天津大学《概率论与数理统计》课件-第四章随机变量的数字特征

1第四章随机变量的数字特征第一节数学期望第二节方差第三节协方差及相关系数第四节矩、协方差矩阵2知道了随机变量X的概率分布，也就知道了X的全部概率特征.X的全部概率分布一般是较难确定的.为何研究随机变量的数字特征？然而，在实际问题中：在很多实际应用中，人们并不需要知道X的所有概率性质，而只要知道它的某些数字特征就够了.3与随机变量有关的某些数字特征，虽然不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征.在这些数字特征中，最常用的是：1.随机变量的平均取值——数学期望2.随机变量的取值的分散程度——方差3.描述两个随机变量之间的线性相关程度——协方差与相关系数随机变量最常用的几个数字特征4§4.1

数学期望要点：数学期望的性质和计算三类计算：X(离散型、连续型)，计算E(X)随机变量的函数的数学期望Y=g(X)，计算E(Y)=E[g(X)]二维随机变量(X,Y)的函数的数学期望Z=g(X,Y)，计算E(Z)=E[g(X,Y)]一、随机变量的数学期望——离散型5

6解：即平均一台家用电器收费2732.15元.因此Y的分布律为：

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几种常见的离散型随机变量的数学期望8

一、随机变量的数学期望——连续型

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几种常见的连续型随机变量的数学期望10

串联时系统寿命其分布函数为

二、随机变量的函数Y=g(X)的数学期望11数学期望

数学期望

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注：此定理可以推广到二个或二个以上随机变量的情形.

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三、二维随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的数学期望

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二维随机变量(X,Y)的边缘分布的数学期望

例4设(X,Y)的联合分布律为16

解：可用公式法求.下面我们用另一种方法，利用分布律表求.

(X,Y)的取值及对应的概率如下表:

Y 12 10.4 0.220.30.1X例5设(X,Y)服从G上的均匀分布(如图)，求X、Y及XY的数学期望.解：由题意知(X,Y)的密度函数为17

O12xyG

三、数学期望的性质注：1.性质3和4可推广到有限个的情况.2.对于性质4，反之不成立.18解：设

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注：这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个随机变量之和，再求数字特征的方法，称为随机变量分解法.

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21数学期望的总结

22离散型连续型数学期望公式23§4.2方差要点：方差的定义、性质和计算1.概念的引入方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.

一、方差的定义和计算24问:那一批灯泡好?答:第一批灯泡更好.

2.方差的定义

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4.随机变量方差的计算方法一：利用定义计算26

方法二：利用公式计算

例1

设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数分别用X、Y表示，分布律分别为

解：故从平均水平看，甲、乙的技术水平不相上下.

故从稳定性来看，射手乙的技术水平略高于射手甲.甲平均命中环数:试评定甲、乙的技术水平．乙平均命中环数:

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29常见分布的方差

泊松分布均匀分布指数分布(假设下列方差均存在)

二、方差的性质

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解:对于二项分布,前面我们已用随机变量分解法求出了其数学期望,现在我们再用这种方法来求其方差.31

则

称为X的标准化变量32

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几种重要随机变量的数学期望及方差(课本P228)二项分布

X~B(n,p)

分布分布律/概率密度数学期望E(X)

方差D(X)均匀分布X~U(a,b)

np

np(1−p)

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35§4.3协方差相关系数要点：协方差和相关系数的定义、性质和计算相关性与独立性

问题的提出36一、协方差及相关系数用一个怎样的数字特征去反映X与Y之间的相互联系?37协方差注：协方差反映了随机变量X,Y之间的某种关系.若随机变量X和Y相互独立，那么若随机变量X和Y不相互独立，

协方差的定义38

协方差的计算

方法一：利用定义计算39

方法二：利用公式计算

解：40

协方差的性质

41

性质(4)和(5)可进一步推广为：

相关系数的定义与性质42

性质

更具体地，有：

相关系数的意义43

(1)相关性只是就线性关系而言；若相关系数为0，只是说明不具有线性关系，但可能会有其它关系，因而它们不一定相互独立.

注：

试分析随机变量X与Y的相关性和独立性.44X−101−11/125/12012/123/121/12Y

解：

所以X与Y不相互独立.

解：45

不相关的几个等价关系相互独立不相关46

不相关与独立证：

47

X,Y相互独立X,Y不相关.48

解：49

解：由题意知故X与Y不相关.50

又因为

则X与Y不相互独立.综上：X与Y不相关，也不相互独立.51

§4.4矩、协方差矩阵为X的k阶原点矩(