河南省洛阳市第二外国语学校高三高考数学闯关密练特训《几何证明选讲新》试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.如图，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的边长是6cm，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝3cm，则BC的长为（）A．12cm B．21cmC．18cm D．15cm[答案］B[解析］∵四边形DEFG是正方形，∴∠GDB＝∠FEC＝90°,GD＝DE＝EF＝6cm，又∵∠B＋∠C＝90°，∠B＋∠BGD＝90°，∴∠C＝∠BGD,∴△BGD△FCE,∴eq\f（BD,EF）＝eq\f(GD，EC）,即BD＝eq\f（EF·GD，EC)＝12cm，∴BC＝BD＋DE＋EC＝21cm.2．（文）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC且eq\f(AD，DB)＝2,那么△ADE与四边形DBCE的面积比是（)A.eq\f（2,3)B.eq\f（2,5）C。eq\f（4，5)D.eq\f（4，9）［答案]C[解析］∵DE∥BC，∴△ADE△ABC，∴eq\f(S△ADE,S△ABC）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（AD，AB））)2，∵eq\f（AD，DB）＝2，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f（2，3),∴S△ADE＝eq\f（4，9)S△ABC，∴S四边形DEBC＝eq\f(5,9)S△ABC，∴eq\f（S△ADE，S四边形DBCE）＝eq\f（4,5），故选C.(理)如图所示，在▱ABCD中,BC＝24，E、F为BD的三等分点，则BM－DN＝(）A．6B．3C．2D．4［答案］A［解析]∵E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形，∴M为BC的中点，连CF交AD于P，则P为AD的中点，由△BCF△DPF及M为BC中点知，N为DP的中点，∴BM－DN＝12－6＝6，故选A。3．(2012·天津十二校联考)如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD＝2，BD＝4，则EA＝（)A．4 B。eq\f（5，2）C．3 D。eq\f(1,2)［答案]B[解析］根据题意可得BC2＝CD2＋BD2＝22＋42＝20，即BC＝2eq\r(5）。由射影定理得BC2＝AB·BD，即20＝4AB，解得AB＝5,所以AC＝eq\r(52－20）＝eq\r(5），设EA＝x，EC＝y，根据切割线定理可得x2＝y（y＋2eq\r(5)），即x2＝y2＋2eq\r（5)y,在Rt△ACE中，x2＝y2＋（eq\r(5))2，故2eq\r（5)y＝5，解得y＝eq\f(\r（5），2)，故x2＝eq\f（5,4)＋5＝eq\f(25，4)，得x＝eq\f(5，2）,即EA＝eq\f（5，2)。4。如图所示,矩形ABCD中,AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为（）A．13 B。eq\f(63，5)C.eq\f(65,6） D。eq\f(63，6)［答案］C［解析］过点A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．∴AH＝FG。∵折叠后B点与E点重合,折痕为FG，∴B与E关于FG对称．∴BE⊥FG，∴BE⊥AH。∴∠ABE＝∠DAH，∴Rt△ABERt△DAH。∴eq\f(BE，AB）＝eq\f(AH，AD）.∵AB＝12，AD＝10，AE＝eq\f(1,2）AD＝5，∴BE＝eq\r（122＋52）＝13,∴FG＝AH＝eq\f(BE·AD，AB）＝eq\f(65,6).5．(文)如图，⊙O与⊙O′相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延长线于N,MN＝3,NQ＝15，则PN＝（)A．3 B。eq\r(15）C．3eq\r(2） D．3eq\r（5)［答案]D［解析］由切割线定理知：PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45,∴PN＝3eq\r（5）。(理)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交⊙O于Q，若∠BTC＝120°，AB＝4，则PQ·PB＝()A．2 B．3C。eq\r(3） D．2eq\r（3）[答案］B[解析］连接OC、AC，则OC⊥PC，则O、C、T、B四点共圆,∵∠BTC＝120°,∴∠COB＝60°,故∠AOC＝120°.由AO＝OC＝2知AC＝2eq\r（3),在Rt△APC中，∠ACP＝eq\f(1,2)∠AOC＝60°,因此PC＝eq\r（3).根据切割线定理得PQ·PB＝PC2＝3.6．两个相似三角形,面积分别为16cm2和49cm2,它们的周长相差6cm，则较大三角形的周长为()A．21cm B．2cmC．14cm D.eq\f（98，11）cm[答案]C［解析］由相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比知，周长之比为：eq\r（\f（49,16））＝eq\f(7,4)，设周长分别为7x和4x,则7x－4x＝6，∴x＝2，∴较大三角形的周长为14cm.7．（文）(2011·西安质检)如图是某高速公路一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝10m，净高CD＝7m，则此圆的半径OA＝________m。