第4章向量组的线性相关性

第四章向量组的线性相关性

线性代数§4–1向量组及其线性组合第四章向量组的线性相关性§4–3向量组的秩§4–2向量组的线性相关性§4–5向量空间§4–4线性方程组解的结构§4-1向量组及其线性组合一、向量[定义]

n个有次序的数a1

a2

an所组成的数组称为n维向量这n个数称为该向量的n个分量第i个数ai称为第i个分量。分量全为复数的向量称为复向量。分量全为实数的向量称为实向量，例如例如1、n维向量的概念2、向量的表示

n维向量写成一行，称为行向量(即行矩阵），通常用等表示，如：

n维向量写成一列，称为列向量（即列矩阵），通常用等表示，如：注意１、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３、当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.1、向量组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合，称为向量组。

二、向量组及其线性组合

一个mn矩阵A，对应一个m维列向量组：类似一个mn矩阵A，对应一个n维行向量组：

2、向量组的线性组合给定向量组A

对于任何一组实数k1

k2

km，表达式称为向量组A的一个线性组合.k1

k2

km为该线性组合的系数.则称向量b能由向量组A线性表示

三、向量组的线性表示[定理4-1]

向量b能由向量组A

a1

a2

am线性表示的充分必要条件是矩阵与矩阵的秩相等即R(A)R(B)

定义：如果向量b是向量组A的线性组合：1、向量能由向量组A线性表示

[例4-1]

设证明向量b能由向量组

线性表示并求出表示式。[解]设~~向量b能由向量组

线性表示。由B最简形可得线性方程组解为得表达式2、向量组B能由向量组A线性表示

定义：若向量组中每一个向量都能由向量组

线性表示，则称向量组B能由向量组

A线性表示。

若向量组B组能由向量组A线性表示

含义是存在矩阵K(kij)

使

矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵(注意系数矩阵的位置)

这就是说矩阵方程AX

B有解，由第三章定理6立即可得R(A)R(A

B)

，即：若C=AB，则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量线性表示，B为这一表示的系数矩阵。即

注若C=AB，则矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量线性表示，A为这一表示的系数矩阵。即

注[定理4-2]向量组能由向量组

线性表示的充要条件是R(A)R(A

B)

。[定理4-3]向量组能由向量组

线性表示，则R(B)≤R(A)

。四、向量组的等价

[定义]若向量组A与B能相互线性表示则称这两个向量组等价。

若矩阵A与B行等价则这两个矩阵的行向量组等价

矩阵等价与向量组等价的关系若矩阵A与B列等价则这两个矩阵的列向量组等价

向量组等价的判据[定理4-2]推论：向量组与向量组

等价的充要条件是R(A)R(B)=R(A

B)

。

[例4-2]

设证明向量组与向量组

等价。[解]~设，并对（B,A）实施行初等变换化为最简形：所以两向量组等价。[定理4-1]

向量b能由向量组A

a1

a2

am线性表示的充要条件是矩阵与矩阵的秩相等即R(A)R(B)

[定理3-5]

线性方程组有解的充要条件是

[定理4-2]向量组能由向量组

线性表示的充要条件是R(A)R(A

B)

。[定理3-6]

矩阵方程AX=B有解的充要条件是

[定理4-3]向量组能由向量组

线性表示，则R(B)≤R(A)

。[定理3-7]

设B=AK，则

[例4-3]证明

n维单位坐标向量组E

e1

e2

en能由n维向量组A

a1

a2

am线性表示的充分必要条件是R(A)n

而R(A

E)R(E)n

[证]

根据定理4-2

向量组e1

e2

en能由向量组A线性表示的充分必要条件是R(A)R(A

E)

。

又矩阵(A

E)含n行知R(A

E)nR(A

E)nR(A)=(A

E)n§4-2向量组的线性相关性一、向量组线性相关性的概念[定义]给定向量组

如果存在不全为零的数

k1

k2

km

使注意：（1）若向量组A是线性无关

只有

k1=

k2=

=

km=0时才有（2）对于任意向量组不是线性相关就是纯线性无关。则称向量组A是线性相关的否则称它线性无关。（4）含零向量的向量组必线性相关。（6）向量组(m2)线性相关即在向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示。（5）两个非零向量

线性相关

(即对应分量成比例)。（3）向量组只有一个向量

时，线性相关

。二、向量组线性相关性的判定[定理4-4]向量组

线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵

的秩小于向量个数m

向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m。

向量组(m2)线性相关的充要条件是向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示。向量组线性相关的判据：

这是因为向量组A

a1

a2

am线性相关

R(A)m

x1a1x2a2

xmam0即Ax0有非零解。n维单位坐标向量组构成的矩阵为[例4-4]试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性

