月28日上午第六章复数

复数●基础知识一、复数的概念1．虚数单位i：i2＝－12．代数形式：a＋bi(a，b∈R)，其中a叫

实部

，b叫

虚部．3．复数的分类：复数z＝a＋bi中，二、复数相等的条件若复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2∈R)，则z1＝z2⇔三、复平面建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

.显然，实轴上的点都表示

实数

，除了原点外，虚轴上的点都表示

纯虚数.四、复数的大小两个复数，如果不全是实数时，不能比较它们的大小.五、复数的向量表示复数集C与复平面内的向量集合{}(O为原点)一一对应；且规定相等的向量表示同一个复数.，即向量的长度叫做复数z若z＝a＋bi，则|z|＝

a2的模或绝对值．+

b

2六、运算法则z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)．1

21

2m

n3．z

·z

＝m

n1

2n，(z

)

＝ ，(z

·z

)

＝

；(其中m、n∈Z)4.1．z

±z

＝(a＋bi)±(c＋di)＝

(a±c)＋(b±d)i

；2．z

·z

＝(a＋bi)(c＋di)＝

(ac－bd)＋(ad＋bc)i

；zm＋nzmn4.5．(七、常见的运算规律1．i的周期性：i4n＋1＝

i

，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝

1；(n∈Z)2．(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2；3．(1±i)2＝

±2i；＝

－i；＝

i

，)2＝

±i；●易错知识一、概念理解错误1．复数(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i表示纯虚数的充要条件是

．(其中m∈R)答案：m＝－2．两个互为共轭复数之差是(

)A．实数C．0B．纯虚数

D．零或纯虚数失分警示：混淆了复数和虚数概念，误认为共轭复数就是共轭虚数，当得到z－

＝2bi时，就认为是纯虚数，错误地选B.有些同学考虑问题是从特殊到一般，他举出一些共轭的复数，例如：2＋3i,2－3i,3i，－3i，但又漏掉了实数，犯了分类不清的错误．错误地选B.复数概念不清，忽略了a、b的取值范围，当得到z－

＝2bi时，想象b≠0，错误地选B.启示：要正确理解复数的有关概念，要全面地考虑问题，不能光看形式，更要注重本质．答案：D3．(2008·北京海淀)(A．1C．－1)3的虚部为

(

)B．iD．－i误区分析：误选B，a＋bi，a、b∈R虚部为b而不是bi.答案：A二、性质应用错误)2009等于(

)4．(A．iC．22009B．－iD．－22009失分警示：对i的乘方的性质i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i掌握不好而见到高达2009次幂时无从下手．启示：熟练掌握并灵活应用i的乘方的性质，进行有关问题的代数运算，比较方便．答案：A●回归教材1．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是(

)A．a＝0C．a≠0且b＝0B．a＝0且b≠0D．a≠0且b≠0解析：由纯虚数的概念可知：a＝0且b≠0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，而题中要选择的是必要不充分条件．因此，要选择的应该是由“且”字连接的复合命题“a＝0且b≠0”的子命题，“a＝0”或“b≠0”．对照各选项，故选A.答案：A3．(2009·北京)在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于(

)A．第一象限C．第三象限B．第二象限

D．第四象限解析：由z＝i·(1＋2i)＝－2＋i可得，复数z对应的点为(－2,1)位于第二象限，故选B.答案：B4．复数的实部与虚部之和为

．解析：，所以＝－1.答案：－1已知复数z＝

＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．分析：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念利用它们的充要条件可分别求出相应的a值．拓展探究：(1)本题考查复数集中各数集的分类，题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则应先化为代数形式，再依据概念求解．(2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数形式的一般表达式．如：对应点在直线x＝1上，则z＝1＋bi(b∈R)；对应点在直线y＝x上，则z＝a＋ai(a∈R)，在利用复数的代数形式解题时经常用到这一点.【例3】

设关于x的方程是x2－(tanθ＋i)x－(2