［答案]eq\f（37，7)[解析］设⊙O的半径为R，则在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，即R2＝(eq\f（10,2）)2＋(7－R）2，解得R＝eq\f(37，7)m.（理）(2011·深圳调研)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A,B的点,CD⊥AB,垂足为D,已知AD＝2,CB＝4eq\r(3)，则CD＝________。[答案］2eq\r(3)［解析］根据射影定理得CB2＝BD×BA,即(4eq\r(3）)2＝BD(BD＋2)，得BD＝6，又CD2＝AD×BD＝12，所以CD＝eq\r（12)＝2eq\r(3).8．（文）（2012·湖南理，11）如下图，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3,则⊙O的半径等于________．［答案]eq\r（6)［解析］设圆半径为r，由割线定理：PA·PB＝(3－r)·（3＋r),即1×3＝9－r2，r2＝6，∴r＝eq\r(6）。(理）(2011·北京西城区模拟）如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA＝2eq\r(2），PC＝4，圆心O到BC的距离为eq\r（3)，则圆O的半径为________．[答案］2［解析]设圆O的半径为R.依题意得PA2＝PB·PC，∴PB＝eq\f（PA2,PC）＝2，BC＝PC－PB＝2，∴R＝eq\r(\f（1，2）BC2＋\r（3）2)＝2,即圆O的半径为2.9．(2012·江南十校联考）如图,在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1,则BC＝________。[答案]eq\r（2)［解析]连接AC。因为∠ABC＝90°,所以AC为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD＝30°,所以AC＝2AD＝2。又∠BAC＝∠BDC＝45°,故BC＝eq\r(2).10．(2011·杭州市高三联考）如图，圆O的直径AB＝10，弦DE⊥AB于点H，AH＝2.(1）求DE的长;(2)延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC＝2eq\r（5)，求PD的长．[解析］（1）连接AD，DB,由于AB为圆O的直径，∴AD⊥DB。又AB⊥DE，DH＝HE,∴DH2＝AH×BH＝2×(10－2）＝16，DH＝4，DE＝8。(2)PC切圆O于点C，PC2＝PD×PE，∴（2eq\r（5))2＝PD（PD＋8)，∴PD＝2。能力拓展提升11.（文）（2011·佛山质检）如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD＝eq\f（2，3）a，∠OAP＝30°，则CP＝________.［答案］eq\f(9a,8）［解析]因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP⊥AB。在Rt△OPA中,BP＝AP＝acos30°＝eq\f(\r(3）,2)a.由相交弦定理知，BP·AP＝CP·DP，即eq\f(\r（3）,2）a·eq\f（\r（3)，2)a＝CP·eq\f（2，3)a,所以CP＝eq\f(9，8）a.(理）（2012·广东理,15）如右图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________。［答案]eq\r（3）[解析］本题考查圆的相关知识,连结OA，则∠AOC＝60°,∵OA＝1，OA⊥PA，∴AP＝eq\r(3).12．(文）（2012·天津，13)如图,已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D。过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F,AF＝3，FB＝1，EF＝eq\f（3，2)，则线段CD的长为________．[答案］eq\f（4,3)[解析]如图，由相交弦定理得AF·FB＝EF·FC，∴FC＝eq\f（AF·FB，EF)＝2，∵FC∥BD，∴eq\f（FC,BD）＝eq\f（AF，AB),BD＝eq\f(FC·AB，AF)＝eq\f(8，3)。又由切割线定理知BD2＝DC·DA，又由DA＝4CD知4DC2＝BD2＝eq\f（64,9），∴DC＝eq\f（4,3)。明确相交弦定理、切割线定理等是解题的关键．（理）(2011·惠州市模拟）如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点,割线PCD经过圆心O，已知PA＝6,AB＝eq\f（22，3),PO＝12，则⊙O的半径是________．［答案］8[解析]设⊙O的半径是R,∵PA·PB＝PC·PD＝（PO－R)(PO＋R)＝PO2－R2，∴PA（PA＋AB）＝PO2－R2，将PA＝6，AB＝eq\f(22，3），PO＝12代入得R＝8。13．（文）（2012·湖北理，15）如下图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．［答案]2[解析］本题考查圆的性质及勾股定理,∵CD⊥OD,∴OC2＝OD2＋CD2，当OD最小时，CD最大，而OE最小（E为AB的中点)，∴CDmax＝EB＝2。(理)(2012·广州测试）如图,AB是圆O的直径,延长AB至C,使BC＝2OB，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD、BD,则eq\f（AD,BD)的值为________．[答案］eq\r（2）［解析]连接OD，则OD⊥CD.设圆O的半径为r，则OA＝OB＝OD＝r,BC＝2r。