2021年贵州省遵义市仁怀市合马镇合马中学高三数学理联考试题含解析

2021年贵州省遵义市仁怀市合马镇合马中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，则f（log49）的值为（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】求出x＞0时，函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：因为x＜0时，，所以x＞0时，，即，所以，故选：B．2.高考结束后，同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《非你莫属》，《两只老虎》，《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B3.设是向量，命题“若，则∣∣=∣∣”的逆命题是（）

A．若，则∣∣∣∣

B．若，则∣∣∣∣

C．若∣∣∣∣，则

D．若∣∣=∣∣，则=―参考答案：D4.在平面区域内随机取一点P，则点P在圆内部的概率（

）A. B. C. D.参考答案：B分析：画出不等式组对应的平面区域，其与圆面的公共部分的面积为个圆面，故其面积与平面区域的面积之比为所求概率．详解：不等式对应的平面区域如图所示：其中满足的点为阴影部分对应的点，其面积为，不等组对应的平面区域的面积为1，故所求概率为，故选B．点睛：几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．5.已知三棱锥P-ABC的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为，以顶点P为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于（

）A.3π B. C. D.参考答案：B【分析】画出图，根据弧长公式求解【详解】如图所示，，为等腰直角三角形，且.以顶点为球心，以2为半径作一个球与的，分别交于，，得cos，，所以，所以，同理，，又是以顶点为圆心，以2为半径的圆周长的，所以，所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于.故选B.【点睛】本题主要考查球面距离及相关计算，考查空间想象能力．属于中档题．6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000π B．200π C．π D．π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为10的直三棱柱，且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，且直角边长分别为6和8，高为10的直三棱柱，如图所示；所以该三棱柱外接球的球心为A1B的中点，因为A1B=10，所以外接球的半径为5，体积为π?=π．故选：D．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．7.已知，，记，则(

)A.M的最小值为 B.M的最小值为C.M的最小值为 D.M的最小值为参考答案：B【分析】根据题意，要求的最小值可转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的最小值的平方，利用导数计算即可求解.【详解】由题意，的最小值可转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的最小值的平方.，得，与直线平行的直线斜率为，令，解得，所以切点的坐标为切点到直线的距离即的最小值为.故选：B【点睛】本题考查导数的几何意义为切线的斜率，利用平行关系解决点到直线距离的最小值问题，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于中等题型.8.曲线在点处的切线的斜率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B本题考查三角函数的导数、导数的几何意义，难度中等。则，选择A。9.设复数，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.已知集合和,则=A.

[1,5)

B.

C.

D.

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，是区间内任意两个实数，则事件发生的概率为___________．参考答案：

12.设g（x）=，则g（g（））=．参考答案：

【考点】对数的运算性质．【分析】根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．【解答】解：∵g（x）=，∴g（）=ln=﹣ln2＜0，∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．故答案为：．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．13.如图2，在独立性检验中，根据二维条形图回答，吸烟与患肺病

（填“有”或“没有”）.参考答案：略14.已知，，则________________.参考答案：15.如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点A、B、C、D,则的值是________参考答案：

1

16.已知向量=（1，1），点A（3，0），点B为直线y=2x上的一个动点．若∥，则点B的坐标为

．参考答案：（﹣3，﹣6）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理的坐标运算性质即可得出．【解答】解：设B（x，2x），=（x﹣3，2x）．∵∥，∴x﹣3﹣2x=0，解得x=﹣3，∴B（﹣3，﹣6），故答案为：（﹣3，﹣6）．【点评】本题考查了向量共线定理的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），若以原点为极点、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为若曲线与曲线有且只有一个公共点，则实数的值为参考答案：由曲线的直角坐标方程为直线当直线与抛物线段相切时，由可得公共点为满足题目的条件；而抛物线段的两个端点为当直线过点时可求得当直线过点时可求得,由图可知，当时，直线与抛物线段有唯一的公共点.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线C：=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．参考答案：(Ⅰ)取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(Ⅱ)证明过程见解析分析：（Ⅰ）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（Ⅱ）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由得．依题意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直线PA的方程为y–2=．令x=0，得点M的纵坐标为．同理得点N的纵坐标为．由，得，．所以．所以为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.19.（本小题满分12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人，认为作业不多的有9人，不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人，认为作业不多的有15人，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？参考答案：解：

认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总数262450K2=，

P（K2>5.024）=0.025,有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系。略20.(本题满分12分)已知分别是椭圆：的左右顶点，是椭圆的左焦点，,离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上异于的任意一点，且，为垂足，延长到点使得,连接,并延长交直线于点，为中点，求的值，并判断以为圆心，为半径的圆与直线的位置关系.参考答案：

……4分（2）设点，

……5分

……6分

……7分……8分

……9分

…11分.

…………12分21.已知函数。（为常数，）（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）求证：当时，在上是增函数；（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围。参考答案：解：（1）由已知，得且，

（2）当时，

当时，

又

故在上是增函数

（3）时，由（2）知，在上的最大值为于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立。记则当时，

在区间上递减，此时由于，时不可能使恒成立，故必有若，可知在区间上递减，在此区间上，有，与恒成立相矛盾，故，这时，在上递增，恒有，满足题设要求，

即实数的取值范围为略22.（12分）（2012?道里区校级三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；（Ⅱ）当，且直线AE与平面PBD成角为45°时，确定点E的位置，即求出的值．参考答案：考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析： （Ⅰ）设AC交BD于O，连接OE，由PD⊥平面ABCD，知PD⊥AC，由BD⊥AC，知AC⊥平面PBD，由此能够证明平面ACE⊥平面PBD．（Ⅱ）法一：由平面ACE⊥平面PBD，知AO⊥PBD，由直线AE与平面PBD成角为45°，知∠AEO=45°，由此能够求出．法二：以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出的值．解答： 解：（Ⅰ）设AC交BD于O，连接OE，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，∵BD⊥AC，∴AC⊥平面PBD，又∵A