九年级数学上沪教版平面向量的线性运算

九年级数学上沪教版平面向量的线性运算平面向量的线性运算本节内容是九年级数学上学期第一章第四节，需要建立在八年级下学期第三章第四节“平面向量及其加减运算”中学习的基础上。本节主要讲解实数与向量相乘以及向量的线性运算，重点是平面向量的相关概念及线性运算，难点在于在几何图形中对目标向量进行线性表示。知识结构：1.平面向量的相关概念：(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量。(2)向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）。(3)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。(4)相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。(5)互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量。(6)平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。2.平面向量的加减法则：(1)几个向量相加的多边形法则。(2)向量减法的三角形法则。(3)向量加法的平行四边形法则。3.实数与向量相乘的运算：设k是一个实数，a是向量，那么k与a相乘所得的积是一个向量，记作ka。(1)如果k≠0，且a≠0，那么ka的长度|ka|=|k||a|。ka的方向：当k>0时ka与a同方向；当k<0时ka与a反方向。(2)如果k=0或a=0，那么ka=0。4.实数与向量相乘的运算律：设m、n为实数，则(1)mna=(mn)a；(2)(m+n)a=ma+na；(3)ma+b=ma+mb。5.平行向量定理：如果向量b与非零向量a平行，那么存在唯一的实数m，使b=ma。6.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。设e为单位向量，则|e|=1。单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同。对于任意非零向量a，与它同方向的单位向量记作a/|a|。例题解析：例1：下列命题中的假命题是（）(A)向量AB与BA的长度相等(B)两个相等向量若起点相同，则终点必相同(C)只有零向量的长度等于0(D)平行的单位向量都相等答案是D。平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量。例2：填空：AB+BC=AC；AB+BC+CA=0。小改写：本节内容是九年级数学上学期第一章第四节，需要建立在八年级下学期第三章第四节“平面向量及其加减运算”中学习的基础上。本节主要讲解实数与向量相乘以及向量的线性运算，重点是平面向量的相关概念及线性运算，难点在于在几何图形中对目标向量进行线性表示。知识结构：1.平面向量的相关概念：(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量。(2)向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）。(3)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。(4)相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。(5)互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量。(6)平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。2.平面向量的加减法则：(1)几个向量相加的多边形法则。(2)向量减法的三角形法则。(3)向量加法的平行四边形法则。3.实数与向量相乘的运算：设$k$是一个实数，$\vec{a}$是向量，那么$k$与$\vec{a}$相乘所得的积是一个向量，记作$k\vec{a}$。(1)如果$k\neq0$，且$\vec{a}\neq0$，那么$k\vec{a}$的长度$|k\vec{a}|=|k||\vec{a}|$。$k\vec{a}$的方向：当$k>0$时$k\vec{a}$与$\vec{a}$同方向；当$k<0$时$k\vec{a}$与$\vec{a}$反方向。(2)如果$k=0$或$\vec{a}=\vec{0}$，那么$k\vec{a}=\vec{0}$。4.实数与向量相乘的运算律：设$m$、$n$为实数，则(1)$mn\vec{a}=(mn)\vec{a}$；(2)$(m+n)\vec{a}=m\vec{a}+n\vec{a}$；(3)$m\vec{a}+b=m\vec{a}+m\vec{b}$。5.平行向量定理：如果向量$\vec{b}$与非零向量$\vec{a}$平行，那么存在唯一的实数$m$，使$\vec{b}=m\vec{a}$。6.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。设$\vec{e}$为单位向量，则$|\vec{e}|=1$。单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同。对于任意非零向量$\vec{a}$，与它同方向的单位向量记作$\vec{a}/|\vec{a}|$。例题解析：例1：下列命题中的假命题是（）(A)向量$\vec{AB}$与$\vec{BA}$的长度相等(B)两个相等向量若起点相同，则终点必相同(C)只有零向量的长度等于0(D)平行的单位向量都相等答案是D。平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量。例2：填空：$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$；$\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{0}$。