所以OC＝3r，CD＝eq\r(OC2－OD2)＝2eq\r（2)r。由弦切角定理得，∠CDB＝∠CAD,又∠DCB＝∠ACD，所以△CDB△CAD。所以eq\f(AD,BD）＝eq\f（AC，CD)＝eq\f(4r,2\r（2)r）＝eq\r(2）.14．(文)如图以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,与斜边AC交于点D,E为BC边的中点．(1）求证：DE是⊙O的切线；（2)连结OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值．［解析](1)在△OBE与△ODE中,OB＝OD，OE＝OE。∵E、O分别为BC、AB中点．∴EO∥AC，∴∠EOB＝∠DAO，∠DOE＝∠ADO，又∠OAD＝∠ADO，∴∠EOB＝∠DOE，∴△OBE△ODE，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴ED是⊙O的切线．（2)∠CAB＝45°，sin∠CAE＝eq\f（\r（10）,10）.(理)如图，已知过△ABC顶点A的直线交BC的延长线于D，交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC,且FB＝FC.（1）求证:AD平分∠EAC;(2）若AB是△ABC的外接圆的直径,AD＝4eq\r(3），∠EAC＝120°，求BC的长．［解析］(1)因为FB＝FC，所以∠FBC＝∠FCB,因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC＝∠FBC，又因为∠EAD＝∠FAB＝∠FCB.所以∠EAD＝∠CAD,所以AD平分∠EAC。(2）因为AB是△ABC的外接圆的直径，所以∠ACD＝90°，因为∠EAC＝120°，所以∠DAC＝eq\f(1,2）∠EAC＝60°，∠D＝30°，所以AC＝2eq\r（3），在Rt△ACB中，因为∠BAC＝60°，所以BC＝2eq\r（3）tan60°＝6。15．（文）（2011·山西太原模拟)如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点（异于A、B），过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD,垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CB＝CE.［证明］证法一：连结BE。因为AB是半圆O的直径,E为圆周上一点，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AD.又因为AD⊥l，所以BE∥l。所以∠DCE＝∠CEB。因为直线l是圆O的切线,所以∠DCE＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，所以CE＝CB.证法二：连结AC，BE，在DC延长线上取一点F。因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点．所以∠ACB＝90°,即∠BCF＋∠ACD＝90°。又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°，所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF。又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB.所以CE＝CB。(理)如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是AB延长线上一点，且BD＝OB，直线MD与圆O相交于点M，T(不与A、B重合),DN与圆O相切于点N，连接MC，MB，OT。（1)求证:DT·DM＝DO·DC；(2）若∠DOT＝60°，试求∠BMC的大小．［解析］（1）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定理得，DN2＝DT·DM，DN2＝DB·DA,所以DT·DM＝DB·DA，设半径OB＝r(r〉0)，因BD＝OB，且BC＝OC＝eq\f（r，2）,则DB·DA＝r·3r＝3r2，DO·DC＝2r·eq\f（3r，2)＝3r2.所以DT·DM＝DO·DC。（2)由（1）可知，DT·DM＝DO·DC，且∠TDO＝∠CDM，故△DTO△DCM，所以∠DOT＝∠DMC。根据圆周角定理得，∠DOT＝2∠DMB，则∠BMC＝30°。16．(文)(2011·新课标全国文，22）如图,D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n,AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．（1)证明：C，B,D,E四点共圆;（2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6,求C，B，D，E所在圆的半径．［解析］(1）连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即eq\f(AD，AC）＝eq\f（AE,AB)。又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．（2）m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2,AB＝12。取CE的中点G，DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH，由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝eq\f(1,2)（12－2)＝5。