2022-2023学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.函数的最小正周期为()

A.B.C.D.

2.某班有男生人，女生人，采用分层抽样的方法从这名学生中抽取一个容量为的样本，则应抽取的女生人数为()

A.B.C.D.

3.已知复数满足，则()

A.B.C.D.

4.中，角，，对应的边分别为，，，已知，，，则()

A.B.C.D.

5.中，，则()

A.B.C.D.

6.已知函数的部分图象如图所示，则()

A.

B.

C.

D.

7.若，，则()

A.B.C.D.

8.在中，，将绕直线旋转一周，得到的旋转体的表面积为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.在中，已知，，且有两解，则的取值可以是()

A.B.C.D.

10.已知向量，，则下列结论正确的是()

A.B.

C.向量与的夹角为D.向量在上的投影向量为

11.将函数的图象沿轴向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，则下列判断正确的是()

A.为偶函数

B.为奇函数

C.在单调递减

D.

12.在正方体中，是侧面上一动点，下列结论正确的是()

A.三棱锥的体积为定值

B.若，则平面

C.若，则与平面所成角为

D.若平面，则与所成角的正弦最小值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知向量，，若，则______．

14.设，且，在复平面内对应的点形成的图形的面积为______．

15.数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为______．

16.已知，，为球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为，若球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

设为第二象限角，．

求的值；

求的值．

18.本小题分

某物业管理公司为了解小区住户对其服务管理水平的满意度，从，两个小区住户中各随机抽取户参与满意度测评，根据住户的测评分数，得到小区住户的满意度评分的频率分布直方图和小区住户的满意度评分的频数分布表．

小区住户的满意度评分的频率分布直方图

小区住户的满意度评分的频数分布表

满意度评分分组

频数

求，并估计小区住户的满意度评分的分位数；

根据频率分布直方图，计算小区住户的满意度评分的平均数；

根据小区住户的满意度评分，将住户的满意度从低到高分为三个等级

满意度评分低于分分到分不低于分

满意度等级不满意满意非常满意

根据样本数据，估计哪个小区住户非常满意的百分比大？说明理由．

19.本小题分

已知函数．

求的单调递增区间；

若，求的值域．

20.本小题分

如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点．

证明：平面；

已知，，求二面角的余弦值．

21.本小题分

中，角，，对应的边分别为，，，已知．

证明：；

若，，求．

22.本小题分

如图，在几何体中，平面平面，四边形是平行四边形，，．

求证：；

若，，，为上一动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

满足，

由正切函数的定义可得，函数的最小正周期为．

故选：．

利用三角函数的诱导公式结合正切函数的定义求得函数的最小正周期．

本题考查三角函数的周期的求法，是基础的定义题．

2.【答案】

【解析】解：根据分层抽样法从人中抽取容量为的样本，应抽取的女生人数为．

故选：．

根据分层抽样原理计算即可．

本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．

3.【答案】

【解析】解：，

则，

故．

故选：．

根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．

本题主要考查复数模公式，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：由正弦定理有：，

．

故选：．

由正弦定理直接计算即可．

本题考查正弦定理的应用，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：因为，

所以，

故．

故选：．

根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解．

本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：由图象可知，，可得，

则，

又过点，

则，

又，

则，

所以．

故选：．

根据图象可得函数的周期，进而求得，再由过点，结合的范围，可得的值，进而得解．

本题考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：因为，，

所以，，

所以，

解得或舍去，可得，

所以．

故选：．

由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．

本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．

8.【答案】

【解析】解：中，，

将绕直线旋转一周，得到的旋转体是两个圆锥体的组合体，如图所示：

因为圆锥底面圆的半径为，

所以几何体的表面积为

故选：．

绕直线旋转一周，得到的旋转体是两个圆锥体的组合体，由此求出几何体的表面积．

本题考查了圆锥的侧面积计算问题，是基础题．

9.【答案】

【解析】解：有两解，

，

即，

，

的取值可以是．

故选：．

由三角形解的个数知识得到不等式即可．

本题考查三角形解的个数问题，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：已知向量，，

则，，

对于选项A，，即选项A错误；

对于选项B，，即选项B正确；

对于选项C，，即向量与的夹角为，即选项C错误；

对于选项D，向量在上的投影向量为，即选项D正确．

故选：．

由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量的夹角及模的运算求解即可．

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量的夹角及模的运算，属基础题．

11.【答案】

【解析】解：将函数的图象沿轴向右平移个单位，可得的图象，

再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．

由于，显然它是偶函数，故A正确．

由于，是非奇非偶函数，故B错误．

在上，，函数没有单调性，故C错误．

由于函数的最小正周期为，

，

，

，故D正确．

故选：．

由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的周期性求得要求式子的值．

本题主要考查函数的图象变换规律，利用余弦函数的周期性求函数的值，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：对选项，的面积一定，