（2）7ab4ab3a6a11b；（3）abab0，即为零向量．（1）利用数乘的运算法则，即将3与5a分别相乘，得到15a．（2）利用向量的加减法则，将同类项相加减，得到6a11b．（3）利用向量的加减法则，将同类项相加减，得到0，即为零向量．【总结】此题主要考查向量的数乘和加减运算法则．(2)7a+b-4a-b+3a=6a+11b(3)(1+1+1+1+1)5(a+b-a-b)=5(a+b-a+b)=5(a-b)【总结】此题考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则。【例7】用单位向量e表示下列向量：(1)a与e方向相同，且长度为9；(2)b与e方向相反，且长度为5；(3)c与e方向相反，且长度为3/5。【难度】★【答案】a=9e；b=-5e；c=-3/5e。【解析】此题主要考查用单位向量e来表示已知向量，a=9e；b=-5e；c=-3/5e。【例8】已知非零向量a，求作(1)2a+a；(2)a-2a。【难度】★★【答案】(1)3a；(2)-a。【解析】2a+a=a+a+a=3a；a-2a=a+(-2a)=(-1)a=-a。【例9】如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE//BC，AD=4，BD=7，试用向量BC表示向量DE。【难度】★★【答案】DE=(4/11)BC。【解析】因为DE//BC，所以DE与BC平行，且DE:BC=AD:AB=4/11，所以DE=(4/11)BC。【总结】此题主要是将向量与三角形一边平行线的性质结合起来，在用已知向量表示未知向量时一定要注意方向是否相同。【例10】下列说法中，正确的是：A.一个向量与零相乘，乘积为零；B.向量不能与无理数相乘；C.非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短；D.非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反。【难度】★★【答案】D。【解析】A选项向量与零相乘，结果是零向量；B选项向量可以与任何实数相乘；C选项非零向量乘以一个负数，方向与原向量相反，长度不确定。【总结】此题主要考查实数与向量相乘的法则。【例11】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，且AF=a，AE=b，用a、b表示DB，其结果是DB=2b-2a。【解析】因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF=1/2AB=1/2DC，且EF//BC，所以EF与BC平行，所以DB=DC-DB=2EF=2(1/2AB-AD)=2(1/2AF-2AE)=2b-2a。【总结】此题主要考查向量相乘的加减法运算法则。【例12】如果OA=5，OB=3，那么AB的取值范围是。【难度】★★【答案】2≤AB≤8。【解析】由三角形两边之和大于第三边的性质可知，AB+OA>OB，即AB>2；AB+OB>OA，即AB>2；OA+OB>AB，即AB<8。综上可得，2≤AB≤8。AC，设交点为G，则由三角形重心的性质可知，AG:GD=2:1，即AG=2GD，又因为AG+GD=AD=a，所以GD=AG/3=a/3，故作向量a的长度为3GD=a/3，方向与向量a相反，所以作a的向量为a/3．【总结】此题主要考查三角形重心的性质，需要利用重心的定义和性质来解决问题。AC中点为M，则根据中点定理，AD=DM=MC=CB，因此三角形ABC的重心G在AM上，且AG=2GM，根据重心的性质，DG=-(2/3)AG=-(2/3)×2/3AC=-2/9AC，所以所求向量为-2/9AC。【总结】本题利用了重心的性质定理来求解向量。已知梯形ABCD中，AD//BC，且AD=2AB=2CD，∠B=60°。（1）若AD=kBC，求实数k的值；（2）若xAB+BC+yDC=0，求实数x、y的值。【难度】★★★【答案】（1）k=2/3；（2）x=3，y=-3.【解析】（1）如图，过点A、D分别作梯形的高AE、DF，设AB=CD=a，则AD=EF=2a，∵∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=a/2，同理CF=a/2，可得BC=3a，∵AD//BC，∴AD=2/3BC，即k=2/3。（2）延长BA、CD相交于点G，易得BCG、ADG是等边三角形，所以GB=GC=3a，根据三角形法则，GB+BC+CG=0，又∵GB=3AB,CG=-3DC，∴3AB+BC-3DC=0，即x=3，y=-3。【总结】本题主要运用了梯形的性质和三角形法则，需要注意计算过程中的细节。已知向量a、b不平行，c是未知向量，且a-1/2b+3c=0，表示向量a、-4b、c的有向线段能构成三角形吗？【难度】★★★【答案】能构成三角形。【解析】因为a-1/2b+3c=0，两边同时除以3，得a-1/2b+c=0，因为a、b不平行，所以a、-4b、c不共线，即a、-4b、c能构成三角形。【总结】本题主要考查了向量共线和共面的知识，需要注意向量之间的关系。在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b。求证：四边形ABCD为梯形。【难度】★★★【答案】略【解析】因为AD=AB+BC+CD=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b，BC=-4a-b，∴AD=2(-4a-b)=2BC，∴AD//BC，所以四边形ABCD是梯形。【总结】本题主要考查了梯形的性质和向量的平行关系，需要注意向量的计算和推导过程。一般来说，如果给定两个不平行的向量a和b以及平面内的一个向量c，可以用a和b表示c，并且通常将其表达式整理成c=xa+yb的形式，其中x和y是实数。如果a和b是两个不平行的向量，那么向量c可以表示为c=ma+nb（m和n是实数），即向量c是向量ma和向量nb的合成。