量子力学基础知识

01.量子力学基础知识【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长4=670.8nm,这是Li原子由电子组态(1s)2(2p)i一(1s)2(2s)i跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJ501-1为单位的能量。c2.998x108m・s-1670.8mv=—= =4.469x1014s-1670.8m解：xv=1= =1.491x104cm-1X670.8x10-7cmE=hN=6.626x10-34J•sx4.469x1014s-1x6.6023x1023mol-1=178.4kJ-mol-1【1.2】实验测定金属钠的光电效应数据如下：波长入/nm 312.5 365.0 404.7 546.1光电子最大动能Ek/10-19J 3.41 2.56 1.95 0.75作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出Plank常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(v0)。解:将各照射光波长换算成频率v，并将各频率与对应的光电子的最大动能E,列于下表:k入/nm312.5365.0404.7546.1v/1014s-19.598.217.415.49Ek/10-19J3.412.561.950.75由表中数据作图，示于图1.2中由式hv=hv+E推知h工兰v一v Av即Planck常数等于Ek-v图的斜率。选取两合适点，将气和"值带入上式，即可求出h。(2.70-1.05)x10-19Jh= =6.60x1034Js例如:(8.50-600)x1014s-1 了

例如:图中直线与横坐标的交点所代表的u即金属的临界频率％由图可知，％=4.36x1014st因此，金属钠的脱出功为：W二所°=6.60x10-34^^x4.36x1014s-1=2.88x10-19J【1.3】金属钾的临阈频率为5.464X10-i4s-i,如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？7 7 ,1 °hv=hv+2mu2。=-2^2fm2x6.626x10-34Js(2.998x108"-1-5.464x1014s-J]2=叭300x09m J9.109x10-31kg2x6.626x10-34J^sx4.529x1014s-129.109x10-31kg=8.12x105ms-1【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：质量为10-1集g，运动速度为0.01m•s-1的尘埃;动能为0.1eV的中子；动能为300eV的自由电子。解：根据关系式:=6.626x10-22mh_6.626x10-34J・smv10-10kgx0.01m-s-1=6.626x10-22m(2)人6.626x10-34J-s(2x1.675x10-27kgx0.1eVx1.602x10-19J-(eV力=9.403x10-nmhhX=一=. -p^2meV_ 6.626x10-34J-s(2x9.109x10-31kgx1.602x10-19Cx300V=7.08x10-11m

【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200kV，计算电子加速后运动时的波长。解：根据deBroglie关系式：.h hhTOC\o"1-5"\h\z人= = =—pm ^2meV6.626x10-34Js=— ）秘x9.109x10-31kgx1.602x10-19Cx2x105V=2.742x10-12m【1.6】对一个运动速度。口。（光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：①②h③h④E⑤1

mv=p=—=——=—=—mv

人vv21mu=—mu结果得出2 的结论。上述推导错在何处？请说明理由。解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：E=hvp=h/人式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：p=mu知①，②，④和⑤四步都是正确的。微粒波的波长入服从下式：X=u/v式中，u是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度u，但③中用了X=u/v，显然是错的。在④中，E=hv无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量。若计及E中的势能，则⑤也不正确。【1.7】子弹（质量0.01kg运动的花粉（质量10-13kg，确定度均为原速度的10%，速度1000m•s-1），尘埃（质量10-9kg，速度10m•s-1）、作布郎速度1m・【1.7】子弹（质量0.01kg运动的花粉（质量10-13kg，确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义?解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：h 6.26x10-34J-sAx= = =6.63x10-34m子弹： m,Av0.01kgx1000x10%m-s-1A=工=6.626x10-34Js =6.63x10-25m尘埃. m•△v10-9kgx10x10%m-s-1

Ah 6.626x10-34J•sAx= = =6.63x10-20m花粉.m•Av10-13kgx1x10%m•s-16.626x10-6.626x10-34J•sAx= = =7.27x10-6m电子：m•Av9.109x10-31kgx1000x10%m•s-1【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000y,电子运动速度的不确定度A°为。的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：h hx . 口 秫口um^-;'2eV/mx10%- 6.62&1的4J,x10 （2x9.10xL0ikgx1.6）02-1妇x~V10-3.88<100m这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约10-6m）观察不到电子衍射（用100000V电压加速电子）。解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：nx—^―—^―-1.226x10-9^=m口nPh/人 %V-1.226x10-9 1-m□<10000-1.226x10-11m这不确定度约为光学光栅周期的10-5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10-5倍，用光学光栅观察不到电子衍射。解法二：若电子位置的不确定度为10-6m，则由不确定关系决定的动量不确定度为:ApAp-hxAx6.626x10-34Js

