线性代数15-1矩阵的初等变换课件

矩阵的初等变换与初等矩阵（I）

在这一讲，我们重点介绍矩阵的初等变换1.5.1

初等变换

CONTENTS定义1.11（初等行变换）对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换(elementaryrow

operations)：矩阵的初等变换定义（2）用非零数k乘以矩阵某行的每个元素;（3）把某一行的所有元的倍数加到另一行的对应元上.

（1）交换矩阵的某两行的位置;换法变换倍法变换消法变换记作记作记作另外，我们也可以定义矩阵的初等列变换，记号把”r”换成“c”.初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.例如：对矩阵A

作如下初等行变换：显然，以上每一步变换都是可以逆回去的，具体如下：（1）初等变换是可逆的，其逆变换是同一类的初等变换.（2）初等变换之后的矩阵与原矩阵一般不再相同.于是，容易得到（3）矩阵B是行阶梯形矩阵.……Question（1）任何矩阵都能通过初等变换化为行阶梯形矩阵吗？（2）初等变换之后的矩阵与原矩阵有什么联系呢？定理1.3任意m×n矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵.定理1.4任意m×n行阶梯形矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为简化行阶梯形矩阵.这2个定理蕴含着利用初等变换化一个矩阵为（简化）行阶梯形的一般方法证明请学生课下阅读【例1.19】设矩阵利用初等行变换，求（1）先将A化为行阶梯形矩阵，再化为简化行阶梯形

矩阵；（2）不通过求A的行阶梯形，直接将A化为简化行阶

梯形矩阵.板书讲解观察例1.19得到（1）利用初等变换将一个矩阵化为阶梯形矩阵的方法是不唯一的，得到的行阶梯形矩阵也不唯一.（2）如果再对其中的C施行列的换法变换，则有例如:

这里的都是行阶梯形矩阵.但是，所有这些行阶梯形矩阵的非零行数是相等的.如果对矩阵M再施以列的消法变换，可得特征：左上角为单位阵，其余元素全部为零标准形矩阵定义1.12（标准形矩阵）如果一个非零矩阵的左上角为单位矩阵，其它位置的元素都为零，则称这个矩阵为标准形矩阵.例如：分块矩阵表达为任意矩阵有限次初等行变换行阶梯形矩阵有限次初等行变换行最简形矩阵有限次初等列变换

标准形矩阵有限次初等变换定理1.5任意m×n矩阵总可以经过初等变换化为标准形矩阵.定义1.13（矩阵的等价）若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则称A与B行等价，记作A

B；若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则称A与B列等价，记作A

B；若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称

A与B等价，记作AB.矩阵的初等变换是矩阵的一种运算，变换前后的两个矩阵一般不会相等.但两者又有千丝万缕的联系.（1）反身性：A～A；（2）对称性：若A～B，则B～A；（3）传递性：若A～B，B～C，则A～C.矩阵的等价是一种关系，它具有下列性质：定理1.6任何矩阵都有与它行等价的行阶梯形矩阵和简化行阶梯形矩阵.显然有如下结论定理1.7任何一个m×n矩阵都等价于一个如下形式的标准形：此标准形由三个数m,n和r唯一确定，其中r是行阶梯矩阵的非零行数.称为A的等价标准形问题1.1对于任给定的矩阵

A，它的等价行阶梯形不唯一，

所有等价行阶梯中非零行数是否都相等呢？进一步地，矩阵的等价标准形唯一吗？如果唯一，其中的

是由哪个量决定的呢？关于这个问题，读者将会在学习完第三章第3.3.1节之后有深入的理解和答案．所有与矩阵

A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.小结初等变换的定