正方形的性质及判定

正方形的性质及判定在中考考试中，要求掌握正方形的概念、性质和判定，并能用正方形的知识解决简单问题。1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2.正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形。它具有前三者的所有性质：①边的性质：对边平行，四条边都相等。②角的性质：四个角都是直角。③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角。④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形。平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如下图所示：3.正方形的判定：判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形。判定②：有一个角是直角的菱形是正方形。掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系，掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法，提高学生分析问题及解决问题的能力。通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点。重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。难点：正方形知识的灵活应用。例题精讲：1.正方形的性质已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则正方形BDEF：正方形ABCD=S正方形BDEF：S正方形ABCD=1:2。如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且AE⊥AF，AF=20，则BE的长为24。在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为√5。2.n个正方形的面积和将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，...，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为(n-1)cm²。如图，正方形ABCD的边长为2cm，以B为圆心，BC长为半径画弧交对角线BD于点E，连接CE，P是CE上任意一点，PM⊥BC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为2cm。如图，给定正方形ABCD和点E在对角线BD上，要证明AE=CE。证明：连接AE、CE和AC。由正方形的性质可知，AC是BD的垂直平分线，所以AE=CE。因此，命题得证。如图，给定正方形ABCD和点P在对角线上，PE垂直于BC，PF垂直于CD，要证明AP=EF。证明：连接AF、EP和AD。由正方形的性质可知，AD是BD的垂直平分线，所以AP=PD。又因为三角形EPF和DPC相似，所以EF/PD=PF/PC，即EF=PF*PD/PC。由正方形的性质可知，PC=AD，PF=CD-DF，PD=BD/2，所以EF=(CD-DF)*BD/2/AD。又因为DF=BC-CD，所以EF=(BC-CD)*BD/2/AD。由正方形的性质可知，AD=BD*根号2/2，所以EF=BC*根号2/2-CD。同理可得AP=BC*根号2/2-CD，所以AP=EF。因此，命题得证。如图，给定正方形ABCD，AC和BD相交于O，MN平行于AB，且分别与AO、BO交于M、N。要探讨BM与CN之间的关系，并写出证明过程。证明：连接BM、CN和OC。由正方形的性质可知，AC和BD是互相垂直的，所以OC是AB的垂直平分线。又因为MN平行于AB，所以OM=ON，即OC是MN的垂直平分线。因此，BM=CN。因此，命题得证。如图，给定正方形ABCD，三角形ABP是等边三角形，要求证DCP的度数。证明：连接BP和CD。由正方形的性质可知，AB和CD是互相垂直的，所以CDP和CBP是直角三角形。又因为ABP是等边三角形，所以AP=AB=BP。因此，三角形APB也是直角三角形。所以，DCP=90度-APB=90度-60度=30度。因此，命题得证。如图，给定正方形ABCD，在AD、AC上分别取E、F两点，使ED:AD=2FC:AC，要证明三角形BEF是等腰直角三角形。证明：连接BF和CE，并连接AC、BD。由正方形的性质可知，AC和BD是互相垂直的，所以AC是BD的垂直平分线。又因为ED:AD=2FC:AC，所以ED/AD=FC/AC=1/2。因此，三角形AED和FEC相似，所以AE/FE=DE/EC=2。又因为AB=BC=CD=DA，所以四边形ABCD是正方形，所以AE=EC。因此，FE=2AE=2EC，所以三角形BEF是等腰直角三角形。因此，命题得证。如图，给定正方形ABCD，E和F分别在BC和CD上，AE和AF分别与对角线BD相交于M和N，要求证CME和CNF的角度之和为50度。证明：连接CE、CF、ME和NF。由正方形的性质可知，AC和BD是互相垂直的，所以AC是BD的垂直平分线。又因为AE和AF是BD的两条互相垂直的射线，所以ME和NF是AC的两条互相垂直的射线。因此，CME和CNF是相似的直角三角形。又因为∠EAF=90度，所以∠CME+∠CNF=90度/2=45度。因此，命题得证。如图，给定四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作正方形ABE，CE与BD相交于点F，要求证AFD的度数。证明：连接BF、AE和CD。由正方形的性质可知，AC和BD是互相垂直的，所以AC是BD的垂直平分线。又因为ABE是正方形，所以AE=BE。因此，BEF和AED是相似的直角三角形，所以EF/ED=EB/AE=1/根号2。又因为CE和BD相交于F，所以BEF和BFD是相似的直角三角形，所以EF/FD=EB/BD=1/根号2。因此，EF=FD。又因为ABCD是正方形，所以∠AFD=∠ABC+∠CBD=45度+45度=90度。因此，命题得证。如图，给定正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E、F，使DE=AD，DF=BD。连接BF并分别交CD和CE于H、G，要证明三角形GHD是等腰三角形。证明：连接AH和DG。由正方形的性质可知，AC和BD是互相垂直的，所以AC是BD的垂直平分线。又因为DE=AD，DF=BD，所以∠AED=∠BDF=45度，所以AE和BF是BD的两条互相垂直的射线。因此，AH和DG是AC的两条互相垂直的射线。因此，GH=HD。因此，命题得证。如图，给定正方形ABCD的顶点A和点E在BD上，BE=BD，要证明DF=DE。证明：连接BE、DF和AD。