2022年秋北京市西城区九年级数学上册期末试卷（及答案）

北京市西城区九年级数学上册期末试卷

（含答案）

（时间：120分钟满分：100分）

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，

其中只有一个是符合题意的.

1.如果白，那么呼的结果是（）

A.-aB,-1C.|D.1

2.将抛物线y=x2的图象向上平移3个单位后得到新的图象，那么新

图象的表达式是（）

A.y=（x-3）*B.y=（x+3）2C.y=x2-3D.y=x2+3

3.如图，NDCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果NDCE=75°,

那么NBAD的度数是（）

A.65°B.75°C.85°D.105°

4.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4,-3）,如果射线

0A与x轴正半轴的夹角为a,那么Na的正弦值是（）

5.右图是某个几何体，它的主视图是（)

6.已知AABC,AC=3,CB=4,以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、

点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是（）

A.r>3B.r24C.3VrW4D.3WrW4

7.一个不透明的盒子中装有20张卡片，其中有5张卡片上写着“三

等奖”；3张卡片上写着“二等奖”，2张卡片上写着“一等奖”，

其余卡片写着“谢谢参与”，这些卡片除写的字以外，没有其他差别，

从这个盒子中随机摸出一张卡片，能中奖的概率为（）

A-2B-I。・亮D-W

8.李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，出发后

先后走了城市路、高速路、山路最终到达旅游地点，下面的两幅图分

别描述了行驶里程及耗油情况，下面的描述错误的是（）

A.此车一共行驶了210公里

B.此车高速路一共用了12升油

C.此车在城市路和山路的平均速度相同

D.以此车在这三个路段的综合油耗判断50升油可以行驶约525

公里

二、填空题(本题共16分，每小题2分)

9.二次函数y=-3X2+5X+1的图象开口方向.

10.已知线段AB=5cm,将线段AB以点A为旋转中心，逆时针旋转90°

得到线段AB',则点B、点B,的距离为.

11.如图，在平面直角坐标系xOy中有一矩形，顶点坐标分别为(1,

1)、(4,1)、(4,3)、(1,3),有一反比例函数y=k(kWO)它的图

X

象与此矩形没有交点，该表达式可以为.

12.如图，在aABC中，DE分另IJ与AB、AC相交于点D、E,且DE〃BC,

13.如图，在aABC中,ZA=60°,。。为^ABC的外接圆.如果BC=2

加,那么。。的半径为.

14.下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD

分别表示一楼、二楼地面的水平线，ZABC=150°,BC的长是8m,

则乘电梯次点B到点C上升的高度h是m.

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，图形Lz可以看作是由图形L

经过若干次图形的变化(平移、旋转、轴对称)得到的，写出一

种由图形L得到图形L2的过程.

16.下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程.

已知：。0.

求作：。。的内接正方形.

作法：如图，

(1)作。0的直径AB；

(2)分别以点A,点B为圆心，大于看AB的长为半径作弧，两弧分

别相交于M、N两点；

（3）作直线MN与。0交于C、D两点，顺次连接A、C、B、D.即四

边形ACBD为所求作的圆内接正方形.

请回答：该尺规作图的依据是.

C

三、解答题（本题共68分,第17-22题，每小题5分，第23-26题,

每小题6分，第27,28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算

步骤或证明过程.

17.已知：q=&.求：—.

b3b

18.计算：2cos300-4sin45°+x/8.

19.已知二次函数尸第一2『3.

（1）将y=x-2x-3化成y=a（x—力）'+k的形式；

（2）求该二次函数图象的顶点坐标.

2。.如图，在△板中’N方为锐角，止3日降7…隆冬

A

求〃1的长.

BC

21.如图，在四边形力比7?中，AD//BC,四，比；点/在/〃上，49=1,

A序2,BO3,止1.5.

求证：/%法90°.

22.下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角

形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程.

已知：比：

求作:在a'边上求作一点P,使得△用0一△/比;

H

作法:如图,

①作线段AC的垂直平分线GH；

②作线段AB的垂直平分线EF,交GH于点0；

③以点。为圆心，以0A为半径作圆；

④以点C为圆心，CA为半径画弧，交。。于点D(与点A不重合);

⑤连接线段AD交BC于点P.

所以点P就是所求作的点.

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明：：CD=AC,

/.CD=.

.,.z=z.

又•••/=/,

:.XPACSXABC()(填推理的依据).

