高等数学公式大全(完整版)

精选文档精选文档精选文档精选文档高等数学公式导数公式：(arctgx)=(arctgx)=(arcctgx)(tgx)'=sec2x(ctgx)'=-CSC2x(secx)'=secx-tgx(cscx)'=-cscx-ctgx(ax)'=axlna(logx)'=1-axlna(arcsinx)'=-——1—x2(arccosx)'=-=1—x211+x211+x2基本积分表：Jtgxdx=-ln|cosx|+CJctgxdx=ln|sinx|+CJJsecxdx=ln|secx+tgx|+Ccscxdx=ln|cscx-ctgx|+CdxJa2+x2Jdxx2-a2Jdxa2-x2dx1x=—arctg—+Caa1x—a—ln+C2ax+a1a+x—ln+C2aa-x=arcsin-+CaJdxcos2xJdxsin2xJsecx-tgxdx=secx+CJcscx-ctgxdx=-cscx+CJsec2xdx=tgx+C=Jcsc2xdx=-ctgx+CJaxdx=+ClnaJshxdx=chx+CJchxdx=shx+C、；a2-x2Jdx=ln(x+fx2土a2)+C、；x2土a2=Jsinnxdx=Jcosnxdx=-_11nn-2Jx.x2+a2dx0xa2]x2+a2+ln(x+x2+a2)+C22J"x2-a2dxx：a2[;厂—\ix2—a2——lnx+x2—a2+C22J、；a2-x2dxxa2.xa2-x2+arcsin+C22三角函数的有理式积分：2u1-u2sinx=,cosx=1+U21+U2xu=tg—,dx2=2du1+u2精选文档精选文档22精选文档精选文档22一些初等函数：两个重要极限：双曲正弦:沁=宁双曲余弦:chx=ex+e-x2双曲正切:thx=四=ex-e-xchxex+e-xsinxlim=1xtOxlim(l+-)x=e=2.718281828459045…xSxarshx=ln(x+\x2+1)archx=土ln(x+*x2-1)1+x

arthx=ln1-x三角函数公式：•诱导公式:\函数角a、sincostgctg-a-sinacosa-tga-Ctga90°-acosasinactgatga90°+acosa-sina-Ctga-tga180°-asina-cosa-tga-Ctga180°+a-sina-cosatgactga270°-a-cosa-sinactgatga270°+a-cosasina-Ctga-tga360°-a-sinacosa-tga-Ctga360°+asinacosatgactga•和差化积公式:•和差角公式:sin(a±B)=sinacosB土cosasinBcos(a±B)=cosacosB+sinasinBtg(a±B)=1+tga・tg卩ctg(a±B)=性ctgB壬1ctgB±ctgaTOC\o"1-5"\h\za+Ba-Bsina+sinB=2smcos—22a+Ba-Bsina一sinB=2cossm—22a+Ba-Bcosa+cosB=2coscos—22a+Ba-Bcosa一cosB=2smsm精选文档精选文档精选文档精选文档精选文档.a,：1-cosasin=土22a-1-cosatg.a,：1-cosasin=土22a-1-cosatg=±2\1+cosa1-cosasina1+cosasina•正弦定理：a_b

sinAsinBsinC•反三角函数性质：arcsinx=-arccosx2a,1+cosacos=±22a’.1+cosa1+cosasinactg=±==21-cosasina1-cosa•余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC兀arctgx=2-arcctgxsin2a=2sinacosacos2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a-sin2asin3a=3sina-4sin3actg2a-1ctg2a=—2ctga2tgatg2a1-tg2acos3a=4cos3a-3cosatg3a=3tga-tg3a1-3tg2a•半角公式:高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式：(UV)(n)=YCkU(n-k)V(k)nk=0.n(n-1)„n(n-1)・・・(n-k+1)=u(n)v+nu(n-1)v+u(n-2)VHFU(n-k)V(k)HFUV(n)2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f(g)(b-a)柯西中值定理：f(b)—f(a)=牟參F(b)-F(a)F(g)当尸(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：