[解]

是n阶单位矩阵。易知R(E)n

即R(E)=n（向量组中向量个数）。所以此向量组是线性无关的。[例4-5]已知试讨论向量组及向量组的线性相关性

[解]~线性相关

线性无关

[例4-6]已知向量组线性无关，且

试证明向量组线性无关。

[证法一]显然记作BAK因为K可逆，由矩阵秩的性质知又因为A的列向量组线性无关，故由定理4-4知，B的3个列向量组线性无关。[证法二]

设有x1

x2

x3使由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解

x1x2x30

即因为线性无关故有所以向量组

线性无关[定理4-5]

(1)若向量组

线性相关则向量组B：

也线性相关。反之若向量组B线性无关则向量组A也线性无关。这个结论可一般地叙述为一个向量组若有线性相关的部分组则该向量组线性相关(小相则大相)

一个向量组若线性无关则它的任何部分组都线性无关(大无则小无)

特别地含零向量的向量组必线性相关[定理4-5]

(2)m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关。特别地

n1个n维向量一定线性相关。

(1)若向量组

线性相关则向量组B：

也线性相关。反之若向量组B线性无关则向量组A也线性无关。

若nm

则R(A)m

故m个向量a1

a2

am线性相关这是因为

m个n维向量构成矩阵有R(A)n

[定理4-5]

(2)m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关。特别地

n1个n维向量一定线性相关。

(1)若向量组

线性相关则向量组B：

也线性相关。反之若向量组B线性无关则向量组A也线性无关。

(3)设向量组线性无关而向量组B：

线性相关则向量

必能由向量组A线性表示且表示式是唯一的。

这是因为若记即向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一有唯一解。因此方程组

R(B)R(A)mmR(A)R(B)m1则有[例4-7]

设向量组a1

a2a3线性相关向量组a2a3a4线性无关证明

(1)a1能由a2a3线性表示

(2)

a4不能由a1

a2a3线性表示

[证明]

(1)因为a2a3a4线性无关

所以a2a3也线性无关

又a1

a2a3线性相关所以a1能由a2a3线性表示

(2)用反证法：假设能由线性表示而由(1)知

能由

线性表示因此能由

线性表示这与

线性无关矛盾[定理4-1]

向量b能由向量组A

a1

a2

am线性表示的充要条件是矩阵与矩阵的秩相等即R(A)R(B)

[定理4-2]向量组能由向量组

线性表示的充要条件是R(A)R(A

B)

。[定理4-2]推论：向量组与向量组

等价的充要条件是R(A)R(B)=R(A

B)

。[定理4-4]向量组

线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵

的秩小于向量个数m

向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m。

[定理4-5]

(2)m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关。特别地

n1个n维向量一定线性相关。

(1)若向量组

线性相关则向量组B：

也线性相关。反之若向量组B线性无关则向量组A也线性无关。

(3)设向量组线性无关而向量组B：

线性相关则向量

必能由向量组A线性表示且表示式是唯一的。

§4-3向量组的秩上两节在讨论向量组的线性组合和线性相关性时

矩阵的秩起了十分重要的作用。为使讨论进一步深入下面把秩的概念引进向量组。一、最大无关组和向量组的秩[定义]设有向量组A

如果在A中能选出r个向量,满足

(2)向量组A中任意r1个向量都线性相关

(1)向量组线性无关则向量组A0称为向量组A的一个最大无关组最大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩记作RA只含零向量的向量组没有最大无关组规定它的秩为0

向量组的最大无关组一般不是唯一的.如[例4-5]

~线性相关而

、

和

都是线性无关组。所以

、和都是向量组

的最大无关组。二、矩阵的秩与向量组的秩关系[定理4-6]

矩阵的秩等于它的列向量组的秩也等于它的行向量组的秩。证明：

则由r阶子式Dr0知Dr所在的r列线性无关又由A中所有r1阶子式均为零知A中任意r1个列向量都线性相关。因此Dr所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组所以A的列向量组的秩等于r。

类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A)。

设矩阵

R(A)r结论若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式则Dr所在的r列即是A的列向量组的一个最大无关组

Dr所在的r行即是A的行向量组的一个最大无关组。将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换化为行阶梯形。求向量组的秩以及最大无关组的方法向量组与其最大无关组等价。

[例4-8]

设求向量组的一个最大无关组[解]~设对A施行初等行变换变为行最简形矩阵：三个非零行的首个非零元所对应的列向量a1

a2

a4为列向量组的一个最大无关组。即A向量组的一个最大无关组为：

我们知道n维单位坐标向量构成的向量组

[例4-9]

