2023年全国高考高三押题卷（三）数学试题

2023年高考押题卷

数学(三)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知全集0=&集合A={x|—2Wx<3},B=[y\y^2x,xWl},则AC5=()

A.{x|-2<xWl}B.{x|-2WxW2}

C.{x[0<xW2}D.{x|04Wl}

2.若复数z满足(l+i)z=|l+i|,则z的虚部为()

A.-坐iB.-乎C.也D.

3.如图某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0,1,2,…，9这10个数字中的一个,

小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为()

A.0.09B.0.12C.0.18D.0.27

4.若3*=4-'=10,z=\ogxy,贝U()

A.x>y>zB.y>x>z

C.z>x>yD.x>z>y

5.若(2x+l)"的展开式中x3项的系数为160,则正整数”的值为()

A.4B.5C.6D.7

6.函数y(x)=(x-1)cosx在其定义域上的图象大致是()

7.如图(1),正方体ABCD-ASG。的棱长为1,若将正方体绕着体对角线AG旋转，则正方体所经

过的区域构成如图(2)所示的几何体，该几何体是由上、下两个圆锥和单叶双曲面构成，则其中一个圆锥的

体积为()

A

(1)

2^3nn「鱼71

D

A.27-9J9D.3

8.在平面直角坐标系x。），中，抛物线C：f=2p），O>0）的焦点为F,尸是C上位于第一象限内的一点，

若C在点P处的切线与x轴交于用点，与），轴交于N点，则与|PF|相等的是（）

A.B.|FMC.\PM\D.|CW|

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次，记事件A为“第

一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）

A.P（A）=|B.事件4和事件B互为对立事件

C.P（B|A）=2D.事件A和事件3相互独立

10.已知函数於）=cos（2sx*）（co>0）的最小正周期为E,将於）的图象向左平移亲个单位长度，再

把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的

是（）

7T

A.g(0)=0B.g(x)在0,4单调递增

g（x）的图象关于x=一£对称D.g（x）在［—去，f］上的最大值是1

C.

11.椭圆C：,+/=1的左、右焦点分别为尸”尸2,点P在椭圆C上，点。在以M（-2,4）为圆心,

C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）

A.椭圆C的离心率为3

B.IPFiMPFR的最大值为4

C.过点M的直线与椭圆C只有一个公共点,此时直线方程为15x+16y—34=0

D.尸。|一|「尸2|的最小值为.23-4小-6

12.

如图，直四棱柱ABCO-ABiCQi的底面是边长为2的正方形，44=3,E,尸分别是AB,BC的中点,

过点。I，E,F的平面记为a,则下列说法中正确的有（）

A.平面a截直四棱柱ABCD-A/iGA所得截面的形状为四边形

B.平面a截直四棱柱ABCD-A^C^所得截面的面积为呼

C.平面a将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47：25

D.点B到平面a的距离与点4到平面的距离之比为1:2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知△ABC是边长为1的等边三角形，设向量满足恭=a，启=a+》,则|3a+b|=.

14

14.若函数八》="+"(。>0,b>Q,“Wl,6W1)是偶函数，则£+g的最小值为.

15.某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位，亿元)与时间/(单位：年)之间的关系为P⑺

=Po(l+lO%)'，其中Po为-0时的P值.假定Po=2,那么在f=10时,GDP增长的速度大约是.(单

位：亿元/年，精确到0.01亿元/年)注：1.1"W2.59,当x取很小的正数时，ln(l+x)«x.

16.已知函数凡¥)=1I"”,若对Vxi，%2e(l>+°°)>xiWx2，都有贝为)一/(X2)|W如nxi—Inxzl，则k

的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知足一02=283cos8+acosC).

(1)求角B；

⑵若22小，驾铲=与黑，求”8C的面积.

18.(12分)已知数列｛斯｝满足ai=l,斯s+i=分,n£N,.

(1)求数列｛斯｝的通项公式a“；

logF”，"为奇数

⑵若为=｛5,求数列｛儿｝的前2〃项和S2“.

,an—1,〃为偶数

19.(12分)如图1,己知等边△4BC的边长为3,点M,N分别是边AB,AC上的点，且满足BM=2M4,

1)

BNBABC,如图2,将△4MN沿MN折起到△4〃代的位置.