6-

5-

4-

23.在平面直角坐标系x勿中，直线y=x+23-

,2-

与双曲线＞=人相交于点4(勿，3).1.

X

⑴求反比例函数的表达式；-4-3-2-\O12

(2)画出直线和双曲线的示意图；二：

(3)若尸是坐标轴上一点，当力=为时.]

—6-

直接写出点尸的坐标.

24.如图，45是°。的直径，过点6作OO的切线8%点A,C,D分

别为O。的三等分点，连接4C,AD,DC,延长助交刚于点£

CD交AB于点F.M

(1)求证：CD/IBM；

(2)连接阳若DE=m,求△〃阳的周长.

25.在如图所示的半圆中，P是直径上一动点，过点P作PC±AB

于点P,交半圆于点G连接〃:已知/庐6cm,设儿户两点间的距离

为xcm,P,。两点间的距离为ycm,A,。两点间的距离为%cm.

小聪根据学习函数的经验，分别对函数力，%随自变量x的变化而变

化的规律进行了探究.

下面是小聪的探究过程，请补充完整:

(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了

力，%与X的几组对应值;

x/cm0123456

Xi/cm02.242.832.832.240

%/cm02.453.464.244.905.486

(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所

对应的点(x,%),

(X，%),并画出函数必，%的图象；

(3)结合函数图象，解决问题：当△/尸。有一个角是30°时，/尸的

长度约为cm.

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线丫=加+2以+c(其中c为常

数，且〃<0)与x轴交于点A(-3,O),与y轴交于点B,此抛物线

顶点C到x轴的距离为4.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求/c钻的正切值；

(3)如果点尸是X轴上的一点，且Z4BP=NC4O,直接写出点P的坐

27.在菱形/仇力中，ZADC=60°,如是一条对角线，点〃在边切

上(与点C,〃不重合),连接/R平移AWP,使点〃移动到点C,

得到MCQ,在BD上取一点H,使HQ=HD,连接〃。，AH,PH.

(1)依题意补全图1；

(2)判断4〃与方的数量关系及4处的度数，并加以证明；

(3)若ZA//Q=141。，菱形/a笫的边长为1,请写出求加长的思路.

(可以不写出计算结果)

图1备用图

28.在平面直角坐标系xOy中，点A(x,0),B(x,y),若线段AB

上存在一点。满足彩斗则称点。是线段四的“倍分点”.

(1)若点力(b0),力庐3,点0是线段48的“倍分点”.

①求点0的坐标;

②若点力关于直线尸x的对称点为A，,当点B在第一象限时,

求徐

(2)的圆心7(0,t),半径为2,点0在直线y=*x上，QT

上存在点氏使点0是线段4夕的“倍分点”，直接写出力的取值范围.

oi

答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，

其中只有一个是符合题意的.

1.如果言->,那么呼的结果是（）

b3b

A-■2B*~3C-ID-2

【分析】根据合分比例性质，可得答案.

【解答】解：由合分比性质，得

a-b_2-3_1

石一亍一—~39

故选：B.

【点评】本题考查了比例的性质，利用合分比性质是解题关键.

2.将抛物线y=x2的图象向上平移3个单位后得到新的图象，那么新

图象的表达式是（）

A.y=（x-3）?B.y=（x+3）'C.y=x2-3D.y=x2+3

【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可.

【解答】解:将抛物线y=x2的图象向上平移3个单位后得到新的图象,

那么新图象的表达式是y=x2+3,

故选：D.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平

移的法则是解答此题的关键.

3.如图，NDCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果NDCE=75°,

那么NBAD的度数是（)

A.65°B.75°C.85°D.105°

【分析】根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内

对角即可解答.

【解答】解：•.•四边形ABCD内接于。0,

.\ZBAD=ZDCE=75°,

故选：B.

【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的外角

等于它的内对角是解题的关键.

4.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4,-3）,如果射线

0A与x轴正半轴的夹角为a,那么Na的正弦值是（）

A.|B.4C.|D.4

5453

【分析】画出图形，根据直角三角形的解法解答即可.

过A点作AB_Lx轴,

在RtAOAB中，0A=V42+32=5,

•••人的正弦值喂《

故选：A.

【点评】此题考查解直角三角形的问题，关键是画出图形，利用勾股

定理解答.

5.右图是某个几何体，它的主视图是（）

【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形.

【解答】解：从几何体的正面看可得等腰梯形，

故选：C.

