第6章一阶和二阶电路的时域分析

6-1第六章

一阶和二阶电路的时域分析6-2

目录§6-1动态电路的方程及其初始条件§6-2一阶电路的零输入响应§6-3一阶电路的零状态响应§6-4一阶电路的全响应§6-5二阶电路的零输入响应§6-6二阶电路的零状态响应和全响应§6-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应§6-8

一阶电路和二阶电路的冲激响应6-3§6

–1

动态电路的方程及其初始条件6-4含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。＋－usRLC

一、动态电路（Dynamiccircuit）6-5电路特点：

当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例：电阻电路过渡期为零tu2（V）051KΩ+-10VR1R21KΩ+-u2S(t=0)过渡过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。6-6把上述电路中的电阻R2换成10μF的电容C

电路有C后，电路响应u2在开关S闭合后不能从0马上跳变到10V，而是渐地以0增加到10V。tu2（V）O10V+-u2C

10μF

+-1KΩR2u2+-10VR11KΩS(t=0)有一过渡期初始状态过渡状态新稳态S未动作前，电路处于稳定状态uC=0S接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态uC=Us6-7过渡过程产生的原因内因：电路内部含有储能元件

L、C;外因：换路。

电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化6-8+–uCUsRCi

(t>0)根据KVL可得：求uc

RC

电路二、动态电路的方程6-9

RL

电路IsRLiL求iL根据KCL可得：对偶关系6-10根据KVL可得：整理得：代入上式＋－usRLC＋－uR＋－uC－＋uLi

RLC电路求uc6-11

结论：储能元件L、C的u—i关系是微分关系。存在微分关系的元件称为动态元件含有动态元件的电路称为动态电路当有储能元件时，电路从一个稳态转变到另一个稳态是不能瞬间完成的，而是需要一个过程，即过渡过程。描述动态电路的电路方程为微分方程动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数6-12复频域分析法时域分析法建立微分方程：经典法状态变量法

数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用三、动态电路的分析方法6-131、换路（switching）假设t=0

时发生换路，规定：t

=0-表示换路前的最终时刻表示换路后的最初时刻换路经历的时间：0-到0+t

=0+换路是在瞬间完成的结构或参数的改变使得电路的工作状态发生变化。t=0-

和t=0+

之间的时间间隔趋于零四、换路定理和初始条件6-142、过渡过程＋－UsCR＋－S(t

=0)uCi50tuCUs稳态一稳态二过渡过程t=0

时开关S闭合，发生换路6-153、换路定律（1）电容元件：i为有限值，则：uC(0＋)=uC(0－)

=0电荷守恒＋－UsCR＋－S(t

=0)uCi6-16换路定律一：在有限电容电流条件下，在换路前后的瞬间电容元件上的电压（或电荷）不能跳变，即q(0＋)=q(0－)

uC(0＋)=uC(0－)

or6-17uL为有限值，则：iL(0＋)=iL(0－)＋－uLLS

(t=0)＋－10V64iL(t)=0（2）电感元件：6-18在有限电感电压条件下，换路前后的瞬间电感元件中的电流（或磁通链）不能跳变，即:ψ(0＋)=ψ(0－)iL(0＋)=iL(0－)or换路定律二：6-19L

(0+)=L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路定律（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件注意:

换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。

换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2）换路定律反映了能量不能跃变。6-204电路初始值的确定独立的初始条件uC(0＋)、iL(0＋)uC(0＋)=uC(0－)

iL(0＋)=iL(0－)可根据换路定律求得：初始值——换路后的最初瞬间的值，即t=0+

时刻值。 初始值即为求解电路微分方程的初始条件。其余的称为非独立的初始条件6-215.求初始条件的步骤：1、根据换路前的电路求出uC

(0)、iL

(0

)

2、根据换路定律求出独立初始值uC

(0+)、iL

(0+)

画出t=0-

时的等效电路，直流电路稳定时ic=0，uL=0，即C→开路，L→短路。求uc(0-)、iL(0-)根据换路定律：

uc(0+)=uc(0-) iL(0+)=iL(0-)6-223、画出t=0+时的等效电路图：

C用电压源uC(0+)取代；

L用电流源IL(0+)取代。电路其余结构不变4、求出其他非独立初始条件。6-23例：K在t=0时闭合，开关闭合前电路已处于稳定状态。

求K闭合后各元件电压、电流的初值。解：⑴先求uc(0-)、iL(0-)

