱流动。观点：任何复杂的流动均可分解成若干个简单流动，换言之，任何复杂的流动都可表达为若干个简单流动的叠加。关键是如何将复杂的流动分解成若干个简单流动。这是我们解决复杂问题的一种十分有效的方法。工程流体力学66第六