弧微分公式：ds="I+y'2dx,其中y'=tgaAn平均曲率:K=——.An:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。AsM点的曲率:K=limM点的曲率:K=limAstOAnAsdndsv'(i+y'2)3直线：K=0;半径为a的圆：K=a定积分的近似计算：矩形法:f(x)ub-a(y+y+•••+y)TOC\o"1-5"\h\zn01n-1a梯形法：f(x)沁b-a[；(y+y)+y+•••+y]n20n1n-1a抛物线法:f(x)沁[(y+y)+2(y+y+•••+y)+4(y+y+•••+y)]3n0n24n-213n-1a定积分应用相关公式：功：W=F-s水压力：F=p-A引力：F=kmim2,k为引力系数r2函数的平均值：=—ff(x)dxb-aa均方根：：^—ff2(t)dtb-aa空间解析几何和向量代数：精选文档精选文档3、3、精选文档空间2点的距离：d=MM|=■■(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2'212121I'”I<•F向量在轴上的投影:PrjAB=AB-cos申，申是AB与u轴的夹角。uPrj(a+a)=Prja+Prja

_u1_212a-b=|a|・bcos9=两向量之间的夹角：cos0=—1=ab+ab+ab,是一个数量，xxyyzzab+ab+abxx——yyz-za2+a2+a2•xyz'b2+b2+b2'xyzaxbxjay

byaz

bz,|C=|a|-bsin9.例:线速度：v=wxr.向量的混合积:[abC]=(axb)-c=axbxcxaybycyazbzcz=axb-|c|cosa,o为锐角时,代表平行六面体的体积。平面的方程:其中n={A,B,C},M(x,y,z)00001、点法式：A(x—x)+B(y—y)+C(z其中n={A,B,C},M(x,y,z)00000002、一般方程：Ax+By+Cz+D=03、截距世方程:：+—+—=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d=〔AVByo+Cz&XDA2+B2+C2空间直线的方程:：二m二次曲面：x=x+mt=t,其中S={m,n,p};参数方程：y=y+空间直线的方程:：二m二次曲面：z=z+pt01、椭球面:乂+兰+三=1a2b2c22、抛物面：兰+兰=z,（p,q同号）2p2q3、双曲面：单叶双曲面:：2+兰—兰=1a2b2c2双叶双曲面：兰—21+兰=（马鞍面）a2b2c2多元函数微分法及应用

全微分：dz=竺dx+竺dydu=竺dx+色dy+-udzTOC\o"1-5"\h\zdxdydxdydz全微分的近似计算：Az-dz=f(x,y)Ax+f(x,y)Ayxy多元复合函数的求导法：z=f[u(t),v(t)]dudzz=f[u(t),v(t)]+.dtdvdtz=z=f[u(x,y),v(x,y)]cz_dzdudzdv•.dxdudxdvdx当u=u(x,y),v=v(x,y)日寸,dudududu=dx+dydxdy隐函数的求导公式dv=dVdx+^dydxdy隐函数F(x,y)=0,dyd2yddxdx2dx).空dx隐函数F(x,y,z)=0,dzdzdx■ydFdF隐函数方程组：F(x,y,u,v)=0d(F,G)d隐函数F(x,y)=0,dyd2yddxdx2dx).空dx隐函数F(x,y,z)=0,dzdzdx■ydFdF隐函数方程组：F(x,y,u,v)=0d(F,G)dudvdudxduG(x,y,u,v)=01d(F,G)Jd(x,v)1d(F,G).dyJd(y,v)dvdxdvd(u,v)d(F,G)d(u,x)d(F,G)d(u,y)dGdGdudv微分法在几何上的应用：x=申(t)空间曲线{y=屮空间曲线{y=屮(t)在点M(x,y0,z)处的切线方程：z=®(t)叫)叫)旳0)在点M处的法平面方程:0(to在点M处的法平面方程:0(to)(x+心o)(y-yo)+心。)(z-zo)=0FFFFFzzxxyGG9GG9Gzzxxy00FyGy}若空间曲线方程为:G::y,z)=0‘则切向量卩={曲面F(x,y,z)=0上一点M(x,y,z)，贝V：1、过此点的法向量：n={F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,y,z)}x000y000z0002、过此点的切平面方程：F(x,y,z)(x-x)+F(x,y,z)(y-y)+F(x,y,z)(z-z)=0x0000y0000z0000过此点的法线方程:-0=0=0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为::f=fcos申sin申cloxdy其中申为x轴到方向l的转角。函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=cfi+cfjcxcy它与方向导数的关系是:：f=gradf(x,y)-e,其中e=cos^-i+sinj，为l方向上的cl单位向量。f是gradf(x,y)在1上的投影。cl多元函数的极值及其求法：fxy(%y0)=§fyy='设/(xfxy(%y0)=§fyy='x00y00xx00口n时JA<0,(x,y)为极大值AC-B2>0时00—,亠贝V：AC-B2<0贝V：AC-B2<0时,AC-B2=0时，重积分及其应用：JJf(x,y)dxdy=JJf(rcos0,rsin0)rdrd0DD曲面z=f(x,y)的面积A=1曲面z=f(x,y)的面积A=1+Dxp(x,y丽平面薄片的重心：x=M=册MJJP(x,y)dcDCz'