画换路前等效电路 ∵电路处于稳态 ∴对于直流电路

C→开路

L→短路t=0-6-24⑵求独立初始值：⑶画出t=0+

时的等效电路

t=0+

时电容相当于一个4V的电压源

电感相当于一个2mA的电流源t=0+6-25⑷求其他电压、电流6-26例：求图示电路中开关闭合后电感电流的初始值iL(0＋)、电感电压的初始值uL(0＋)

以及其它两个支路电流的初始值iK(0＋)和

i(0＋)

。假设换路前电路已工作了很长时间。＋－uLLiKS

(t=0)＋－10V64i(t)iL(t)6-27解：1）求iL(0－

)t=0－iL(0－)=10/(6+4)=1A＋－10V46iL(0－)t=0－时的等效电路i(0－)＋－uLLiKS

(t=0)＋－10V64i(t)iL(t)6-283）求各初始值＋－＋－10V46时的等效电路iL(0＋)iL(0＋)=iL(0－)=1A根据换路定理：t=0＋2）求iL(0+)＋－uLLiKS

(t=0)＋－10V64i(t)iL(t)6-29i(0＋)=—A

106uL(0＋)=－iL(0＋)×4=－4ViL(0＋)=iL(0－)=1AiK(0＋)=i

(0＋)－iL(0＋)=—A23＋－＋－10V46时的等效电路iL(0＋)=1Aik(0＋)uL(0＋)+ux

6-30§6–2

一阶电路的零输入响应

（zero_inputresponse）6-31

只含有一个储能元件或经简化后只含一个储能元件的电路，其微分方程是一阶的，故称为一阶电路。

用时域法分析过渡过程分三步：根据换路后的电路用KVL或KCL列出微分方程，并给出初始条件。求解方程利用初始条件确定解中的积分常数6-32一、零输入响应iL(0－)=I0uC(0－)=U0初始储能换路后激励(独立电源)为零，仅由动态元件初始储能作用于电路产生的响应。零输入响应6-33如图所示电路，开关S闭合前，电容C已充电，其电压uC(0＋)=U0。求开关闭合后各元件上的电压和电流。二、RC

电路的零输入响应uC(0＋)=U0R＋－uCuR＋－S(t=0)iC6-34开关闭合后，t≥0＋duCdtRC——+uC=0uC－uR

=0i=－C——duCdt可得R＋－uCuR＋－iuC(0＋)=U0Ct≥0＋时的等效电路uC－iR

=0t

≥0＋uC(0＋)=U0一阶常系数线性齐次微分方程6-35特征方程：特征根：duCdtRC——+uC=0RCp+1

=0微分方程的通解为

uC=Aept代入得：方程的通解：t

≥0＋R＋－uCuR＋－iuC(0＋)=U0Ct≥0＋时的等效电路6-36uC(0＋)=uC(0－)=U0

代入初始条件可得

A=U0

电容电压:(t

≥0＋)通解：VR＋－uCuR＋－iuC(0＋)=U0Ct≥0＋时的等效电路6-37i=－C——duCdtt≥0＋VR＋－uCuR＋－iuC(0＋)=U0Ct≥0＋时的等效电路6-38定义:——

电路的时间常数，单位：s=RCV(t≥0＋)i

=——e－

t/U0RuR=U0

e－

t/uC=U0

e－

t/A(t≥0＋)V(t≥0＋)RC

电路的时间常数6-39U0uCt0it0U0R——返回uC=U0e－

t/t

≥0＋uC=U0t＜0VVi

=——e－

t/U0Rt＜0t≥0＋i

=0AARC零输入响应的图形R＋－uCuR＋－iuC(0＋)=U0C6-40uCt0U0uC=U0e－

t/V

t≥0＋

=4s

=2s=1s过渡过程的快慢

时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短6-41电压初值一定：R大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长C大（R一定）

