第2节 平面向量基本定理及坐标表示

第2节平面向量基本定理及坐标表示考试要求1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.基曲知识诊斷目顾教比夯站咄知识梳理平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个丕共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,存在唯一一对实数久1，久2，使0=山角土丛卷・其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解.平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a=(x1，y1),b=(x2,y2),贝Ua+b=(X]+x2,y]+y2)，。一勿二任]—*?，y]—y2)，加=(心，加J，lai=\喀丄昇向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1),B(x2,y2),贝yAB=(x2—x”歹2一歹』，ABl=P(x2_X])2+(y2—y])2.平面向量共线的坐标表示设a=(X],y1),b=(x2，y2),则a〃b化—兀2卫_]=0.[常用结论与微点提醒]平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.若a与b不共线，加+“b=0,则久=“=0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.诊断自测思考梆析1•判断下列结论正误(在括号内打“厂或“X”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()⑵设a,b是平面内的一组基底，若实数久],“],久2，卩2满足^1a+^1b=A2a+^2b,贝y久]=久2，卩1=卩2，()⑶若a=(x1，y1),b=(x2,y2),则a〃b的充要条件可以表示成中=,・()(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()解析(1)共线向量不可以作为基底.⑶若b=(0,0),则¥二J无意义.答案(1)X⑵V(3)X⑷V(老教材必修4P87A2引申改编)下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,－1)B.e1=(－1,1),e2=(5,7)e1=(2,5),e2=(4,10)e1=(2,—3),e2=[1,_|j解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.答案B(新教材必修第二册P99练习2改编)已知向量a=(—1,3),b=(2,1),贝3a—2b=()B.(—3,—2)D.(4B.(—3,—2)D.(4,—3)C.(6,2)

解析3a-2b=(-3,9)-(4,2)=(-7,7).答案A考题体验4.（2020•合肥质检）设向量a=（—3,4）,向量b与向量a方向相反，且lbl=10，则向量b的坐标为（）B.(—6,8)D.(6,—B.(—6,8)D.(6,—8)C（5，-5）解析因为向量b与a方向相反，则可设b=加二（-3久，4久），久＜0,则Ibl二答案D+16答案D+16久2二5UI二10,古攵久二-2,b二(6,-8).5.(2019・福州质检)已知ABCD的顶点A(—1,—2),B(3,T),C(5,6),则顶点D的坐标为.^4—5-x,x=1,解析设D(x,)贝U由AB=DC，得(4,1)=(5-x,6-y)即］解得＜、1—6-y,卜二5.答案(1,5)6.(2017・山东卷)已知向量a=(2,6),b=(—1,久)，若a〃b,则2=.解析°・°a〃b，•：22+6—0,解得2=-3.答案一3考虑聚焦突吸塵巔鼬蠹蠢灌磺蠢®…触fcfi離分类讲练....求法.N考点一平面向量基本定理及其应用N【例1】（一题多解）（2020・泉州四校联考）如图，OC=2OP,AB=2AC,OM=mOB,ON=nOA,若m=|,那么n=()