°y丿2dxdyMJJyP(x,y)dcy=*=DrMJJP(x,y)dc平面薄片的转动惯量：对于x轴I=JJy2p(x,y)dc,对于y轴I=JJx2p(x,y)dcxyDD平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F={F,F,F}，其中:F=fJJP(x,y)xdcx3d(x2+y2+a2)2柱面坐标和球面坐标：■y■?=fJJP(x,y)ydc3D(x2+y2+a2)2xyzF=-faJJP(兀y)皿z3D(x2+y2+a2)2精选文档精选文档精选文档精选文档x=rcos0柱面坐标：y=rsin9,JJJf(x,y,z)dxdydz=JJJF(r,9,z)rdrd0dz,柱面坐标：z=zQQ其中：F(r,9,z)=f(rcos9,rsin9,z)x=rsin申cos9球面坐标：y=rsin申sin9,dv=rd申-rsin申•d9•dr=r2sin申drd申d9球面坐标：z=rcos申JJJf(x,y,z)dxdydz=JJJF(r，申,9)r2sin申drd申d9=Jd9Jd申fF(r，申,9)r2sin申dr000y=丄B!ypdv,z=000y=丄B!ypdv,z=丄B!zpdv,MMQQ=JJJ(X2+z2)pdv,yQ其中M=X=BIpdv=x2+y2)pdvzM转动惯量：I=JJJ(y2+z2)pdv,xQ曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设f（X,y）在L上连续，L的参数方程为：X—®⑴,（a<tW卩）,则:Iy=V（t）jf（X，y）dS」f叩佃（t加顾Fdt©<卩）特殊情况:y爲（t）La第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为］X7⑴，贝V：〔y=屮(t)JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=f{P［^(t)，屮(t加'(t)+Q［申(t)，屮(t)M'(t)}dtTOC\o"1-5"\h\zLa两类曲线积分之间的关系JPdx+Qdy=J(Pcosa+QcosP)ds,其中a和卩分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式JJ(-竺)dxdy=JPdx+Qdy格林公式JJ(-兰)dxdy=JPdx+QdydxdydxdyDLDL当P=-y,Q=x，即:一竺=2时，得到D的面积：A=JJdxdy=1Jxdy-ydxdxdy2DL•平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y),Q(x,y)在6内具有一阶连续偏导数，且dQ=dP。注意奇点，如(0,0)，应dxdy减去对此奇点的积分，注意方向相反！•二元函数的全微分求积：在62=dP时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中:dxdyu(x,y)=(x0,y0)通常设x=y=0。00曲面积分：对面积的曲面积分JJf(x,y,z)ds=JJf[x,y,z(x,y)];1+z2(x,y)+z2(x,y)dxdyxy对坐标的曲面积分:JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：JJR(x,y,z)dxdy=±JJR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；JJP(x,y,z)dydz=±JJP[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；JJQ(x,y,z)dzdx=±JfQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。两类曲面积分之间的关系JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ(Pcosa+QcosP+RcosY)ds高斯公式：

