《平面向量共线的坐标表示》教学设计

《平面向量共线的坐标表示》教学设计的外点时，求点P到线段的距离.教学目的：本节课主要是让学生掌握平面向量的坐标表示和坐标运算，以及学会根据向量的坐标判断向量是否共线。教学重点：本节课的重点是平面向量的坐标运算。教学难点：本节课的难点是向量的坐标表示的理解及运算的准确性。授课类型：本节课的授课类型为新授课。教具：本节课需要使用多媒体和实物投影仪。教学过程：一、复习引入：1.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示是指，任意一个向量都可以表示为两个基向量的线性组合。其中，基向量可以取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j。因此，对于任意一个向量a，都有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。其中，(x,y)被称为向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y)。特别地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0)。2.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算包括向量的加法、减法和数乘。若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2)，k*a=(kx,ky)。若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量AB=(x2-x1,y2-y1)。二、讲解新课：平面向量共线的坐标表示是指，当两个向量a和b共线时，它们的坐标满足一个特定的条件。具体来说，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠a。则a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0。探究过程中需要注意以下几点：（1）消去λ时不能两式相除，因为y1，y2有可能为0，而b≠0，因此x2，y2中至少有一个不为0；（2）充要条件不能写成y1y2=x1x2，因为x1，x2有可能为0；（3）从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b(b≠0)⇔a=λb或者x1y2-x2y1=0。三、讲解范例：例1：已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y。由于a∥b，因此有4y=6×2，解得y=3。例2：已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系。向量AB=(2,4)，向量AC=(3,6)，因此AB和AC共线，且AB的方向与AC相同。因此，A、B、C三点共线。例3：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)。(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标。设点P的坐标为(x,y)，则有x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2。因此，点P的坐标为((x1+x2)/2，(y1+y2)/2)。(2)当点P是线段P1P2的外点时，求点P到线段的距离。设向量P1P=(x-x1,y-y1)，向量P2P=(x-x2,y-y2)。则点P到线段P1P2的距离为|(x1y2-x2y1+xy1-x1y)|/√((x1-x2)²+(y1-y2)²)。例4：已知三角形ABC的三个顶点A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，求三角形ABC的重心G的坐标。解：三角形ABC的重心G是三条中线的交点，其中中线DE经过AB的中点D((1+3)/2，(2+4)/2)=(2,3)和C的中点E((5+3)/2，(6+4)/2)=(4,5)，所以中线DE的斜率k=(5-3)/(4-2)=1。中线FG经过AC的中点F((1+5)/2，(2+6)/2)=(3,4)，所以中线FG的斜率k'=(6-4)/(5-1)=1/2。中线GH经过BC的中点H((3+5)/2，(4+6)/2)=(4,5)，所以中线GH的斜率k''=-1/2。由于中线DE的斜率k=1，所以DE的方程为y-3=x-2，即y=x+1。由于中线FG的斜率k'=1/2，所以FG的方程为y-4=(1/2)(x-3)，即y=(1/2)x+5/2。由于中线GH的斜率k''=-1/2，所以GH的方程为y-5=(-1/2)(x-4)，即y=-1/2x+7。将中线DE和中线FG代入，得到它们的交点I(1,2)。将中线DE和中线GH代入，得到它们的交点J(5,6)。将中线FG和中线GH代入，得到它们的交点K(3,4)。由于三角形ABC的重心G是三条中线的交点，所以G的坐标为((1+5+3)/3，(2+6+4)/3)=(3,4)。例5：已知向量a=(-1,x)与向量b=(-x,2)共线且方向相同，求x的值。解：由于向量a与向量b共线且方向相同，所以它们的比值相等，即-1/x=2/-x。解得x=±2。因为a与b方向相同，所以x=2。例6：已知点A(-1,-1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，判断向量AB和向量CD是否平行，直线AB和直线CD是否平行。解：向量AB的坐标为(1-(-1),3-(-1))=(2,4)，向量CD的坐标为(2-1,7-5)=(1,2)。由于两个向量平行当且仅当它们的比值相等，即2/1=4/2，所以向量AB和向量CD平行。直线AB的斜率为(3-(-1))/(1-(-1))=