a.3B-3C-55a.3B-3C-55d.8解析法一由（5C二2OP,AB=2AC，知C是AB的中点，P是OC的中点，所以OC=2(O^+OB)，则OP=t(OA+OB)，又OM二8丽，ON二nOA，从而MN二ON-OM=nOA-8爸，MfP=OP-OM=4(<5A+OB)-3O)B=4om-，又点M,p,n共线，所以存在实数久，使MN二久耐成立，即nOA-3OB=-gOB],又因为OA,OB不共线，1.n=打3解得n=-,故选A.3=14-8=-8a，法二设MP=^MN,VOM=8(B，ON=nOA,/.Op=OM+MP=3(jb+几(ON-OM)g-X)-X)OB+nXOA,+2(nO°A-3又知页^二20?3,A(°=2OC=4OA+4o°B，3(1-A)=1,8412解得久=-，n=4，故选A.、说=4，答案A规律方法1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】（2019・长春调研）在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且AD=11AB+1aC.延长AD交BC于E,若AE=XAB^^AC，则的值是,解析设AE二xAD,vaD=1aB+1aC，由于E,B,C三点共线，•:3+2二1，x=|.5-答案考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(—1,—2),C(3,1),且BC11=2AD，则顶点D的坐标为(11A(2,2jb(2,C.(3,2)D.(1,3)A(2)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=Aa+“b(A,)，贝叶=()A.1B.2C.3A.1B.2C.3D.44=2x,解析⑴设D(xy)AD=(x,-2)BC=(4,3)又BC=2AD所以＜、3=2(y-2),Jx=2,解得］7故选A.lyp，⑵以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，:.a=AO=(-1,1),b=(OB=(6,2),c=BC=(-1,-3),°・°c二加+“b,.I(_1,_3)二2(_1,1)+卩(6,2),-2+6〃二-1,i则＜解得2=-2,^=--,2+2〃二-3,2二4.1-2答案(1)A(2)D规律方法向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用.【训练2】(1)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1),C(2,TOC\o"1-5"\h\z3),lBCl=2lACI,则向量OB的坐标是.⑵如图所示，以％e2为基底，则a=.解析(1)由点C是线段AB上一点，lBCl二2IACI,得BC二-2AC.设点B为(x,y)，则(2-x,3-y)=-2(1,2),即＜解、3-y二-4,x=4,得＜所以向量OB的坐标是(4,7).円.⑵以勺的起点为坐标原点，勺所在直线为X轴建立平面直角坐标系，则勺二(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1),令a=xe1+ye2,即(-3,1)=x(1,0)+y(-1,x-y=-3,x=-2,-2e1＋e-2e1＋e2.、y二1,卜二1,答案(1)(4，7)(2)－2e1＋e2考点三平面向量共线的坐标表示”多维探究角度1利用向量共线求向量或点的坐标【例3T】(一题多解)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为.解析法一由O,,B三点共线，可设OP二久0B二⑷，4久)，则打二龙-龙二(4A-4,4A).又AC=OC-OA二(-2,6),由AP与AC共线，得(4久-4)X6-4AX(-2)=0,解得w，所以OP二3OB=(3,3),所以点P的坐标为(3,3).法二设点P(x,y)，则OP=(x,y),因为OB=(4,4),且OP与OB共线，所以寸=4，即x=y.又AP二(x-4,y),AC=(-2,6),且AP与AC共线，所以(x-4)X6-yX(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).答案(3,3)

角度2利用向量共线求参数【例3—2】(1)(2018・全国III卷)已知向量a=(1,2),〃=(2,—2),c=(1,久).若c〃(2a+b)，则久=.⑵已知向量a=(2,3),b=(—1,2),若ma+nb与a—3b共线，贝则.解析(1)由题意得2a+b=(4,2),因为c二(1,久)，且c〃(2a+b)，所以4久-2=0,即久二g(2)由二1工|，所以a与b不共线，又a-3b=(2,3)-3(-1,2)=(5,-3)H0.那么当ma+nb与a-3b共线时，有学=有学=育即得m=13.答案(1)2(2)—3规律方法1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则aHb的充要条件是x1y2-x2y1=0；⑵若a〃b(bHO)，则a=Ab.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练3】⑴(角度1)(2020・北师大附中检测)已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B为直线y=2x上的一个动点，若AB〃a,则点B的坐标为.⑵(角度2)已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(—k,10)，且A,B,C三点共线,则k的值是.解析⑴由题意设B(x,2x)，则AB=(x-3，2x)，

TAB//a,Ax-3-2x二0，解得x=-3,AB(-36).(2)AB二OB-OA二(4-k,-7),AC二OC-(JA=(-2k,-2).TA,B,C三点共线,AAB,AC共线，2A-2X(4-k)=-7X(-2k)，解得k二-3.2答案(1)(—3,—6)(2)—3|Im：.：>>>>：:::....丿丄计H■，■■■11丿」..:.A级基础巩固一、选择题1.设A(0,1),B(1,3),C(—1,5),D(0,—1)，则ABB+ABC等于()A.—2AJDB.2AJDC.—3AJDD.3AJD解析由题意^AB=(1,2),AC=(-1,4),AD=(0,-2),所以AB+AC二(°,6)=-3(0,-2)=-3AD.答案C2.已知点A(1,3),B(4,—1)，则与AB同方向的单位向量是(B(l，-1]D.l—AB(l，-1]D.l—11，ll解析AB二°B-°A=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),A与A与AB同方向的单位向量为|ABB|4)答案A3.若P1(1,3),P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1),则点P的

B.(3，－1)D.(2B.(3，－1)D.(2,2)或(3,1)A.(2，2)C.(2,2)或(3,—1)解析由题意得*二3尸正且pp2=(3，■3).设P(x,y),则(x-1,y-3)=(1,-1),・・x=2,y=2，则点p(2,2).答案A已知向量a=(—1,2),b=(3,m),m^R，则“m=—6”是“a〃(a+b)"的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由题意得a+b=(2,2+m)，由a〃(a+b)，得-1X(2+m)=2X2,所以m二-6,则“m=-6”是“a〃(a+b)”的充要条件.答案A已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m—2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c=la+pb(X,“为实数)，则实数m的取值范围是()A.(—g,2)B.(2,+«)C.(—g,+x)D.(—g,2)U(2,+^)解析由题意知向量a，b不共线，故2mH3m-2,即mH2.答案D6.已知向量a=(2,3),b=(—1,2),若ma+b与a—2b共线，则m的值为()A.2B.—2A.2B.—21C.2D.解析由a=(2,3),b=(-1,2),得ma+b=(2m-1,3m+2),a-2b=(4,-1),又ma+b与a-2b共线，所以-1X(2m-1)=(3m+2)X4，得m=-2,故