【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键.注意所有

的看到的棱都应表现在三视图中.

6.已知△ABC,AC=3,CB=4,以点C为圆心r为半径作圆,如果点A、

点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是（）

A.r>3B.r24C.3（rW4D.3WrW4

【分析】由于AC=3,CB=4,当以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、

点B只有一个点在圆内时，那么点A在圆内，而点B不在圆内.当

点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径，点B在圆上或圆

外时点B到圆心的距离应该不小于圆的半径，据此可以得到半径

的取值范围.

【解答】解：当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径，即:

r>3；

点B在圆上或圆外时点B到圆心的距离应该不小于圆的半径，即：r

W4；

即3<rW4.

故选：C.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大

小与位置关系的关系.

7.一个不透明的盒子中装有20张卡片，其中有5张卡片上写着“三

等奖”；3张卡片上写着“二等奖”，2张卡片上写着“一等奖”，

其余卡片写着“谢谢参与”，这些卡片除写的字以外，没有其他

差别，从这个盒子中随机摸出一张卡片，能中奖的概率为（）

A-2B-IC-20D-W

【分析】能中奖的卡片有5+3+2=10张，根据概率公式计算即可.

【解答】解：能中奖的卡片有5+3+2=10张，

，能中奖的概率=瑞=*,

故选：A.

【点评】本题考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况

数与总情况数之比.

8.李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，出发后

先后走了城市路、高速路、山路最终到达旅游地点，下面的两幅

图分别描述了行驶里程及耗油情况，下面的描述错误的是（）

A.此车一共行驶了210公里

B.此车高速路一共用了12升油

C.此车在城市路和山路的平均速度相同

D.以此车在这三个路段的综合油耗判断50升油可以行驶约525

公里

【分析】找准几个关键点，走了城市路、高速路、山路最终到达旅游

地点进行分析解答即可.

【解答】解：A、此车一共行驶了210公里，正确；

B、此车高速路一共用了45-33=12升油，正确；

C、此车在城市路的平均速度是30km/h,山路的平均速度是等普

3一2.D

=60km/h,错误；

D、以此车在这三个路段的综合油耗判断50升油可以行驶约525公里,

正确；

故选：C.

【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图

象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到

函数问题的相应解决.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.二次函数y=-3X2+5X+1的图象开口方向向下

【分析】由抛物线解析式可知，二次项系数a=-3<0,可知抛物线

开口向上.

【解答】解：•••二次函数y=-3X2+5X+1的二次项系数a=-3<0,

，抛物线开口向下.

故答案为：向下.

【点评】本题考查了抛物线的开口方向与二次项系数符号的关系.当

a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下.

10.已知线段AB=5cm,将线段AB以点A为旋转中心，逆时针旋转90°

得到线段AB',则点B、点B'的距离为5亚cm.

【分析】根据旋转变换的性质得到NBAB'=90°,BA=BA'=5cm,根

据勾股定理计算即可.

【解答】解:由旋转变换的性质可知，NBAB'=90°,BA=BA/=5cm,

由勾股定理得，BB'=庐讨=5后，

故答案为：5&cm.

【点评】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理，旋转变换的性质：

对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹

角等于旋转角.

11.如图，在平面直角坐标系xOy中有一矩形，顶点坐标分别为（1,

1）、（4,1）、（4,3）、（1,3）,有一反比例函数y=K（kWO）它

X

的图象与此矩形没有交点，该表达式可以为尸比.

----------X-------

【分析】找出经过（1,1）与（4,3）两点的反比例函数k的值，根

据反比例与矩形没有交点确定出k的范围，写出一个满足题意的

解析式即可.

【解答】解：当反比例函数图象经过（1,1）时，k=l,

当反比例函数经过（4,3）时，k=12,

...反比例函数（kN。）它的图象与此矩形没有交点,

反比例函数k的范围是kVl或k>12且kWO,

则该表达式可以为y小

故答案为一中

【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及矩形的性

质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

12.如图,在AABC中，DE分别与AB、AC相交于点D、E,且DE〃BC,

如果黑号那么吃

【分析】由DE〃BC可得出△ADEs^ABC,根据相似三角形的性质结

合黑即可求出界的值.

UDJDL

【解答】解：•.•DE〃BC,

，AADE^AABC,

•DE_AD_2=2

..而一庙一而下

故答案为：

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据黑［找出黑的

UDoAD

值是解题的关键.