也可以说向量c分解为ma和nb两个向量，其中ma和nb是向量c分别在a和b方向上的分向量，ma+nb是向量c关于a和b的分解式。平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解。例21：已知非零向量a和b，以点O为起点，求向量-2a+(3/2)b。解法：以O为起点，作OA=-2a，以A为起点，作AB=(3/2)b，联结OB，则OB=-2a+(3/2)b，为所求作图形。例22：计算：（1）2(1/a+1/2b)-5(1/3a+2b)；（2）(12/34)a-(3/6)a+(51/6)b-(2/6)b。解法：（1）2(1/a+1/2b)-5(1/3a+2b)=3a+b-10a-(1/4)b=-28/3a-4b/1；（2）(12/34)a-(3/6)a+(51/6)b-(2/6)b=(3/1)a-(2/1)b-(6/1)a+(2/1)b=-1/2a-7/6b。例23：已知向量a、b不平行，x、y是实数，且xa+yb=3ya-(1+x)b，求x、y的值。解法：由xa+yb=3ya-(1+x)b，得到x=-3y/(1+y)和y=-1/(4+x)。例24：已知向量OA、OB和向量a、b，求向量a分别在OA、OB方向上的分向量。解法：设向量a在OA方向上的分向量为ma，在OB方向上的分向量为nb，则ma+nb=a，且ma和nb分别平行于OA和OB。根据向量的分解公式，ma=(a·OA/|OA|^2)OA，nb=(a·OB/|OB|^2)OB。【解析】（1）连接AC，根据三角形中位线定理，有BD=DC=BC/2，因此DB=CB-CD=CB-BC/2=BC/2。又因为DE平行于BC，所以DE=2BC。根据向量加减法则，有DE=-BA+2BC。（2）连接BE，根据三角形中位线定理，有AD=DC=BC/2，因此DB=AB-AD=AB-BC/2。又因为BE=2BC，所以BC=BE/2，代入得到DB=AB-BE/2=CB。根据向量加减法则，有DB=CB-CA。【总结】本题主要考查三角形中位线定理和向量加减法则的应用。注意画图，理清几何关系。(2b-a)；AD=a-b【答案】（1）AD=a-b；BE=kb-ka；CF=2kb-ka-b（2）直线AD、BE、CF不平行。【解析】（1）根据题意，可以利用向量的加减法和数乘法，将向量AD、BE、CF分别表示为关于向量a和b的线性组合。（2）要判断直线是否平行，可以考虑它们的方向向量是否成比例。通过计算可以得到，BE和CF的方向向量分别为b-a和2b-a，而AD的方向向量为a-b，三个向量不成比例，因此直线AD、BE、CF不平行。【例32】已知射线OM上的点A、B、C，射线ON上的点D、E、F，且满足$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OD}+\vec{OE}+\vec{OF}$。设$\vec{OA}=\vec{a}$，$\vec{OD}=\vec{b}$，求$\vec{AE}$关于$\vec{a}$和$\vec{b}$的分解式。【难度】★★【答案】$\vec{AE}=\frac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD})=\frac{1}{3}(-2\vec{a}+\vec{b})=-\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$【解析】根据题意，可以利用向量的加减法和数乘法，将$\vec{AE}$表示为$\vec{AB}$、$\vec{BC}$、$\vec{CD}$的平均值。因为$\vec{AB}=-2\vec{a}$，$\vec{BC}=\vec{a}-\vec{b}$，$\vec{CD}=2\vec{b}-\vec{a}$，所以$\vec{AE}=\frac{1}{3}(-2\vec{a}+\vec{a}-\vec{b}+2\vec{b}-\vec{a})=-\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$。因此，$\vec{AE}$的关于$\vec{a}$和$\vec{b}$的分解式为$-\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$。（1）根据题意，将每个公式单独成行，同时删除明显有问题的段落。AD=-a+b；直线AD、BE、CF两两平行。∴OB/OA=k1，OE/OD=k1，OC/OA=k2，OF/OD=k2．BE=BO+OE=-k1OA+k1OD=k1(b-a)．同理CF=k2(b-a)；（2）∵BE=k1AD，CF=k2AD，∴直线AD、BE、CF两两平行。（总结）本题考查向量证明直线平行位置关系。（2）将每个公式单独成行，并重新排版。【习题1】以非零向量a为参照，分别说出向量3a、-a、-5-a的方向和长度。3a与a方向相同，长度是a的3倍；-a与a方向相反，长度是a的；-5(-a)=5a方向与a相同，长度是a的5倍。（总结）本题主要考查共线向量的方向和大小问题。（3）删除明显有问题的段落，并重新排版。【习题3】已知不平行的两个向量a、b，求作向量-2a+b。作法：以O为起点，作OA=b，以O为起点，作OB=2a，则OA-OB=BA=b-2a。所以BA为所求作图形。（总结）本题主要考查如何根据已知向量求作未知向量。（4）进行排版，使每个选项单独成行。1.若a、b都是单位向量，则a=b；○2.若m=0或a=，则ma=；○3.设m、n为实数，则(m+n)a=ma+na；○4.任意非零向量a，与a同方向的单位向量是a，则a=a。○（总结）本题主要是考查与向量有关的概念，解题时要注意认真辨析。已知四边形ABCD中，AB=DC且AB=AD，则四边形ABCD是菱形。由于AB=DC，所以ABCD是平行四边形。又因为AB=AD，所以四边形ABCD的对角线相等，即为菱形。化简向量mna+b-c-nma+b-c+(n-m)b-c得到mna+mb-mc-mna-nb+nc+(n-m)b+(m-n)c，合并同类项得到a+b。同理，化简2mna+mb-nc-m2na+2b+2