选D.答案D7.（2019・成都七中质检）已知在Rt^ABC中，ZBAC=90。，AB=1,AC=2,D是2△ABC内一点，且ZDAB=60。，设AD=2AB+“AC(2,)，贝i~=()A.C.3D2../3A.解析如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为（1,0）,C点的坐标为（0，2）,因为ZDAB=60°，所以设D点的坐标为（m，护m）（mH0）.AD二(m,\/3m)二2AB+^AC二2(1,0)+“(0,2)=(2,2“)，则2二m所以虫二琴.卩3答案A8.在平行四边形8.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H,记AB)+4)+4b24c.—5a+5b24"D._5a_5bBC分别为a，b,则AH=(242解析设AH=2AF,DH二“DE.而DH二DA解析设AH=2AF,DH二“DE.而DH二DA+AH二-b+2AF二-b+2$+|aj,DH二“DE二石-抑AL因此,^\a-|bj=-b+2[b+討由于a,b不共线，因此由平面向量的基本定理，得]1解之得2=5,^=5.故AH=2AF=+|aj=|a+5b.、-2“二-1+2.答案B二、填空题n(2020・绵阳诊断)已知向量a=(sin2a,1),〃=(cosa,1),若allbOvavq，则TOC\o"1-5"\h\za=.解析向量a=(sin2a,1),b=(cosa,1),若a^b,则sin2a-cosa=0,即n1n2sinacosa二cosa.又0<a<2，・・c°saH0,・・sina=2，…“二石.答案n已知A(-3,0),B(0,,''3),O为坐标原点，C在第二象限，且ZAOC=30。，OCmOA+OB，则实数久的值为.解析由题意知OA=(-3/0),OB=(0,;3)，则OC二(-3久，J3).由ZAOC二30°知以x轴的正半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan150°=■1，即-学-害，所以答案111.若平面向量a,b满足la+bl=1,a+b平行于y轴，a=(2,—1),则b=,解析设b=(x,y)，则a+b=(x+2,y-1).因为la+bl二1，所以(x+2)2+(y-1)2二1.又因为a+b平行于y轴，所以x=-2,代入上式，得y二0或2.所以b=(-2,0)或b=(-2,2).答案(—2，0)或(—2，2)12.(—题多解)如图，在正方形ABCD中，M,N分别是BC,CD

的中点，若AC=xaM+“BN,则久+“=.

解析法一以AB,AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1,贝OAM=^1,2j，丽=f-2,1j,AC二(1,1).vAc=^am+^bn=G-|^,2,W，8.•.久+“二三.2M5l“=5，A-~2卩—1,解得］A丄E+"，2+"又AC=AB+ADa-2=1"1v2戶解得A5法二由AmA-~2卩—1,解得］A丄E+"，2+"又AC=AB+ADa-2=1"1v2戶解得A5所以A+“二|.答案1B级能力提升13.(2020.衡水模拟)已知点P为四边形ABCD所在平面内一点，且满足AB+2CD=o,AP+BP+4DP=o,AP=aAB+“BC(a,“GR)，贝yA“=()A-6B.-6A-6B.-6C.-31D-3解析如图，取AB的中点O，连接DO.由AB+2CD二0，知ABHCD,AB=2CD,所以CD綉OB,所以四边形OBCD为平行四边形.

又由AP+BP+4DP二0,得_2PO+4DP二0,即PO二2DP，所以D,P,O三点共线，且P为OD上靠近D的三等分点，所以以APP=AO+OP=所以以APP=AO+OP=所以A=1,^=3,所以加二3.答案D14.（2020.南昌模拟）已知D,E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上,若AP=xAB若AP=xAB+yAc，则xy的取值范围是（a[9,9]C.[9,2]B.[9,4d.[|，4解析因为D,E是BC边的三等分点，点P在线段DE上，若APnAB+yAC,可得x＋y=1x可得x＋y=1x,yw[3,3]xy=x（1－x）=x－x2=2+1当x=2时，xy取最大值4,当x=g或x=彳时，xy取最小值I.故选D.答案D15.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为90。，如图’丿所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若oC=xoA+yoB，其一■■-中x,yWR，贝Vx+y的最大值是（）A.1Ba.'2C\3D.2解析因为点C在以O为圆心的圆弧AB上，所以IOCI2=IxOA+yOB|2=x2+y2+2xyOA^OB=x2+y2,