《几何概型》 市赛获奖

几何概型利用均匀随机数估计π的近似值利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积，并估计π的近似值．解析：用随机模拟的方法可以估算点落在圆内的概率为.这样就可以计算圆的面积，应用圆面积公式可得S圆＝πr2＝π.所以上面求得的S圆的近似值即为π的近似值．(1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，

a1＝RAND，b1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝(b1－0.5)*2，得到两组[－1，1]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N和点落在圆内的次数N1[满足a2＋b2≤1的点(a，b)数]．点评：对面积型的几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组均匀随机数是不能确定点的位置的，故解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从而确定点的位置，再根据点的个数比来求概率．►跟踪训练1．将[0，1]内的均匀随机数转化为[－3，5]内的均匀随机数，需实施的变换为(

)A．a＝a1*5B．a＝a1*5＋3C．a＝a1*8－3D．a＝a1*8＋3C利用随机模拟方法求概率取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？解析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪得两段长都不小于1m．这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的频率．点评：用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件A及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围．►跟踪训练2．假设小王家订了一份报纸，送报人可能在早上6～8点之间把报纸送到小王家，小王每天离家去工作的时间在早上7～9点之间．(1)小王离家前不能看到报纸(称事件A)的概率是多少？(2)请设计一种随机模拟的方法近似计算事件A的概率(包括手工的方法或用计算器、计算机的方法)．解析：如图，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y.(X，Y)可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(X，Y)|6≤X≤8，7≤Y≤9}一个正方形区域，面积为SΩ＝4，事件A表示小王离家前不能看到报纸，所构成的区域为A＝{(X，Y)|6≤X≤8，7≤Y≤9，X>Y}，即图中的阴影部分，面积为SA＝0.5.这是利用随机模拟方法求面积利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．分析：如右图所示，在坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值．解析：(1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝b1*2，得到一组[－1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b＜2a的点(a，b)数]．►跟踪训练3．曲线y＝－x2＋1与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个区域A，直线x＝0、直线x＝1、直线y＝1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数．解析：如下表，由计算机产生两例0～1之间的随机数，它们分别表示随机点(x，y)的坐标．如果一个点(x，y)满足y≤－x2＋1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0.分别统计0和1的个数.古典概型与几何概型的综合问题一条直线型街道的两端A、B的距离为180米，为方便群众，增加就业机会，想在中间安排两个报亭C、D，顺序为A、C、D、B.(1)若由甲乙两人各负责一个，在随机选择的情况下，求甲、乙两人至少一个选择报亭C的概率．(2)求A与C、B与D之间的距离都不小于60米的概率．

(2)①构设变量．设A与C、B与D之间的距离分别为x米、y米．②集合表示．用(x，y)表示每次试验的结果，则所有可能结果为Ω＝{(x，y)|0<x＋y<180，x>0，y>0}；记A与C、B与D之间的距离都不小于60米为事件M，则事件M的可能结果为M＝{(x，y)|x≥60，y≥60，0<x＋y<180}．③作出区域．如图所示，试验全部结果构成区域Ω为直线x＋y＝180与两坐标轴所围成的△AOB.而事件M所构成区域是三条直线x＝60，y＝60，x＋y＝180所夹中间的阴影部分．►跟踪训练4．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球．取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小