10-6m-6.626x10-28J^^m-1在104V的加速电压下，电子的动量为：UUp-mu—一2meV-。2x9.109x10-31kgx1.602x10-19Cx104V-5.402x10-23J^rW-1由Apx和px估算出现第一衍射极小值的偏肯角为：

0=arcsin0=arcsinPx口arcsin(即6«少-1口arcsin技.402x10-23J^^m-1)口arcsin10-5就0。这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子衍射。【1.10】请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符:dd2】..dx，=—,—,log，sin，、，i——解：由线性算符的定义：xTOC\o"1-5"\h\zA叩+w）=知+Awijijdd2 .dx,—, i—dxdX2为线性算符;而dx为线性自轭算符.\o"CurrentDocument"Cd2 \——-4】2x2【1.11】甲=就一诚是算符ldx2 ）的本征函数，求其本征值。解：应用量子力学基本假设11（算符）和111（本征函数，本征值和本征方程）得:Cd2CCd2Cd2 \—-4』2x2Idx2 )d2ZL()=xe-ax2—4』2x2^xe-ax2dx2dI*dx2'-4a2x2xe-ax2-ax2—2ax2e-ax2^-4a2x3e-ax2dx--2axe-ax2-4axe-ax2+4a2x3e-ax2-4a2x3e-ax2=-6axe-ax2--6aw因此，本征值为-6a。d2【1.12】下列函数中，哪几个是算符dx2的本征函数？若是，求出本征值。ex,sinx,2cosx,x3,sinx+cosxd2 d2 —ex 解：dx2 ，ex是dx2的本征函数，本征值为1。d2 d2 sinx-1xsinx, dx2 sinx是dx2的本征函数，本征值为1。d2 （2cosx）-2cosxdx2

,_d_求出本征值。【1.13】e"和cos祸对算符是否为本征函数？若是,求出本征值。.dI—解：刁4> ,im--meim<\）._d_所以，。风是算符的本征函数，本征值为一以。m(|)=m(|)=j(-sinm(|) =-imsinm(|)ccosm(|)i—-cos而川所以cosm^不是算符次I）的本征函数。【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。证：在长度为/的一维势箱中运动的粒子的波函数为：(\ 12.nJtxV3=J—sm nyII0<x<1n=l,2,3, 令n和n，表示不同的量子数，积分：f (\(\,ff2.n7ixf2.nnx,JwVxAjJ,\x)dT=Jsm—sin—^—dx0 02f.nnx.nTix,=—Jsm r-sm axsin xsm xCi—nXCi+zr)兀〃和〃'皆为正整数,皆为正整数,所以积分:sin xsm xCi—nXCi+zr)兀〃和〃'皆为正整数,皆为正整数,所以积分:/vGX|//vGX|/,G）/=0n n根据定义，吃（%）和互相正交。【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为2.n兀x甲n(x)=\：lSln-式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标(°<x2.n兀x甲n(x)=\：lSln-式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标(°<x<1n=1,2,3…，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均值。解：(1)将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量:h2d2Hw(x)—-n/,2.nnx、 h2(sin )—-8n2mdx2\Tlh2d/：2nn nnx、—(」T=C0S-p)'2n冗,n兀.n穴x、—xx(-sin)llll2.n兀x n2h2sin—ll8ml2叩n(X)—n2h2E— 即： 8ml2(2)由于XWn(x)*(Wn(W,X无本征值，只能求粒子坐标的平均值:；x；—JlW*(x)xw(x)dx=Jl[:-sinn^x0nn0E\lldxll— l202n兀dx=2Jlx

l0'1-cosznKxj2dx(•2n兀x)

xsin——E/J⑶由于PxWnS)'叫(x)®x无本征值。按下式计算px的平均值:(p)=jW*(x)pW(x)dxE2兀dxJ\l0二"’'2.n兀x—sin ll=J10nih「^.n兀x n兀x.八——Jlsincosdx=0l20l ln兀xi