TOC\o"1-5"\h\zM(竺+翌+竺)dv_JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy_JJ(Pcosa+QcosP+Rcosy)dsSxSySzQEE高斯公式的物理意义——通量与散度：散度：diW_竺+翌+竺，即：单位体积内所产生的流体质量，若div£<0,则为消失...SxSySz通量：JA-nds_JJAds_JJ(Pcosa+QcosP+Rcosy)ds,n因此，高斯公式又可写成JJJdivAdv_JJAdsnQE斯托克斯公式JJ斯托克斯公式JJ(SR_SQESySPSRSQSPJ厂)dydz+(-)dzdx+(-)dxdy_JPdx+Qdy+Rdz空间曲线积分与路径无关的条件磅_譽SxSySzSzSxS空间曲线积分与路径无关的条件磅_譽SxSy旋度：rotA=旋度：rotA=SxPSySzQdydzdzdxdxdycosacosPcosySSSJJSSSSxSySzSxSySzPQREPQRSR6Q?SzSx上式左端又可写成ESPSP_r向量场A沿有向闭曲线厂的环流量:常数项级数：等比数列：1+q+q2+•••+qn-1_1_q1-q等差数列：1+2+3+•••+n_(n+1)n2调和级数：1++—+—是发散的23n级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法)：设：p=limJunns'p<1时，级数收敛则p设：p=limJunns2、比值审敛法：设：p=limn+t,UnT丿n'设：p=limn+t,UnT丿n3、定义法：s=u+u+•••+u;lims存在，则收敛；否则发散。TOC\o"1-5"\h\zn12nnns交错级数u-u+u-u+—(或-u+u-u+—,u>0)的审敛法莱布尼兹定理：1234123nfu>u如果交错级数满足nn+L，那么级数收敛且其和s<u,其余项r的绝对值|r|<u。Ilimu=01nnn+1Inns绝对收敛与条件收敛：u+u++u+—，其中u为任意实数；12nn|u|+|u|+|u|+•…+|u|+••・123n如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数工1发散，而工少收敛;nn级数工丄收敛；n2p级数工丄fg时发散np\p>1时收敛幂级数：|x|<1时，收敛于丄1—xx|>1时，发散对于级数(3)a+ax+ax2hhaxnh—，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全012n/|x|<R时收敛数轴上都收敛，则必存在R,使fx|>R时发散，其中R称为收敛半径。1+x+x2+x3HFxnHx|=R时不定求收敛半径的方法：设limnsa—n+1an/p丰0时，R=丄=p，其中a，a是(3)的系数，贝広p=0时，R=+8nn+1'i:.p=+x>时，R=0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x-x0)+¥(x-％)2+…+气洱(x-x0)n+…余项：R=f(皿)n(n+1)!(x-x)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR=0nnTgx=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+广(0)x+—x2HHf(")(0)xnH02!n!一些函数展开成幂级数：..、.m(m一1)m(m一1)・・・(m—n+1)(1+x)m=1+mx+x2HHxnH2!n!(一1<x<1)sinx=x-兰+兰-•••+(-1)

3!5!x2n-1n-1H(S<x<+8)(2n-1)!欧拉公式：eix=cosx+isinxeix+e一ixcosx=.eix—e-ixsinx=2三角级数：f(t)=A+区Asin(net+申)=你+0nn2n=1其中，a=aA，a=Asin申，b=Acos申，et=x。区(acosnx+bsinnx)nnn=100nnnnnn正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x…sinnx,cosnx…任意两个不同项的乘积在［-兀，兀］上的积分=0。傅立叶级数：af(x)=-2+cosnx+bsinnx),周期=2兀nn=1nnn=1,2,3…f(x)=工bsi存相减）n=史（相加）6余弦级数：b=0，2cosnxdx0周期为21的周期函数的傅立叶级数:sinnx是奇函数nn=0,1,2…f(x)=ao+工acosnx是偶函数2a=—o+cosnn=11n兀xcosaln1n兀xsinla=—o+cosnn=11n兀xcosaln1n兀xsinlndxdxd2ydx2f(x)三0时为齐次f(x)丰0时为非齐次sin)，周期=2ll(n=0,1,2…)(n=1,2,3…)微分方程的相关概念：一阶微分方程：y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q