故C,B,D，E四点所在圆的半径为5eq\r(2）.(理）(2012·乌鲁木齐地区诊断）如图，已知PA与⊙O相切,A为切点，PBC为割线，D为⊙O上一点，AD、BC相交于点E。(1）若AD＝AC，求证：AP∥CD；(2)若F为CE上一点使得∠EDF＝∠P，已知EF＝1，EB＝2，PB＝4，求PA的长．[解析］(1)∵PA是⊙O的切线,AD是弦，∴∠PAD＝∠ACD。∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠PAD＝∠ADC，∴AP∥CD。（2)∵∠EDF＝∠P，又∠DEF＝∠PEA，∴△DEF△PEA，有eq\f（EF,EA）＝eq\f(ED，EP),即EF·EP＝EA·ED.而AD、BC是⊙O的相交弦，∴EC·EB＝EA·ED，故EC·EB＝EF·EP，∴EC＝eq\f（EF·EP，EB）＝eq\f(1×2＋4,2)＝3.由切割线定理有PA2＝PB·PC＝4×（3＋2＋4）＝36，∴PA＝6。1．（2011·广东湛江高考调研）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2，AC＝2eq\r(5),则AB＝________。［答案]10[解析]由射影定理知，AC2＝AD·AB，所以AB＝eq\f（2\r（5)2，2)＝10.2．如图所示，已知AB为半⊙O的直径，直线MN切半圆于点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E,BE交半圆于点F，AD＝3cm，BE＝7cm。（1）则⊙O的半径为________；(2)则线段DE的长为________．[答案]5cm2eq\r（21）cm［解析](1)连接OC。∵MN切半圆于点C，∴OC⊥MN.∵AD⊥MN,BE⊥MN，∴AD∥OC∥BE.∵OA＝OB,∴CD＝CE.∴OC＝eq\f(1,2)（AD＋BE）＝5cm.∴⊙O的半径为5cm.(2)连接AF.∵AB为半⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.∴∠AFE＝90°。又∵∠ADE＝∠DEF＝90°，∴四边形ADEF为矩形．∴DE＝AF，AD＝EF＝3cm.在Rt△ABF中，BF＝BE－EF＝4cm,AB＝2OC＝10cm。∴AF＝eq\r（AB2－BF2)＝eq\r(102－42)＝2eq\r(21），∴DE＝2eq\3．如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点,连接AD并延长交⊙O于点E.若PA＝2eq\r（3）,∠APB＝30°,则AE＝________.［答案]eq\f(10\r（7),7）[解析]∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，在直角三角形PAO中，tan30°＝eq\f（AO,PA）＝eq\f（\r（3),3）.∵PA＝2eq\r（3)，∴AO＝PA·eq\f（\r(3)，3）＝2，即圆O的半径为r＝2，同理sin30°＝eq\f(AO，PO)＝eq\f（1,2），∴PO＝4。∵D是OC的中点，∴OD＝DC＝1，从而BD＝BO＋OD＝2＋1＝3,PD＝PO＋OD＝4＋1＝5，在三角形PAD中，由余弦定理得：AD2＝PA2＋PD2－2PA·PD·cos30°＝（2eq\r（3）)2＋52－2×2eq\r（3)×5×eq\f(\r（3），2)＝7，∴AD＝eq\r(7），再由相交弦定理得：AD·DE＝BD·DC，即eq\r(7）·DE＝3×1＝3，DE＝eq\f（3\r(7)，7)，∴AE＝AD＋DE＝eq\r(7）＋eq\f(3\r(7)，7)＝eq\f(10\r（7)，7).4．（2012·保定市调研)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使得CD＝AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE。求证：(1)BE＝DE；（2)∠D＝∠ACE.［证明](1)∵CD＝AC，∴∠D＝∠DAC，又∠DAC＝∠EBC,∴∠D＝∠EBC，∴BE＝DE.(2)∵∠D＝∠DAC，∴∠ACB＝2∠DAC＝2∠D，又∠DAC＝∠EBC,∴∠ACB＝2∠EBC，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC.∴∠ABE＝∠EBC,∠D＝∠ABE，又∠ABE＝∠ACE，∴∠D＝∠ACE.5．(2012·河北郑口中学模拟)如图，已知直线AB过圆心O,交⊙O于A、B两点，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C,交AB于E,且与AF垂直，垂足为G，连结AC.求证:（1）∠BAC＝∠CAG；(2）AC2＝AE·AF。[证明](1）连结BC，∵GC是⊙O的切线，∴∠CBA＝∠ACG,故在Rt△ACG和Rt△ABC中，∠GAC＝∠BAC.（2)由(1）可知∠EAC＝∠CAF,连结CF，又因为GE与⊙O相切于C，所以∠GCF＝∠CAG＝∠EAC＝∠ECB，所以∠AFC＝90°＋∠GCF＝90°＋∠ECB＝∠ACE.所以△AFC△ACE，所以eq\f（AC，AE）＝eq\f（AF,AC）.所以AC2＝AE·AF。6．如图AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC,求证:AB＝2BC.[解析］连结OD、BD。因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝90°,AB＝2OB，因为DC是圆O的切线,所以∠CDO＝90°。又因为DA＝DC，所以∠A＝∠C，于是△ADB△CDO，从而AB＝CO，即2OB＝OB＋BC,得OB＝BC。故AB＝2BC.7．如图，已知圆上的弧