—sin dx「l【1.16】求一维势箱中粒子在中1和中2状态时，在箱中0.49』~0.51/范围内出现的概率，并与图1.3.2与图1.3.2(b)相比较，讨论所得结果是否合理。解:(a解:(a)^1d2.兀x—sin——ll2.兀xW2(x)— sin2——1ll2. 2兀2. 2兀xW2(x)=—sin2 —并列表如下:'2.2兀x—sin ll由上述表达式计算W12(x)和W2(x)，

x/101/81/41/33/81/2W2(x)/1-1100.2931.0001.5001.7262.000W2(x)/1-1201.0002.0001.5001.0000x/15/82/33/47/81W2(x)/1-111.7261.5001.0000.2930W2(x)/1-121.0001.5002.0001.0000图1.16(b)粒子在W1状态时，出现在0.491和°.511间的概率为:0.51图1.16(b)粒子在W1状态时，出现在0.491和°.511间的概率为:0.51/JW21(x')dx0.49/0.51/(\2i J-si一一、兀X如了|0.49/dx0.5112.-SiR2兀x,—dx0.4912兀X0511sinsin0.491x1 .2兀x0.511=一一——sin L12兀 1」0.491=0.02-—(sin1.02兀-sin0.98兀)2兀=0.0399粒子在寸2状态时，出现在0.491和0.511见的概率为：

P=jW2(x)dxP=jW2(x)dx0.491啊官.2兀x'

=JN7S1^TJ2dx0.491*0.5112.=sin210.49122兀x, dxlxl.4兀x0.511Sin10.4911. 4兀x［爵11x—一——sin一1 4兀 10.491(0.491 1.4兀x0.491) 一(0.491 1.4兀x0.491) 一sin "1 4兀 1 ) 一sin "1 4兀 1 )牝0.0001(c)计算结果与图形符合。【1.17】链型共轭分子^CHCHCHCHCHCHCH?在长波方向^。顷处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估算其长度。解：该分子共有4对兀电子，形成兀n离域兀键。当分子处于基态时，8个兀电子占据能级最低的前4个分子轨道。当分子受到激发时，兀电子由能级最高的被占轨道（n=4）跃迁到能级最低的空轨道（n=5），激发所需要的最低能量为AE=E5—E4，而与此能量对应的吸收峰即长波方向460nm处的第一个强吸收峰。按一维势箱粒子模型，可得：AE=些=(2n+1)上人 8m12因此:「(2〃+1)hM「8mc「(2x4+1)x6.626x10-34小x460x10-9m

8x9.109x10-31kgx2.988x108m.=1120pm计算结果与按分子构型参数估算所得结果吻合。【1.18】一个粒子处在a=b=c的三维势箱中，试求能级最低的前5个能量值［以h2/（8ma2）为单位］,计算每个能级的简并度。解：质量为m的粒子在边长为a的立方箱中运动，其能级公式为:h2（ 。JE222E113=E131=E311E122=E222E113=E131=E311E122=E212=E22112119111AE1广E211E122-E212_E221-9E113：E131=E311=11E222—【1.19】若在下一离子中运动的兀电子可用一维势箱近似表示其运动特征：估计这一势箱的长度1=1.3nm，根据能级公式气=n2h2/8ml2估算兀电子跃迁时所吸收的光的波长，并与实验值510.0nm比较。HHHH禹0』，，\，心«，心..*了9丁尸3ch3 hhh ch3解：该离子共有10个兀电子，当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前5个兀型分子轨道上。离子受到光的照射，兀电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的最低能量即第5和第6两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长：△E=hc=ee=62h252h2=11h2人6 58ml28ml28ml28mcl2人= 11h8x9.1095x10-31kgx2.9979x108m^-1x(1.3x10-9m)11x6.6262x10-34J^=506.6nm实验值为510.0nm，计算值与实验值的相对误差为-0.67%。【1.20】已知封闭的圆环中粒子的能级为：厂 n2h2E= _ _ _n8兀2mR2 n=0,土1,土2土3-，--式中n为量子数，R是圆环的半径，若将此能级公式近似地用于苯分子中”6离域兀键，取R=140pm，试求其电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。解：由量子数n可知，n=0为非简并态，lnlN1都为二重简并态，6个兀电子填入n=0，1，-1等3个轨道，如图1.20所示：4 riI△E1 _$4 1^一图1・20苯分子“6能级和电子排布A日—日万—(4-1)h2_hcAE-气-E1-说诙=云8兀2mR2c人— .40x10-.40x10-10m)x(2.998x108m?-1)3xV6.626x10-348兀2x(9.113xV6.626x10-34-212x10-9m-212nm实验表明，苯的紫外光谱中出现/?，r和a共3个吸收带，它们的吸收位置分别为184.0nm,208.0nm和