(1)求证：平面平面BCNM；

7、八

(2)给出三个条件：①4MLCN；②平面A，MN_L平面BCNM；③四棱锥A―8CNM的体积为宣，从

中任选一个，求平面48c和平面4CW的夹角的余弦值.

20.(12分)在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.己知某同学在此次考试中，在前两道

题中，每道题答对的概率均为|,答错的概率均为卷；对于第三道题，答对和答错的概率均为3；对于最

后一道题，答对的概率为：1，答错的概率为，2.

(1)求该同学在本次考试中填空题部分得分不低于15分的概率；

(2)设该同学在本次考试中，填空题部分的总得分为X,求X的分布列.

2i.(12分)已知函数yu)=—/+公2+云.

(1)当。=0,人=1时，证明：当x£(l,+8H、j,y(无)<inx；

(2)若b=〃，函数兀0在区间(1,2)上存在极大值，求。的取值范围.

22.(12分)己知双曲线C：一方=1(4>0,匕>0)的一条渐近线的方程为尸^/行X,它的右顶点与抛

物线「：尸=4小》的焦点重合，经过点4—9,0)且不垂直于x轴的直线与双曲线C交于〃、N两点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若点M是线段AN的中点，求点N的坐标；

(3)设P、。是直线％=—9上关于x轴对称的两点，求证：直线与QN的交点必在直线彳=一上上.

2023年高考数学押题卷(三)

K;C

1.B

2.D

3.A

4.S;C

5.C

6.A

7.B

8.H:8

9.球

10AC

11舞

案D

12BC

市

r案

13案4

14

答

15

答

16.答案：已，+8)

答

答

17.解析：(1)由cP—c2=26(bcosB+acos0得

B+2abcosC,

由余弦定理得a2—c2=2/>2cos8+序+序一c2,

整理得262cosB=一〃，

所以cos，

又BG(0,兀)，所以B=y；

,2cosC-2cosA

(2)由——.尸1一整理得，

''sinCsinA

小(sinA+sinQ=2(sinAcosC+cosAsinQ,

y[3(sinA+sinC)=2sin(A+C),

故事(sinA+sinC)=2sinB,

由正弦定理得小(a+c)=2〃，

又b=2小，所以a+c=4,

则H+c2+2ac=16.①

由余弦定理，得/>2=a2+c2-2accosB,

即12=4+/+如②

由①②，得ac=4,

故SAABC=TacsinX4X坐=小.

18.解析：(1)由题意，当”=1时，042=9,可得放=9,

因为如也"+1=9",可得a”+is+2=9"",所以与二=9,

a”

所以数列｛%｝的奇数项和偶数项都是公比为9的等比数列.

所以当"为奇数时，设〃=2k—1(«6N*),则a”=a2*T=L9*r=32*-2=3"r,

当〃为偶数时，设〃=2©%GN"),则斯=%=9-9-=9*=3四=3".

3"f,〃为奇数

因此，a=

n3",〃为偶数

1—n,"为奇数

(2)由(1)得b=

3"—1,〃为偶数

二$2"=SI+b3H-------F历”-1)+(历+b4H---------Hb2n)

=[0-2-4-------(2/?-2)]+(32+34+36+-+32H)-/7

〃⑵一2)9(1-9")9"+1—8/—9

―2+-r^9~~n=8■

19.解析：(1)证明：等边△A8C中，由丽=］就+§证，得的-BA=2(病-BN)即病=

2NC,

所以4V=2,NC=1,

又俞=2MA,得BM=2,MA=l,

在△AMN中，AM=l,AN=2,ZA=60°,由余弦定理得MN=<§,

：.M^+AM2=AN2,：.MN±AB,

:.MNLAM,MNIBM,

又BM,4Mu平面48M,

，MN_L平面A'BM,

又MNu平面BCNM,

平面A'8M_L平面BCNM,

(2)若选择条件①4'MA.CN,

'：A'M1.CN,A'MLMN,CN,MNu平面BCNM,CNCMN=N,

平面BCMW,又BMu平面BCNM,

结合(1)可知，MA',MB,MN两两垂直，

以M为坐标原点，MB,MN,MA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则：M(0,0,0),4(0,0,1),BQ,0,0),C(j,乎,0),Ng,小，0).

