广东省华附南海实验高中2023年高二数学第二学期期末统考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为()P(K2>k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.83A．25% B．95%C．5% D．97.5%2．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为圆心、为半径的圆与轴交于两点，与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．3．命题若，则，是的逆命题，则（）A．真，真 B．真，假 C．假，真 D．假，假4．已知集合，，在集合内随机取一个元素，则这个元素属于集合的概率为（）A． B． C． D．5．函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线,则的图象的顶点在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知随机变量，且，则（）A．1．25 B．1．3 C．1．75 D．1．657．已知椭圆方程为x24+y225=1，将此椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1，满足y≥-5A．V2=C．V2=54V8．从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件“第一次取到的是奇数”，事件“第二次取到的是奇数”，则（）A． B． C． D．9．已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（）A． B． C． D．11．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，为坐标原点，则的面积与的面积之比为A． B． C． D．212．设均大于1，且，令，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在极坐标系中，已知到直线：，的距离为2，则实数的值为__________．14．已知非零向量，，满足：，且不等式恒成立，则实数的最大值为__________.15．已知命题，，则为________.16．已知向量.若与共线，则在方向上的投影为______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了解甲、乙两奶粉厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两奶粉厂生产的产品中分别抽取16件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号123451701781661761807480777681（1）已知甲厂生产的产品共有96件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．18．（12分）已知函数f(x)＝alnx＋(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)在x∈[1，＋∞)内的最小值；(2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(3)求证ln(n＋1)>(n∈N*)．19．（12分）设函数，其中.（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若，（i）证明恰有两个零点（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.20．（12分）已知函数在处取得极大值为.（1）求的值；（2）求曲线在处的切线方程.21．（12分）某水产养殖基地要将一批海鲜用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由水产养殖基地承担．若水产养殖基地恰能在约定日期（×月×日）将海鲜送达，则销售商一次性支付给水产养殖基地万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给水产养殖基地万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给水产养殖基地万元．为保证海鲜新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送海鲜，已知下表内的信息：统计信息汽车行驶路线不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路公路（注：毛利润销售商支付给水产养殖基地的费用运费）（Ⅰ）记汽车走公路时水产养殖基地获得的毛利润为（单位：万元），求的分布列和数学期望．（Ⅱ）假设你是水产养殖基地的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能让水产养殖基地获得的毛利润更多？22．（10分）已知函数，.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】∵k＞5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1-0.025=97.5%的把握认为“X和Y有关系”，

故选D．2、B【解析】

取的中点，利用点到直线距离公式可求得，根据可得，从而可求得渐近线方程.【详解】如图，取的中点，则为点到渐近线的距离则又为的中点，即：故渐近线方程为：本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够利用点到直线距离公式和中位线得到之间的关系.3、C【解析】由题意，，所以，得，所以命题为假命题，又因为是的逆命题，所以命题：若，则为真命题，故选C.4、D【解析】

利用线性规划可得所在区域三角形的面积，求得圆与三角形的公共面积，利用几何概型概率公式可得结果.【详解】表示如图所示的三角形，求得，，点到直线的距离为，所以，既在三角形内又在圆内的点的轨迹是如图所示阴影部分的面积，其面积等于四分之三圆面积与等腰直角三角形的面积和，即为，所以在集合内随机取一个元素，则这个元素属于集合的概率为，故选D.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.5、A【解析】

设，则，由图可知，从而可得顶点在第一象限.【详解】因为函数的图象过原点，所以可设，，由图可知,，则函数的顶点在第一象限，故选A.【点睛】本题主要考查导数公式的应用，考查了直线与二次函数的图象与性质，属于中档题.6、C【解析】

利用正态分布的图像和性质求解即可.【详解】由题得，所以.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解析】

根据题意画出图形，分别求出椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1与满足y≥-50≤x≤2y≤52【详解】在同一平面直角坐标系中画出椭圆与旋转体如图，椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体为椭球，其体积为V1满足y≥-50≤x≤2y≤5其体积V2=π×2故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转体的体积及学生的计算能力，属于中档题．8、A【解析】

先算出，然后套用公式，即可得到本题答案.【详解】由题，得表示“第一次和第二次都取到奇数”的概率，结果等于，又有，所以.故选：A【点睛】本题主要考查条件概率的计算，属基础题.9、C【解析】

由于恒成立，构造函数，则方程在上有两个不等的实数根等价于函数在上有两个不同的零点，利用导数研究函数在的值域即可解决问题。【详解】由于恒成立，构造函数，则方程在上有两个不等的实数根等价于函数在上有两个不同的零点，则，（1）当时，则在上恒成立，即函数在上单调递增，当时，，，根据零点定理可得只有唯一零点，不满足题意；（2）当时，令，解得：，令，解得：或，故的单调增区间为，的单调减区间为，①当，即时，则在单调递增，当时，，，根据零点定理可得只有唯一零点，不满足题意；②当，即时，则在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，，，故要使函数在上有两个不同的零点，则，解得：；综上所述：方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为：故答案选C【点睛】本题考查方程根的个数问题，可转为函数的零点问题，利用导数讨论函数的单调区间以及最值即可解决问题，有一定的综合性，属于中档题。10、A【解析】