13.如图，在AABC中，ZA=60°,。。为AABC的夕卜接圆.如果BC=2

那么。。的半径为2.

【分析】连接OC、0B,作ODLBC,利用圆心角与圆周角的关系得出

ZB0C=120°,再利用含30°的直角三角形的性质解答即可.

【解答】解：连接0C、0B,作ODLBC,

VZA=60°,

.*.ZB0C=120o,

ZD0C=60°,Z0DC=90°,

DC_V3

・,•0C也近W

~2F

故答案为：2.

【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是利用圆心角与圆周

角的关系得出NB0C=120°.

14.下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD

分别表示一楼、二楼地面的水平线，NABC=150°,BC的长是8m,

则乘电梯次点B到点C上升的高度h是4m.

【分析】过C作CEJ_AB,交AB的延长线于E,在Rt^BCE中，易求

得NCBE=30°,已知了斜边BC为8m,根据直角三角形的性质即可

求出CE的长，即h的值.

【解答】解：过C作CEJ_AB,交AB的延长线于E；

在Rt^CBE中，ZCBE=180°-NCBA=30°；

已知BC=8m,则CE=yBC=4m,即h=4m.

【点评】正确地构造出直角三角形，然后根据直角三角形的性质求解,

是解决此题的关键.

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，图形Lz可以看作是由图形L

经过若干次图形的变化(平移、旋转、轴对称)得到的，写出一

种由图形L得到图形Lz的过程由图形L绕B点顺时针旋转90°,

并向左平移7个单位得到图形L.

【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可解决问题；

【解答】解：图形L2可以看作是由图形L绕B点顺时针旋转90。，

并向左平移7个单位得到图形L2.

故答案为：由图形L绕B点顺时针旋转90。，并向左平移7个单位

得到图形L

【点评】考查了坐标与图形变化-旋转，平移，对称，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

16.下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程.

已知：。0.

求作：。。的内接正方形.

作法：如图，

(1)作。0的直径AB；

(2)分别以点A,点B为圆心，大于看AB的长为半径作弧，两弧分

别相交于M、N两点；

（3）作直线MN与。0交于C、D两点，顺次连接A、C、B、D.即四

边形ACBD为所求作的圆内接正方形.

请回答：该尺规作图的依据是相等的圆心角所对的弦相等，直径所

对的圆周角是直角.

【分析】根据作图知CD为AB的垂直平分线，据此得NAOC=NBOC=

ZB0D=ZA0D=90°,依据相等的圆心角所对的弦相等可判断四边

形ACBD是菱形，再根据直径所对的圆周角是直角可得四边形ACBD

是正方形.

【解答】解：由作图知CD为AB的垂直平分线，

•••AB为。。的直径，

，CD为的直径，且NA0C=NB0C=NB0D=NA0D=90°,

则AC=BC=BD=AD（相等的圆心角所对的弦相等），

...四边形ACBD是菱形，

由AB为。0的直径知NACB=90°（直径所对的圆周角是直角），

...四边形ACBD是正方形，

故答案为：相等的圆心角所对的弦相等，直径所对的圆周角是直角.

【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆心

角定理和圆周角定理及正方形的判定.

三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分,第23-26题,

每小题6分，第27,28题，每小题7分)

17.解：V-=-,.\^=-+1=-+1=-.....................................5分

b3bb33

18.解：原式=2x走一4x变+2&..................................3分

22

=V3-2x/2+2V2.....................................4分

二也.....................................5分

19.解：(1)y=x2-2x-3

=x2-2x+l-l-3...............................................2分

=(x-l)"-4...................................3分

(2)Vy=(x-l)2-4,

.••该二次函数图象的顶点坐标是(1,-4)......................................5分

20.解：作4a死于点〃，：・/ADF/ADO9Q0.

..V2A

・sinB----，

2…2」分

ZB=ZBAD=45°..............

BDC

AB=3近,

.\AD=BD=3........................................3分

'：BC=7,.\DC=4.

.•.在H⑦中，

AC^y/AD2+DC2=5.5分

21.(1)证明：'：ABVBC,：.ZB=90°.

'：AD//BC,：.ZA=9Q°.，N/=N

B.2分

•・3氏1,A为2,除3,止1.5,

.1_2.ADAE

••=—.・■=

1.53BEBC

：.XADEs△应CN3=N2.........................3分

VZ1+Z3=9O°,.,.Zl+Z2=90°.