由正方形的性质可知，AD和BD是互相垂直的，所以AD是BD的垂直平分线。又因为BE=BD，所以∠BED=45度，所以AE和BD是互相垂直的射线。因此，AD和BE是互相垂直的射线。又因为BE=BD，所以∠BDE=45度，所以BD和DF是互相垂直的射线。因此，AD和DF是互相垂直的射线。因此，AD和DF是互相垂直的射线。又因为BE=BD，所以∠BED=45度，所以∠AED=90度，所以AE是AD的垂直平分线。因此，DE=AD/2=BD/2。又因为BE=BD，所以DF=BD-BF=BD-DE=BD/2。因此，DF=DE。因此，命题得证。如图，给定正方形ABCD中，AK、AN是∠A内的两条射线，BK垂直于AK，BL垂直于AN，DM垂直于AK，DN垂直于AN，要证明KL=MN，且KL垂直于MN。证明：连接BN、BM、AL、AK、DN和DM。由正方形的性质可知，AC和BD是互相垂直的，所以AL和DN是BD的两条互相垂直的射线，BM和CK是BD的两条互相垂直的射线。因此，AL和DN是互相垂直的射线，BM和CK是互相垂直的射线。又因为AK和AN是∠A内的两条射线，所以KL和MN是AK的两条互相垂直的射线。因此，KL和MN是互相垂直的射线。又因为AK和AN是∠A内的两条射线，所以∠KAL=∠NAN=45度，所以AL=AN=AD/根号2。又因为BK垂直于AK，BL垂直于AN，所以∠KBL=∠NBM=90度，所以BM=BK=BD/根号2。又因为DM垂直于AK，DN垂直于AN，所以∠KDM=∠NDN=90度，所以DN=DM=AD/根号2。因此，KL=AL-AD/根号2=BD/根号2，MN=BM-AD/根号2=BD/根号2。因此，KL=MN。因此，命题得证。如图，给定正方形ABCD，CD在正方形ECGF的CE上，连接BE和DG，要证明BE=DG。证明：连接BC、DE和FG。由正方形的性质可知，AC和BD是互相垂直的，所以AC是BD的垂直平分线。又因为CD在正方形ECGF的CE上，所以∠ECG=90度，所以CG是CE的垂直平分线。因此，BE和DG是CG的两条互相垂直的射线。因此，BE=DG。因此，命题得证。如图，给定正方形ABCD中，E在CD上，F在BC延长线上，CE=CF，∠FDC=30度，要求出∠BEF的度数。证明：连接BF和CE，并连接AD、BD和DE。由正方形的性质可知，AC和BD是互相垂直的，所以AC是BD的垂直平分线。又因为CE=CF，所以CE和CF是CD的垂直平分线。因此，BE和DF是CD的两条互相垂直的射线。又因为∠FDC=30度，所以∠BDC=60度，所以BD和DE是互相垂直的射线。因此，∠BDE=90度-∠BDC=30度。又因为CE=CF，所以∠CEF=∠CFE=75度，所以∠BEC=∠BCE=15度。因此，∠BEF=∠BEC+∠CEF=15度+75度=90度。因此，命题得证。已知正方形ABCD，点G为CD上一点，延长BC到E使CE=CG，连接BG并延长交DE于F。证明三角形BCG≌三角形DCE。同时，将三角形DCE绕点D顺时针旋转90度得到三角形DAE'，四边形E'BGD是一个菱形，因为它的对角线相等且垂直。正方形ABCD的边长为4，点E在BC边上，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE。求BM的长度。在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且HA=EB=FC=GD。连接EG、FH，交点为O。⑴判断四边形EFGH的形状并证明结论。四边形EFGH是一个正方形，因为它的四条边相等且两两垂直。⑵将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形。若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为4cm²。正方形ABCD的对角线相交于点O，点P、Q分别是BC、CD上的点，AQ⊥DP。证明OP=OQ且OP⊥OQ。在正方形ABCD中，E，DG⊥EF于G。证明F是AB，BC边上两点，且EF=AE+FC，DG=DA。在正方形ABCD中，点M在CD上，且三角形MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半。N分别在正方形ABCD的边BC上。求∠MAN的度数。在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90度，l是AD的垂直平分线，交AD于点M。以腰AB为边作正方形ABFE，作EP⊥l于点P。证明2EP+AD=2CD。正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H。猜想线段HG与线段HB相等，证明这个猜想。【例16】已知四边形ABCD的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH，证明：⑴四边形EFGH的对角线互补；⑵若四边形ABCD为平行四边形，则四边形EFGH为矩形；⑶若四边形ABCD为长方形，则四边形EFGH为正方形。【巩固】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形。⑴证明：四边形ABCD是菱形；⑵若∠AED=2∠EAD，证明：四边形ABCD是正方形。【巩固】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E。⑴证明：四边形ADCE为矩形；⑵当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。【例17】点M是矩形ABCD边AD的中点，2AB=AD，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E、F，求点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形。【例18】ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE=a，AF=b，若S(EFGH)/S(ABCD)=2/3，则b-a=2/3。【例19】在图中，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7cm²和11cm²，则△CDE的面积为18cm²。【巩固】在正方形ABCD中，点P在线段BG上，且PB=PD，PB=AB，∠CBP=∠PBP，求∠BPP的度数。【例20】在平行四边形ABCD各边上向平行四边形的外侧作正方形，证明：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形。【例21】已知：PA=2，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。（1）当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其