设平面A'BC的法向量为"i=（xi,yi,zi）,/VC=（1,之乎，-1),BC=(-1,

0)

rti-BC=­1xi+^^y）=0

则1r，

"i•A'C=5i+^^yi-zi=0

令乃=1,则加=小,zi=2小,即“i=（小,1,2小）,

同理，平面4CN的法向量为小=（一S,1,小），

nI*/20—3+1+6

设平面ABC和平面A，CN的夹角为。，贝Icos8=小扇=

故平面4BC和平面4CN的夹角的余弦值为亭.

若选择条件②平面A，MN_L平面BCNM,

「平面平面BCNM,平面4MNC平面BCNM=MN,

平面4MN,A'MIMN,

...A'A/_L平面BCNM,

以下步骤同选①

若选择条件③四棱锥A'-BCNM的体积为唔，

容易求得，四边形8CNM的面积为S=乎，又四棱锥A-8CNM的体积为喏，

所以，四棱锥4-BCNM的高为〃=1,即点4到底面BCNM的距离为1,

又因为A'M—1,

平面BCNM,

以下步骤同选①.

20.解析：（1）设“第福2{1,2,3,4}）题答对”为事件A,设“得分不低于15分”为事件析

则尸(8)=尸(AiA2A3A4)+P(4A2AJA4)+P(AIA2AM4)+P(A&A3A4)+尸(4小达/4)

555

6X6X2X3+6X6X2X3+6X6X2X34Xx6X2X3+才X6X2X3一项；

(2)易知X的取值可能为0,5,10,15,20,

1112

77-X-X-1

P(X=O)=P(A23A一66-23

108

4A

尸(X=5)=P(A|A2A3A4)十尸(A3A4)+P(4iA2A3A4)+P(AiA2A3A4)

1

=，x-v—x-iAx|x|x|+-23

6\zJ_xzJL\z-1J_\z—\Z-7J_

一6623十66236623■"216；

P(X=1O)=P(A1A2A3A4)+P(AIA2A3A4)+P(AM2A血)+尸(4-2AM4)+尸(=IA2A3A4)

+P(41A2A3A4)

=55125112、,1J、5x|x|+7X、XT+；X、

=XTXTXT+7XXX+6X6X2X3+6X6

6o23o623662366

813

一216

P(X=15)=P(A|42A3A4)+P(AlA2A认4)+P(442AM4)+P(A[A2A朗4)

=£X，ylY—_|_-85

—6623十6X6X2X3+6X6X2X3+6X6X2X3=216

P(X=20)=P(AIA2A3A4)=|x|x1x|=箴；

则X的分布列为：

X05101520

12338525

P

K)82168216216

21.解析：(1)证明：由题意得加)=-1+x,则了(助=一3/+1,当x>l时，f(x)<0,

4x)在x《(l,+8)上是减函数，.••/)勺⑴=0,设g(x)=lnx,

g(x)在xG(l,+8)上是增函数，

.,.g(x)>ln1=0,.,•当xC(l,+8)时，人劝一乂

(2)f(x)=—+2ax+a2=—(3x+a)(x~a),且xG(l,2),

令F(x)=0,得》=一g或4,

①当a=0时，则/(x)=-3f<0,凡0单调递减，函数4x)没有极值；

②当a>0时，当x<-j时，f(x)<0,於)单调递减；

当一?<x<a时，/(x)>0,/U)单调递增；当x>a时，/(x)<0,兀v)单调递减,

在x=a取得极大值，在x=一京取得极小值，则l<a<2；

③当〃<0时，当x<a时，/(x)<0,犬x)单调递减；

当a<x<一三时，/(x)>0,於)单调递增；当x>—?时，/(x)<0,於)单调递减,

.\/(彳)在》=—鼻取得极大值，在x=a取得极小值，由K—1<2得一6<a<—3,

综上，函数人的在区间(1,2)上存在极大值时，a的取值范围为(-6,-3)U(1,2).

加，解得.

4=小

22.解析：(1)由题意得

[a=y[3g相，

所以双曲线C的标准方程为5=1；

(2)设M孙冲)，因为M是线段4V的中点，所