:・/DEC的.........................5分

22.(1)补全图形如图所示:……

分

(2)AC,ZCAP=ZB,ZACP=ZACB,

有两组角对应相等的两个三角形相似............5分

23.解:(1)..•直线y=x+2与双曲线y相交于

X

点A(加,3).

3=m+2,解得m=l.

：.A(1,3)............................................................1

分

把4(1,3)代入y=&解得k=3,

X

,y=~..........................................................2分

X

(2)如图...........................4分

(3)户(0,6)或尸(2,0)..................6分

24.证明:(1);•点A、C、D为0。的三等分点,

.•・A。"。"。..-.AD=DC=AC.乂

二3乃是。。的直径，DJE

•••过点方作O。的切线BM,\)

.\BE±AB.

二.CDIIBM....................3分

⑵连接DB.

①由双垂直图形容易得出NDBE=30°,在Rt/XDBE中，由DE=m,解得

BE=2m,DB=V3m.

②在RtAADB中利用30°角，解得AB在Gm,0B=Gm..............

4分

③在Rt△OBE中，由勾股定理得出0E=V7

m........................5分

④计算出△0B月周长为2m+百m+V7m........................6分

25.(1)3.001分

456Wc碗;

_±_____i_______i______!

(2)4分

(3)1.50或4.50...........................2分

26.解：(1)由题意得，抛物线y=or?+2or+c的对称轴是直线

x=-亥=7......1分

2a

抛物线开口向下，又与x轴有交点，.•.抛物线的顶点C在x

轴的上方.

由于抛物线顶点C到x轴的距离为4,因此顶点C的坐标是(-1,4).

可设此抛物线的表达式是y=a(x+iy+4,

由于此抛物线与x轴的交点A的坐标是(-3,0),可得a=—1.

因此，抛物线的表达式是y=_2_2x+3.......................2分

(2)点B的坐标是(0,3).

联结BC.：”2=18,BC-=2,AC2=20,得AB?+比?=4^.

，△ABC为直角三角形，ZABC=90.

所以tanZ.CAB=

即NC46的正切值等于L...........4

3

分

(3)点p的坐标是(1,0)...........

6分

27.(1)补全图形，如图所

示............2分

(2)/〃与勿的数量关系：A+PH,4仍120°.

证明：如图，由平移可知，PQ=DC.

•.•四边形/四是菱形，NADCW0。，

.\AD=DC,NADB=NBD33G。..\AD=PQ,

VHQ=HD,:.NHQ2NHD&3G.：.ZADB^ZDQH,NDHQA2S.

...AADH^APQH.AA由PH,NAHAZPHQ.：.NAHD+NDHP=NPHQ+N

DHP.

：.ZAHP=ZDHQ.'：NDHQA2Q。,：.NAHP=120°.............5分

(3)求解思路如下：

由N%偌=141°,NBHQWG解得N%盼81°.

a.在4ABH中，由4阳=81°,4初=30°,解得/S4斤69°.

b.在aAHP中，由NZ身右120°,AH=PH,解得N切以30°.

c.在4ADB中，由NADB=NABD=3。°,解得N^4〃=120°.

由a、b、c可得N04R21°.

在4DAP中，由/Z加=60°,NDAP夕A°,AD=1,可解ADAP,

从而求得加长..........................7分

28.解:(1),：A(1,0),AB=3

：.B(1,3)或夕(1,-3)

.•.-Q-A=一1

QB2

(1,1)或0(1,-1)...........3分

(2)点/(1,0)关于直线尸X的对称点为A'

(0,1)

/.QA

”一1

.*.QB2...........5分

(3)-4WZW4...........7分

三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明

过程

17.（5分）计算：（n+收°+V12-2sin60°-（1）-2.

【分析】原式利用零指数累、负整数指数幕法则，以及特殊角的三角

函数值计算即可求出值.

【解答】解：原式=l+2«-2X乎-4=遮-3.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.（5分）如图，在AABC中，AB=AC,BD=CD,CE_LAB于E.求证:

△ABD^ACBE.

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD±BC,然后求出N

ADB=ZCEB=90°,再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明.

【解答】证明：在AABC中，AB=AC,BD=CD,

/.AD±BC,

VCE±AB,

ZADB=ZCEB=90°,

又•.•NBmNB,

...AABD^ACBE.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质,

比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键.

19.(5分)已知二次函数y=x2+2x-3.