W=Cu2/2

储能大物理含义=RC6-422345tuC=U0e－

t/U0e－1=0.368U0U0e－2=U0e－1e－1=0.135U0U0e－3=U0e－1e－2=0.05U0U0e－4=U0e－1e－3=0.0184U0U0e－5=U0e－1e－4=0.0068U0

每经过时间

，电容电压衰减至原值的36.8%

经过3～5，电容电压衰减至初始值的5%～0.68%，可认为过渡过程基本结束。6-43=t1U0uCt0t10.368U0如何从图形上求？uC=U0e－

t/t≥0＋V方法：6-44iR＋－uL＋－S(t=0)LU0R012t＜0时i(0－)=—U0R0t=0时发生换路i(0＋)=i

(0－)=—U0R0根据换路定律如图所示电路，求:开关从1合向2后各元件上的电压和电流。解：三、RL电路的零输入响应6-45iR＋－uL＋－S(t=0)LU0R012t

＞0时L—+iR=0didt方程的解i(0＋)=—U0R0t≥0＋A=－

——e－tR/L

RU0R0t≥0＋VdidtuL=L—uR=uL=－

——e－tR/L

RU0R0t≥0＋V则：6-46

=—LR——

RL

电路的时间常数单位：s定义：uL

=－——e－t/

RU0R0t≥0＋Vi=—e－t/U0R0t≥0＋AuR

=－——e－t/

RU0R0t≥0＋VRL

电路的时间常数＋－uRiR＋－uL＋－S(t=0)LU0R0126-47i—U0R0t0i=—e－t/U0R0t≥0＋i=—U0R0t＜0AARL零输入响应的图形6-484.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC

RL电路

=L/R=GLR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。四、结论iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路6-49RC电路RL电路零输入响应零输入响应对偶关系：uciLCLRG对偶关系6-50时间常数

的计算：=L/Req=L/(R1//

R2)+-R1R2L例1例2ReqC=ReqCR1R2L6-51例：图示电路在换路前已工作了很长时间，求：换路后的零输入响应电流i(t)和u0(t)。

＋－S(t=0)200Vi＋－600.02F802060＋－u040uC6-52τ=ReqCt

＞0时＋－600.02F802060＋－u0uC(t)i(t)Req0.02Fi

(t)uC＋－

思路：先求独立初始条件uC（0+）再求其它初始条件，然后用戴维南等效电路求时间常数:f(t)=f(0＋)e－t/最后套用结论:6-53i(0－)=———=2A20060+40uC(0－)=i(0－)×60=120V解：求初始值：uC(0＋)=uC(0－)=120V

＋－S(t=0)200Vi＋－600.02F802060＋－u040uC6-54t=0＋时的等效电路＋－600.02F802060＋－u0(0＋)uC(0＋)i(0＋)uC(0＋)=uC(0－)=120V

i(0＋)=———uC(0＋)=1.2A160+40u0(0＋)=－

——×60=－36Vi(0＋)26-55t＞0时的等效电路Req=60+40=100

=ReqC=100×0.02×10－6=2×10－6

sReq0.02Fi(t)uC＋－＋－600.02F802060＋－u0uC(t)i(t)6-56因此，电路的零输入响应为：i=i(0＋)e－t/=1.2e－0.5×106tA，t≥0＋u0=u0(0＋)e－t/=－

36e－0.5×106tV，t≥0＋

=2×10－6

si(0＋)=1.2Au0(0＋)=－

36Vf(t)=f(0＋)e－t/＋－S(t=0)200Vi＋－600.02F802060＋－u040uC6-57§6

–2

一阶电路的零状态响应

（zero-stateresponse

）6-58零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用下产生的响应iL(0－)=0uC(0－)=0—L

i2L(0－)=012—C

u2C(0－)=012RC

电路RL

电路一、零状态响应6-59uR+uC=USuR=Ri

i=C——duCdtRC——+uC=US

duCdtRuR＋－US＋－C＋－uCS(t=0)it

＞0+

时，根据KVL图示RC电路，开关闭合前电路处零初始状态，uC(0－)=0求:t≥0+

时的uC和i解:非齐次线性常微分方程二、RC电路在直流激励下的零状态响应6-60RC——+uC=US

duCdt零状态响应RuR＋－US＋－C＋－uCS(t=0)i解方程得：从以上式子可以得出：零状态响应通式：6-61-USuC‘uC“USti0tuc0

（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；（2）电容电压由两部分构成：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）+6-62

