《其它不等式的解法》

§6.4不等式的解法

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考6.4不等式的解法双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理f(x)·g(x)>0f(x)·g(x)<02．高次不等式的解法一元高次不等式常用数轴标根法(或称“区间法”、“穿根法”)方法为：将高次不等式右边化为0，左边最高次数项的系数化为正数，然后对左边进行因式分解及同解变形，设xn<xn－1<…<x2<x1，则解集情况如表：思考感悟对于高次不等式的重因式如何处理？提示：有些高次不等式因式分解后，可能会出现重因式，由于奇次重因式的符号与一次因式的符号一致，因此奇次重因式可以直接改写为一次因式；如果是偶次重因式，则分偶次重因式等于0和大于0两种情形讨论．课前热身答案：C答案：A答案：A答案：[0，＋∞)考点探究·挑战高考考点突破考点一分式或高次不等式通过因式分解，将它化成一次或二次因式的乘积，然后用数轴标根法(即穿根法)解之，但要注意对有恒定符号的式子，如x2，x2＋x＋1等情况的处理．用穿根法来解分式不等式、高次不等式比较方便，但在穿根时要注意把不等式整理成标准形式，即把各因式中未知数x的系数化为1，参考教材例2.例1如图所示：可得原不等式的解集为【名师点评】

易把根的方向穿错：应该是“右上方”开始穿．另外，易分不清虚实点，或者漏掉“＝”情况．考点二含参数的不等式含参数不等式的求解，要视参数为常数，按照通常解不等式的过程进行求解，直到会出现几种可能时，再分类讨论．解含参数不等式时应尽可能向同类型不含参数不等式转化，参考本章复习参考题B组第4题．例2【思路分析】

原式→(ax－2)(x＋1)>0→讨论a.【思维总结】本题对参数a的讨论分为两层：一层为：讨论二次函数的正负，二层讨论根的大小．互动探究

对本例的不等式，若x＝－a时不等式成立．求a的取值范围．不等式在满足参数的条件下恒成立，求x的范围，往往转化为函数求最值问题．考点三解不等式的综合应用

设不等式mx2－2x＋1－m≤0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．【思路分析】本题实质上可视为关于m的一次不等式，并且已知它的解集为m∈[－2,2]，求参数x的范围，可用函数思想及数形结合法解决．例3【解】法一：原不等式可化为(x2－1)m≤2x－1.(1)当x2－1＝0，即x＝±1时，易知若x＝1，则2x－1＝1>0，不等式成立．若x＝－1，则2x－1＝－3<0，不等式不成立，∴x＝1符合题意，x＝－1不符合题意．【思维总结】法一：运用了“分离变量法”；法二：可称之为“变更主元”，构造函数，再数形结合，解法较合理．方法技巧1．分式不等式的求解步骤一般是移项——通分——化乘积，转化为整式不等式求解．另外，对于分式不等式或高次不等式，还可以根据分式或因式的符号规律，转化为不等式组进行求解，如例1.2．解含有参数的不等式，当参数影响不等式的同解变形或解集时，对参数进行讨论，如例2.方法感悟3．不等式的“恒成立”、“能成立”、“恰成立”问题．如例3.(1)不等式中恒成立问题①若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上[f(x)]min>A.②若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上[f(x)]max<B.(2)不等式中能成立问题①若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上[f(x)]max>A.②若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于在区间D上[f(x)]min<B.(3)不等式中恰成立问题①若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D.②若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的解集为D.失误防范1．解不等式的过程实质上是用同解不等式逐步代换，化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则．2．对参数的讨论要全面、不重复、不遗漏，如例2.3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数，如例3.考向瞭望·把脉高考考情分析不等式的解法是高考命题的热点，主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法及各类不等式在变形中的特殊性．常见题型有选择题、填空题，也有单独考查解不等式的解答题，或在综合题中考查解不等式的技巧．这部分内容充分体现高中数学所要求的“等价转换”与“分类讨论”的数学思想方法．在2010年的高考中，各省市高考试卷都有解不等式的影子，有的单独出题，如大纲全国卷理第13题是简单的无理不等式解法．文科第13题、Ⅱ卷理科第5题，文科第2题是分式不等式解法．有的是解题过程穿插解不等式．如大纲全国卷Ⅰ文第21题．2012年的高考中，不等式的解法是必考内容，一元二次不等式、分式不等式是考查的重点，对于以不等式为载体求参数取值范围的试题应予以关注，注意与其它知识的结合．规范解答例【名师点评】

本题考查了函数的性质、极值、最值、单调性、不等式恒成立等，属中档偏上．外观上是函数问题，但解决问题的过程是解不等式问题，在(1)中确定单调区间时，要解f′(