(1)将y=x?+2x-3用配方法化成y=a(x-h)?+k的形式；

(2)求该二次函数的图象的顶点坐标.

【分析】(1)利用配方法先加上一次项系数的一半的平方来凑完全平

方式，再把一般式转化为顶点式即可；

(2)根据顶点坐标的求法，得出顶点坐标即可；

【解答】解：⑴y=x+2x-3

=X2+2X+1-4

=(x+1)--4.

(2)Vy=(x+1)2-4,

...该二次函数图象的顶点坐标是(-1,-4).

【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的三种形式.二次

函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：y=ax2+bx+c(aWO,a、b、c为常数)；(2)顶点式：

2

y=a(x-h)+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x-xD(x-x2).

20.(5分)先化简，再求值：(m+触)+吗，其中m是方程x?+x

min

-3=0的根.

【分析】根据分式的混合运算法则，化简后利用整体的思想代入计算

即可.

【解答】解：原式=3色_・三

mm+l

_(nrH产.ID2

mnrl-1

=m(m+1)

=m2+.m,

••丁是方程x?+x-3=0的根，

m2+m-3=0,即m2+m=3,

则原式=3.

【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合

运算的法则，需要注意最后结果化成最简分式或整式.

21.(5分)在平面直角坐标xOy中的第一象限内，直线y,=kx(k^O)

与双曲丫2=史(mWO)的一个交点为A(2,2).

X

(1)求k、m的值；

(2)过点P(x,0)且垂直于x轴的直线与y产kx、y2=^的图象分

别相交于点M、N,点MN的距离为&，点MN中的某一点与点

P的距离为ch,如果ch=d2,在下图中画出示意图并且直接写出点P

的坐标.

【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；

(2)构建方程即可解决问题；

【解答】解：(1)二•直线y尸kx(k¥0)与双曲丫2=々(mKO)的一个

交点为A(2,2),

/.k=l,m=4,

(2);•直线y尸x,y2=p

由题意：--x=xx--,

XXX

解得x=±正或±2后，

Vx>0,

x二&或2正，

AP(血，0)或(2加，0).

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是

学会利用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型.

22.（5分）如图，小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在

与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点

M处,测得亭A在点M的北偏东60°,亭B在点M的北偏东30°,

当小明由点M沿小道向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A

恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时

亭B恰好位于点Q的正北方向.

根据以上数据，请你帮助小明写出湖中两个小亭A、B之间距离的思

路.

【分析】如图，由题意aAMN,ABMO都是直角三角形，作AHJ_BQ于

H,只要求出AH、BH即可利用勾股定理求出AB的长.

【解答】解：如图，由题意^AMN,aBMO都是直角三角形，作AHJ_

BQ于H,

只要求出AH、BH即可利用勾股定理求出AB的长.

易知四边形ANQH是矩形，可得AH=NQ=30米，

在Rt^AMN中，根据AN=QH=MN・tan30°=20«米，

在RSMBQ中，BQ=MQ«tan60°=90«,

可得BH=BQ-QH=70虫米，由此即可解决问题.

十

乂》1H月y

MNQI

【点评】本题考查勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

23.(5分)已知二次函数y=kx?+(k+1)x+1(kWO).

(1)求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；

(2)如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，

求k值.

【分析】(1)根据根的判别式可得结论；

(2)利用求根公式表示两个根，因为该函数的图象与x轴交点的横

坐标均为整数，且k为整数，可得k=±l.

【解答】(1)证明：△=(k+1)2-4kXl=(k-1)22。

，无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；

(2)解：当y=0时，kx2+(k+1)x+l=0,

-k-l±V(k-l)2

•••该函数的图象与X轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，

k=±l.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c(a,

b,c是常数，aWO)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的

关系：△=b?-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.△=£-4ac>0

时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴

有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.也考查

了二次函数与一元二次方程的关系.

24.(5分)如图，在RtaABC中，ZACB=90°，点D是AB边上一点，

以BD为直径的。0与边AC相切于点E,连接DE并延长DE交BC

的延长线于点F.

(1)求证：BD=BF；

(2)若CF=2,tanB=-1»求。。的半径.