构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.【详解】构造函数，对任意实数，都有，则，所以，函数为偶函数，.当时，，则函数在上单调递减，由偶函数的性质得出函数在上单调递增，，即，即，则有，由于函数在上单调递增，，即，解得，因此，实数的最小值为，故选A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.11、D【解析】

设点位于第一象限，点，并设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出，由抛物线的定义得出点的坐标，可得出点的纵坐标的值，最后得出的面积与的面积之比为的值.【详解】设点位于第一象限，点，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，得，，由抛物线的定义得，得，，，，可得出，，故选：D.【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在直线与抛物线综合问题中的应用，解题的关键在于利用抛物线的定义以及韦达定理求点的坐标，并将三角形的面积比转化为高之比来处理，考查运算求解能力，属于中等题。12、D【解析】令则t>0,且，∵，∵，故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】分析：可化为，利用点到直线：，的距离为2，求出m的值.详解：可化为，点到直线：，的距离为2，，又，.故答案为：1.点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．14、4.【解析】

法一：采用数形结合，可判断的终点是在以AB为直径的圆上，从而分离参数转化成恒成立问题即可得到答案.法二：（特殊值法）可先设，，，利用找出的轨迹，从而将不等式恒成立问题转化为函数问题求解.【详解】法一：作出相关图形，设,，由于，所以，且这两个向量共起点，所以的终点是在以AB为直径的圆上，可设，所以由图可知，，所，等价于,,所以，答案为4.法二：（特殊值法）不妨设，，，则，，，由于可得整理得，可得圆的参数方程为：，则相当于恒成立，即求得，即求的最大值即可，，所以，因此.故答案为4.【点睛】本题主要考查向量的相关运算，参数方程的运用，不等式恒成立问题，意在考查学生的综合转化能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.15、，【解析】

根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”求解【详解】命题，，为特称命题故为，故答案为，【点睛】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握特称命题的否定方法“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，是解答本题的关键．16、【解析】

先根据与共线求出的值，再利用向量的投影公式求在方向上的投影.【详解】∵∴.又∵与共线，∴，∴，∴，∴在方向上的投影为.故答案为：【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示和向量的投影的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）30；（2）18；（3）分布列见解析，期望为．【解析】

分析：（1）设乙厂生产的产品数量为件，由，即可求得乙厂生产的产品数量；（2）由题意，从乙厂抽取的件产品中，编号为的产品是优等品，即件产品中有件是优等品，由此可估算出乙厂生产的优等品的数量；（3）可能的取值为，求得取每个随机变量时的概率，得到分布列，利用公式求解数学期望．详解：（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得所以乙厂生产的产品数量为30件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有3件是优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为（件）（3）可能的取值为0，1，2∴的分布列为：012∴点睛：本题主要考查了统计的应用，以及随机变量的分布列和数学期望的求解，其中正确理解题意，合理作出运算是阶段的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.．【详解】请在此输入详解！18、（1）最小值为f(1)＝1.（2）a<.（3）见解析【解析】试题分析：（1）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（2）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（3）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，即时命题成立；设当n=k时，命题成立，即成立，再去证明n=k+1时，成立即可（需用好归纳假设）．试题解析：（1），定义域为．在上是增函数．．（2）因为因为若存在单调递减区间，所以有正数解．即有的解当时，明显成立．②当时，开口向下的抛物线，总有的解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正根．因为，所以方程有两正根．当时，；，解得．综合①②③知：．或：有的解即有的解，即有的解，的最大值，（3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．令，则有，．，．(法二)当时，．，，即时命题成立．设当时，命题成立，即．时，．根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．考点：1．利用导数求闭区间上函数的最值；2．利用导数研究函数的单调性；3．数学归纳法．19、（I）在内单调递增.；（II）（i）见解析；（ii）见解析.【解析】

（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.【详解】（I）解：由已知，的定义域为，且，因此当时，，从而，所以在内单调递增.（II）证明：（i）由（I）知，，令，由，可知在内单调递减，又，且，故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则，当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，，所以，从而，又因为，所以在内有唯一零点，又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.（ii）由题意，，即，从而，即，因为当时，，又，故，两边取对数，得，于是，整理得，【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.20、(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组可知；（2）由（1）得，据此可得切线方程为.详解：（1），依题意得，即，解得，经检验，符合题意.（2）由（1）得，∴.，，∴曲线在处的切线方程为，即.点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与