全体n维向量构成的向量组记作Rn

求Rn的一个最大无关组及Rn的秩

因此向量组E是Rn的一个最大无关组且Rn的秩等于n。

显然

Rn的最大无关组很多任何n个线性无关的n维向量都是Rn的最大无关组。

[解]是线性无关的三、最大无关组的等价定义

(1)向量组A0线性无关

(2)向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示

那么向量组A0便是向量组A的一个最大无关组

[推论]设向量组

是向量组A的一个部分组且满足只要证向量组A中任意r1个向量线性相关[证]

设是A中任意r1个向量由条件(2)知这r1个向量能由向量组A0线性表示由定理4-3知，有因此向量组A0是向量组A的一个最大无关组。从而r1个向量

线性相关。

[例4-10]

设齐次线性方程组的全体解向量构成的向量组为S

求S的秩

[解]先求线性方程组的通解

得~线性方程组的通解为

把上式记作

则因为

的四个分量显然不成比例故

线性无关又因为S能由向量组

线性表示。所以是S的最大无关组从而RS2。四、用向量组的秩陈述的几个定理[定理4-1’]

向量b能由向量组

线性表示的充分必要条件是：[定理4-2’]

向量组

能由向量组

线性表示的充分必要条件是[定理4-3’]

向量组

能由向量组

线性表示则：[定理4-4’]

向量组

线性相关的充分必要条件是

[例4-11]

设矩阵求矩阵A的列向量组的一个最大无关组并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示[解]~对A施行初等行变换变为行最简形矩阵

AF三个非零行的首非零元所对应的列向量a1

a2

a4为列向量组的一个最大无关组。即A列向量的一个最大无关组为：因此不妨设A的最简形矩阵则向量

之间与向量

之间有相同的线性关系。而§4-4线性方程组解的结构

(1)n个未知数的齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩R(A)n

(2)n个未知数的非齐次线性方程组有解的充要条件是

且

当n时方程组有唯一解；当

n时方程组有无限多解。１、解向量的概念设有齐次线性方程组或写成（1）一、齐次线性方程组解的性质（2）若为方程的解，则

称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２、齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则也是的解.（2）若为的解，为实数，则也是的解.

由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．（1）方程

的任一解都可由S0线性表示

设S是方程

的解的集合

是S的一个最大无关组则有:

（2）S0的任何线性组合因此

是方程

的通解。

都是方程的解。二、基础解系及其求法１、基础解系的定义齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。（1）是

一组线性表无关解

（2）的任一解都可用线性表示。是齐次线性方程组的基础解系，则２、线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为A，并不妨设A的前r个列向量线性无关。于是

A可化为行最简形：（3）现对取下列n-r组数：代入（3）式，依次可得合起来便得到基础解系：从而得到方程组（1）的通解：齐次线性方程组的基础解系不是唯一的。说明（2）

R(A)RSn。[定理4-7]设mn矩阵A的秩R(A)r

则n元齐次线性方程组

的解集S的秩RSnr。（1）当R(A)rn时方程组

的任何nr个线性无关的解都可构成它的基础解系。

[例4-12]

求齐次线性方程组的基础解系与通解

[解]对系数矩阵A作初等行变换，变为行最简形：~令基础解系为：方程组的通解为：

[例4-13]

设AmnBnl0，

证明R(A)R(B)n

。所以

R(A)R(B)n。又因为RSnR(A)[证]即表明矩阵B的l个列向量都是齐次方程

的解。记

则

设方程

的解集为S

由biS

知有

即R(B)RS。

三、非齐次线性方程组的解１．非齐次线性方程组解的性质2、非齐次线性方程组解的结构其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.３、与方程组有解等价的命题线性方程组有解４、线性方程组的解法（1）应用克拉默法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．

[例4-16]

求解方程组[解]

对增广矩阵B作行初等变换化为行最简形：可见R（A）=R（B）=2

方程组有解。并有~，则方程组的特解：而对应的齐次线性方程组的基础解系：原方程组的通解为：§4-5向量空间一、向量空间的概念说明（2）n维向量的集合是一个向量空间,记作Rn。[定义]设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间.（1）集合V对于加法及乘数两种运算封闭指若则若则向量空间举例[例]

判别下列集合是否为向量空间：(3)齐次线性方程组的解集(4)非齐次线性方程组的解集不是向量空间。是向量空间不是向量空间是向量空间一般地，由向量组所生成的向量空间为(5)设为两个已知的n维向量，集合是一个向量空间。二、向量空间的基与维数[定义]

设V是向量空间，如果r个向量，且满足(1)线性无关(2)V中任一向量都可由线性表示。则向量组就称为向量空间V的一个基