【分析】(1)连接0E,由AC为圆。的切线，利用切线的性质得到0E

垂直于AC,再由BC垂直于AC,得到OE与BC平行，根据。为DB

的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利

用中位线定理得到OE为BF的一半，再由0E为DB的一半，等量

代换即可得证；

(2)设BC=3x,根据题意得：AC=4x,AB=5x,根据cosZAOE=cosB,

3x+2

可得翳专即袅4解方程即可;

2

【解答】(1)证明：连接0E,

〈AC与圆。相切，

.*.OE±AC,

VBC±AC,

.,.0E/7BC,

又TO为DB的中点，

.,.E为DF的中点,即OE为△DBF的中位线，

.*.OE=1BF,

又,.,OE=*BD,

则BF=BD；

(2)解：设BC=3x,根据题意得：AC=4x,AB=5x

XVCF=2,

...BF=3x+2,

由(1)得：BD=BF,

:.BD=3x+l,

.,.OE=OB=^^,AO=AB-OB=5x-

VOE//BF,

，ZAOE=ZB,

3x+2

.,.cosZAOE=cosB,即察=|",

OA57x-25

2

解得：x="|",

J

则圆0的半径为竿=5.

【点评】此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，以及圆周角定

理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

25.（6分）如图1,点C是。0中直径AB上的一个动点，过点C作

，口，人13交。0于点口，点M是直径413上一固定点，作射线DM交。

0于点N.已知AB=6cm,AM=2cm,设线段AC的长度为xcm,线段

MN的长度为ycm.

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量的变化而变化的规律进

行了探索.

下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了与y的几组值，如下表:

x/cm0123456

y/cm43.32.82.532.12

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

(2)在图2中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应

值为坐标的点，画出该函数的图象；

(3)结合画出的函数图象，解决问题：当AC=MN时，x的取值约为

2.7cm.

【分析】(1)如图1-1中，连接OD,BD、AN.利用勾股定理求出DM,

致力于相似三角形的性质求出MN即可；

(2)利用描点法画出函数图象即可；

(3)利用图象寻找图象与直线y=x的交点的坐标即可解决问题；

【解答】解：(1)如图1-1中，连接OD,BD、AN.

VAC=4,0A=3,

.*.oc=i,

在RSOCD中，CD=VoD2H3C2=V3,

22=

在RSCDM中，DM=VDc+CMV7,

由△AMNSADMB,可得DM・MN=AM・BM,

二.MN崂-3,

故答案为3.

(2)函数图象如图所示,

(3)观察图象可知，当AC=MN上，x的取值约为2.7.

故答案为2.7.

【点评】本题考查圆综合题、勾股定理、相似三角形的判定和性质、

描点法画函数图象等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，

构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

26.(7分)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象

如图所示.

(1)求二次函数的表达式；

(2)函数图象上有两点P(xi,y),Q(X2,y),且满足x1〈X2,结合

函数图象回答问题；

①当y=3时，直接写出X2-X1的值；

②当2WX2-XIW3,求y的取值范围.

【分析】(1)利用图中信息，根据待定系数法即可解决问题;

(2)求出y=3时的自变量x的值即可解决问题；

(3)当X2-Xi=3时，易知Xi=-y,此时y=1-2+3=彳，可得点P坐标,

由此即可解决问题;

【解答】解：(1)由图象知抛物线与x轴交于点(1,0)、(3,0),

与y轴的交点为(0,3),

设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),

将(0,3)代入，得：3a=3,

解得：a=l,

•••抛物线解析式为y=(x-1)(x-3)=xJ-4x+3；

(2)①当y=3时，x2-4x+3=3,

解得：x,=0,X2=4,

x2-Xi=4；

②当X2-Xi=3时,易知Xi=.,此时y=-1--2+3=-|-

观察图象可知当2WX2-XW3,求y的取值范围OWyW/

【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

27.（7分）如图1有两条长度相等的相交线段AB、CD,它们相交的

锐角中有一个角为60°,为了探究AD、CB与CD（或AB）之间的

关系，小亮进行了如下尝试：

（1）在其他条件不变的情况下使得AD〃BC,如图2,将线段AB沿

AD方向平移AD的长度，得到线段DE,然后联结BE,进而利用所

学知识得到AD、CB与CD（或AB）之间的关系：AD+BC=AB；（直

接写出结果）

（2）根据小亮的经验，请对图1的情况（AD与CB不平行）进行尝

试，写出AD、CB与CD（或AB）之间的关系，并进行证明；

（3）综合（1）、（2）的证明结果，请写出完整的结论：A明BC2AB.

【分析】（1）先判断出BE=AD,