又侧面侧面，且是侧面上一动点，

到侧面的距离为定值，

三棱锥的体积为定值，选项正确；

对选项，如图，若，则点在线段上，不包含点，

在上底面的射影为，而与不垂直，

根据三垂线定理可知与不垂直，

与平面不垂直，选项错误；

对选项，如图，若，

则根据三垂线定理可知：垂直于在侧面内的射影，

而在侧面内的射影为，且，

点在线段上，

与平面所成角即为与平面所成角，

又平面，平面，

，又，且，

平面，设，

则与平面所成角为，

在中，易知，

，，

故A与平面所成角为，选项正确；

对选项，如图，连接，，，

则易证平面平面，

又是侧面上一动点，且平面，

在线段上，又，

与所成角为与所成角，即为，

又在中，，又的长度不变，

当的长度最小时，即为与的交点时，

最小，最小，此时，

最小值为，

最小值为，选项正确．

故选：．

根据三棱锥的体积公式，三垂线定理，线面角的概念，面面平行的性质，异面直线所成角的概念，对各个选项分别求解即可．

本题考查三棱锥的体积公式的应用，三垂线定理的应用，线面角的概念，面面平行的性质的应用，异面直线所成角的概念，化归转化思想，属中档题．

13.【答案】

【解析】解：向量，，，

则，解得．

故答案为：．

根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：，且，复平面内对应的点形成的图形为以为圆心，为半径的圆，以及内部区域，

故所求面积为．

故选：．

根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：设原数据的平均数为，则新数据的平均数为，

则原数据的方差为，

则新数据的方差为．

故答案为：．

根据方差的计算公式可解．

本题考查方差的计算公式，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：，，为球的球面上的三个点，且，

过，，三点的截面小圆的圆心为中点，

设，，截面小圆为的半径为，球的半径为，

则，，且球心到平面的距离为，

又球的表面积为，，

，，

的面积，当且仅当取等，

的面积的最大值为，又球心到平面的距离为，

三棱锥体积的最大值为．

故答案为：．

根据球的表面积公式，重要不等式，三棱锥的体积公式，即可求解．

本题考查球的截面问题，三棱锥的体积的最值的求解，重要不等式的应用，属中档题．

17.【答案】解：为第二象限角，．

，

．

．

【解析】根据角的范围，利用同角三角函数基本关系式即可求解．

利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．

本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

18.【答案】解：由题知：，

解得，

设小区住户的满意度评分的分位数为，

则，解得，

小区住户的满意度评分的分位数为．

小区住户的满意度平均数为

．

小区住户评分不低于分的频率为；

小区住户评分不低于分的频数为，频率为，

所以估计小区住户非常满意的百分比大．

【解析】由频率分布直方图中所有小矩形的面积和为，求出，进而求出分位数；

由频率分布直方图求平均值；

由频率分布直方图求频率．

本小题考查运用样本对总体进行估计，查由频率分布直方图求频率、平均值，考查频率公式，频数，百分位数，同时也考查数据分析处理、数学运算等数学核心素养．

19.【答案】解：由题意可得，

令，，

所以，

所以的单调递增区间为，；

因为，

所以，

，

所以，

所以在上的值域为．

【解析】利用三角恒等变换化简函数解析式，再利用正弦函数的单调性求解即可；

由的取值范围，由正弦函数的性质求出最值，即可求得值域．

本题主要考查三角函数恒等变换，正弦型函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．

20.【答案】解：证明：连接，记，连接，

因为是正方形，

所以为的中点．

又因为为的中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面．

在中，，，，

所以，

所以，

取中点，连接，，

所以且，

因为，

所以，

又因为，分别为，的中点，

所以且，

所以．

所以二面角的平面角为，

在中，，，，

所以，

所以二面角的余弦值为．

【解析】连接，记，连接，根据题意可得为的中点，为的中点，由中位线定理可得，再由线面平行的判定定理，即可得出答案．

取中点，连接，，则且，由，则，又，分别为，的中点，进而可得且，推出二面角的平面角为，进而可得答案．

本小题考查线面平行判定，二面角定义及判断等基础知识，考查逻辑推理、空间想象能力，考查数学运算、直观想象等数学核心素养，属于中档题．

21.【答案】解：因为，

即，

则，

，

，

，

则，

所以，

由正弦定理可得：；

因为，，

所以，

又因为，

得，

又因为，

则，

由得，

又因为，所以．

【解析】将条件式用三角恒等变换知识化简后由正弦定理即可证明；

由余弦定理和条件可得，再由三角形的面积公式得，两式相除可求得．

本题考查正余弦定理，三角形面积公式，两角和差等基础知识，还考查了逻辑思维能力，属于中档题．

22.【答案】证明：因为，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因为平面，所以，

又因为，所以．

解：取与的中点分别为，，连接，，，，

过作交于点，连接，

因为，，所以四边形为平行四边形，

因为，，，，所以，，

所以四边形为平行四边形，

所以，，又因为，，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，

所以平面，

因为，同理可得平面，

又因为，平面，，

所以平面平面，

所以与平面所成角即为与平面所成角，

当与重合时，与重合，此时与平面所成角为，

当与重合时，与重合，此时与平面所成角最大，

所以线面角的最大为直线与平面所成角，

即线面角的最大为直线与平