高中数学1部分第二章6平面向量数量积坐标表示课件北师大版必修

第二章§6把握热点考向考点一考点二考点三理解教材新知应用创新演练已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．问题1：你能用a，b的坐标表示a·b吗？提示：能．a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，而i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.问题2：与数量积有关的性质可以用坐标表示吗？提示：可以．1．平面向量数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝

x1x2＋y1y2

.2．几个重要结论(1)向量模的坐标表示：若a＝(x，y)，则|a|＝

.(2)向量垂直的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔(3)向量夹角的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a

与b

的夹角为θ，则cos

θ＝x1x2＋y1y2x2＋y2

x2＋y21

1

2

2.x2＋y2x1x2＋y1y2＝0

.3．直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l

共线，把与直线l共线的

非零向量m

称为直线l的方向向量．数量积的坐标运算可以简单记为：“对应坐标相乘再求和”．在解题过程中要注意坐标的顺序．向量垂直条件的坐标表示x1x2＋y1y2＝0和向量平行条件的表示x1y2－x2y1＝0，有许多相似性，要注意区别．注意直线l的方向向量m必须为非零向量．[例1]

已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：向量a的坐标；若c＝(2，－1)，求(a＋c)·b.[思路点拨]

根据a与b共线设出a的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(a＋c)·b.[精解详析]

(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)法一：a＋c＝(4,3)，∴(a＋c)·b＝4＋6＝10.法二：(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝10＋0＝10.[一点通]

进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．1．若

a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且

3a·b＝4，则

x

等于(

)1A．3

B.3C

1．－3

D．－3解析：3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－31.答案：C2．在平面直角坐标系中，正方形OABC

的对角线OB

的两端点分别为

O(0,0)，B(1,1)，则AB

·AC

＝

.解析：如图，由题意得A(0,1)，C(1，0)．又B(1,1)，所以AB

＝(1,0)，AC

＝(1，－1)．

故AB

·AC

＝1.答案：1已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)(a＋b)2；(2)(a＋b)·(a－b)．解：a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.(2)法一：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，∴a2＝32＋(－1)2＝10，b2＝12＋(－2)2＝5，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝10－5＝5.法二：∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，∴a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)，∴(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1)＝4×2＋(－3)×1＝5.[例2]

已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；

(2)a与b的夹角为钝角；

(3)a与b的夹角为锐角．[思路点拨]利用向量的数量积及夹角公式求解．[精解详析]

设

a

与

b

的夹角为

θ，a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.因为a

与b

的夹角为直角，所以cos

θ＝0，所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－12.因为a

与b

的夹角为钝角，所以cos

θ<0

且cos

θ≠－1，

所以a·b<0，且a

与b

不反向．1由a·b<0，得1＋2λ<0，故λ<－2，由a与b

共线得λ＝2，故a

与b

不可能反向．所以λ

的取值范围为－∞，－12.(3)因为a

与b

的夹角为锐角，所以cosθ>0，且cosθ≠1，所以a·b>0

且a，b

不同向．2由

a·b>0，得

λ>－1

a

与

b

同向得

λ＝2.，由

12所以λ

的取值范围为－，2∪(2，＋∞)．[一点通]

1．向量数量积的坐标表示，可把向量的夹角问题转化为向量坐标的计算问题．但要注意a·b>0(<0)与夹角为锐(钝)角不是等价关系．2．利用公式：a⊥b

a·b＝0

x1x2＋y1y2＝0来判断两向量垂直，使向量问题代数化，判断方法简捷、明了．4．已知直线l1：x＋3y＋1＝0和l2：2x＋y＋3＝0，则直线l1与l2的夹角为

．1

2解析：任取

l

和

l

的方向向量

m＝(1，－3)1

和n＝(1，－2)．设m

与n

的夹角为θ，cos

θ＝21＋31＝53103×

52＝

2

，θ＝45°.1＋9×

1＋4答案：45°5．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值．解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b垂直，∴(ka＋b)·(a－3b)＝0，即(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，解得k＝19.已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c.求b与c；若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．解：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，设m，n

的夹角为θ，|m||n|则cos

θ＝

m·n

＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2·

72＋1225 22－25＝

＝－

2

.∵θ∈[0，π]，∴θ＝

43π，43π即

m，n

的夹角为

.[例3]

(12分)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，(1)求a－2b的坐标和模的大小；

(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.[思路点拨]

(1)将已知向量的坐标代入运算即可；(2)主要是利用a·b＝x1x2＋y1y2求得c的坐标表示，然后求模．(4

分)(6

分)[精解详析]

(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，|

a－2b|＝

72＋32＝58.(2)a·b＝x1x2＋y1y2＝－6＋5＝－1，所以

c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝

12＋62＝

37.(12

分)[一点通]

已知向量

a＝(x，y)求其模，主要利用公式|a|＝

x2＋y2求解．7．已知

a＝(1，

3)，b＝(

3＋1，

3－1)，则|a－b|＝

.解析：∵a－b＝(1，

3)－(

3＋1，

3－1)＝(－

3，1)，∴|a－b|＝

(－

3)2＋12＝2.答案：2已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k

为何值时，ka－b

与a＋b

共线；ka－b

的模等于10？解：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．∵

ka－b

与a＋b

共线，∴

k＋2－(－k)＝0.∴

k＝－1.|ka－b|＝

10

k2＋k＋22＝

10，化简，得k2＋2k－3＝0，解得k＝1

或－3，即当k＝1