（3）响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定：

大，充电慢； 小充电就快。

（4）响应与外加激励成线性关系；（5）能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。6-63例t=0时,开关K闭合，已知

uC（0－）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC＝80V时的充电时间t。解50010F+-100VK+－uCi这是一个RC电路零状态响应问题（2）设经过t1秒，uC＝80V6-64iLK(t=0)US+–uRL+–uLR已知iL(0－)=0，电路方程为：tuLUStiL00三、RL电路在直流激励下的零状态响应=—

LR6-65§6

–

4

一阶电路的全响应

（completeresponse）6-66一、全响应

电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。＋－R＋－UsCS(t=0)

i

uC＋－uRuC(0－)=U06-67

图示电路为已充电的电容接到直流电源Us上，设电容原有压为U0

，求各元件上的全响应。uC(0－)=U0二、直流激励下的全响应＋－R＋－UsCS(t=0)

i

uC＋－uR6-68t=0时开关闭合，电路发生换路返回解：开关S闭合后，根据KVL，有：＋－R＋－UsCS(t=0)

i

uC＋－uR解方程得：6-69电流响应：R上电压响应：＋－R＋－UsCS(t=0)

i

uC＋－uR6-70全响应=稳态分量+暂态分量全响应的两种分解方式稳态分量暂态分量6-71改写成全响应=零状态响应零输入响应+＋－R＋－UsCS(t=0)

i

uC＋－uR6-72解法一：直接解微分方程全响应的求法方法二：用叠加原理解零输入响应零状态响应方法三：三要素法6-73U0——初始值全响应Us——稳态值

——时间常数三要素三、三要素法6-74全响应的表达式：f(0+)——初始值一阶电路在直流激励下f(∞)——稳态值

——时间常数

f(t)=f(∞)+[f(0+)－f(∞)]e－t/

t>06-75分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用0+等效电路求解用t→的稳态电路求解注意：三要素法只适用于一阶电路6-76三要素法的步骤

一、确定初始值f(0+)

初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+时的数值。先作t=0-电路。确定换路前电路的状态uC(0-)或iL(0-)。 这个状态即为t＜0阶段的稳定状态。此时电路中：

电容C视为开路，电感L用短路线代替。6-77作t=0+电路。确定各变量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，此时电路中：

C用电压源U0代替；L用电流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0或iL(0+)=iL(0-)=0，此时电路中：

则C用短路线代替，L视为开路。计算f(0+)

根据t=0+电路，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u(0+)、i(0+)。6-78二、确定稳态值f(∞)

作t=∞电路。瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u(∞)、i(∞)。 在此电路中，电容C视为开路，电感L用短路线代替，按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。6-79求时间常数τ RC电路中，τ=RC；

RL电路中，τ=L/R； 其中，R是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效源中的Req)。6-80例:图示电路已达稳态，

t=0时开关S由a投向b，试求电流iL(t)

和i(t)

，t≥0。

解：（1）作t=0-

时 等效电路如图示iL(0-)3ViL(t)S(t=0)3V3Vi(t)bat=0-366-81网孔法：iL(0+)=-1.2A(1+2)i(0+)-2iL(0+)=3∴i(0+)=0.2AiL(0+)3V-1.2Ai(0+)iL(0+)iL(0+)=-1.2Ai(0+)=0.2AiL(0-)=-1.2A（2）作t=0+

时的等效电路

t=0+iL(t)S(t=0)3V3Vi(t)ba6-823V（3）作t=∞时的等效电路。iL(t)S(t=0)3V3Vi(t)bat=∞6-83（4）求τReq=1+1//2=5/3Ω

iL(t)S(t=0)3V3Vi(t)baReq6-84-1.20.21.21.8i(t)iL(t)ti(A)（5）根据三要素法写出全响应电流6-85§6

–

5

二阶电路的零输入响应6-86

图示RLC串联电路，uC(0－)=U0，i(0－)=0。t=0时，开关闭合，此电路过渡过程就是二阶电路的零输入响应。二阶电路的零输入响应求：开关S闭合后的uC、uL、i。＋－uC＋－uLRCS(t=0)Li6-87t>0时，根据KVLuR+uL－uC=0i

=－C——duC

dtuR=Ri=－RC——duC

dtuL

=L—di

dtLC——+RC

——+uC=0duC

dtd2uC

dt2因为：可得：d2uC

dt2=－LC——＋－uC＋－uLRCS(t=0)Li＋－uR6-88特征方程LCp2+RCp+1

=0设：解uC=AeptLCp2Aept+RCpAept+Aept

=0

特征根LC——+RC

——+uC=0duC

dtd2uC

dt26-89

零输入响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠阻尼6-90特征根为二个不相等负实根6-91U0tuc设|P2|>|P1|6-92tU0uctm2tmuLic非振荡衰减，过阻尼6-93能量转换关系RLC+-RLC+-tU0uctm2tmuLic0<t<tmuc减小，i增加。t>tmuc减小，i

减小.＋－uC＋－uLRCS(t=0)Li6-94特征根为一对共轭复根uc的形式：经常写为：A，为待定常数0δ欧拉公式e

j=cos+jsin6-95ω，ω０，δ间的关系:δωω0由初始条件得：6-96t-2-20U0uc6-97uLuC-

2-uctU002i+衰减振荡欠阻尼6-98特例：R=0时等幅振荡无阻尼tLC+-6-99解出：特征根为二个相等负实根

非振荡放电临界阻尼6-100定常数可推广应用于一般二阶电路总结6-1010tuC非振荡一对不相等的负实根临界一对相等的负实根振荡一对共轭复根R>2L/C——R<2L/C——R=2L/C——uC的波形过阻尼临界阻尼欠阻尼t等幅振荡一对虚根无阻尼R=06-102§6–

6

二阶电路的

零状态响应和全响应6-1031.零状态响应uc(0－)=0,iL(0－)=0微分方程为：RLC+-uCiLEuc解得形式为：6-104如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。全响应是零输入响应和零状态响应的叠加，可以通过求解二阶非齐次方程方法求得全响应。注意：不能用三要素法2.全响应6-105求二阶电路全响应的步骤(a)列写t>0+电路的微分方程(b)求通解(c)求特解(d)全响应=强制分量+自由分量6-106一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程的时间。二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常微分方程所描述的电路。二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。小结6-107二阶电路用三个参数，和0来表示动态响应。特征根响应性质自由分量形式6-108§6–

7

一阶电路的阶跃响应6-109单位阶跃响应电路对于单位阶跃函数输入的零状态响应称为单位阶跃响应也称为单位阶跃特性6-110一种奇异函数，定义为：单位阶跃函数的图形一、单位阶跃函数ε(t)t

0

11、定义：55(t)阶跃函数：6-111延迟的单位阶跃函数若令则有t

0

1t

0

16-112＋－us任意网络ab（1）阶跃函数可以作为开关的数学模型2、作用：＋－us任意网络abS(t=0)126-113t0f(t)（2）起始任意函数f(t)f(t)ε(t)6-114t0f(t)t06-115t

0

ii0t

0

i0i（3）构造方波（矩形脉冲）t

0

-i0it06-116t/s0

u/V21（b）t/s0

u/V21t/s0

u/V-216-117t

0

1t

0

1t

0

-16-118单位阶跃响应：激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。也称阶跃响应二、单位阶跃响应6-119仍然可以用三要素法做三、一阶电路的单位阶跃响应例：iCRisC+-uC解：先求单位阶跃响应,令：uC(0+)=0

uC()=R

=RC

已知：求is(t)为单位冲激时电路响应

uC(t)和

iC(t)iC(0+)=1

iC()=0

6-120tiC0激励在t=t0

时加入，则响应从t=t0开始。iC(t-t0)C+–uCR+-t-t0(t-t0)t0注意－t(t-t0)不要写为例：6-121求图示电路中电流iC(t）。10k10kus+-ic100FuC(0－)=00.510t(s)