ch3 32不定积分分部积分法

第3章一元函数积分学及其应用2008年12月10日1南京航空航天大学理学院数学系第1节 定积分的概念，存在条件与性质第2节 微积分基本公式与基本定理第3节 两种基本积分法第4节 定积分的应用第5节 反常积分第6节 几类简单的微分方程第3节两种基本积分法2008年12月10日2南京航空航天大学理学院数学系换元积分法分部积分法初等函数的积分法由导数公式

(uv)¢=

u¢v

+

uv积分得:uv

=

u¢v

d

x

+

uv¢d

x分部积分公式或

uv¢d

x

=

uv

-

u¢v

d

x

ud

v

=

uv

-

v

d

u1)

v

容易求得;容易计算.问题2008年12月10日3南京航空航天大学理学院数学系3.2

分部积分法

x

cos

xdx

=

?例1

求下列不定积分(1)

x

cos

xdx

;(2)

x2exdx.解（一）

令u

=

cos

x,

xdx

=

1

dx2

=

dv2

2

2

x

cos

xdx

=

x

cos

x

+

x

sin

xdx2

2显然，u,

v

选择不当，积分更难进行.解（二）令

u

=

x, cos

xdx

=

d

sin

x

=

dv

x

cos

xdx=

xd

sin

x

=

x

sin

x

-

sin

xdx=

x

sin

x

+

cos

x

+

C

.解

u

=

x2

,

e

x

dx

=

de

x

=

dv,

x2ex

dx

=

x2ex

-

2

xe

x

dx（再次使用分部积分法）u

=

x,

e

x

dx

=

dv=

x2ex

-

2(

xe

x

-

e

x

)

+

C

.降幂法注意：降幂法适合应用于如下积分类型2008年12月10日5南京航空航天大学理学院数学系n

nnP

(

x)cos

axdx

;

P

(

x)sin

axdx

;

P

(

x)eaxdx

.

Pn

(x)

为一n次多项式u

:=

Pn

(

x);dv

:=cos

axdx

(或sin

axdx,eaxdx)例2

求下列不定积分(2)

x3

ln

xdx.(1)

x

arctan

xdx;解

令

u

=

arctan

x

,xdx

=

d

=

dvx2222

2x2arctan

x

-

x

d

(arctan

x)

x

arctan

xdx=x2x211

+

x2

dx=

2

arctan

x

-

21

1x2=

2

arctan

x

-

2

(1

-

1

+

x2

)dx12008年12月10日6南京航空航天大学理学院数学系x2=

2

arctan

x

-

2

(

x

-

arctan

x)

+

C

.(2)

x3

ln

xdx.解u

=

ln

x,4x4x3dx

=

d

=

dv,升幂法2008年12月10日7南京航空航天大学理学院数学系

x3

ln

xdx

=

1

x4

ln

x

-

1

x3dx

=

1

x4

ln

x

-

1

x4

+

C

.4

4

4

16注意：升幂法适合应用于如下积分类型

Pn(

x)ln

xdx;

Pn

(

x)arctan

xdx

;

Pn

(

x)arccos

xdx

.

Pn

(

x)arcsin

xdx

;Pn(x)

为一n次多项式dv

:=

Pn

(

x)dx例3

求下列不定积分(1)

exsin

xdx;(2)

sin(ln

x)dx.解

e

x

sin

xdx=

sin

xde

x=

e

x

sin

x

-

e

xd

(sin

x)=

e

x

sin

x

-

e

x

cos

xdx

=

e

x

sin

x

-

cos

xde

x=

e

x

sin

x

-

(e

x

cos

x

-

e

xd

cos

x)

e

x

sin

xdx=

e

x

(sin

x

-

cos

x)

-xe

x2008年12月10日8南京航空航天大学理学院数学系\

e

sin

xdx

=

2

(sin

x

-

cos

x)

+

C

.循环法(2)

sin(ln

x)dx.解

sin(ln

x)dx=

x

sin(ln

x)

-

xd[sin(ln

x)]=

x

sin(ln

x)

-

x

cos(ln

x)

1

dxx=

x

sin(ln

x)

-

x

cos(ln

x)

+

xd[cos(ln

x)]

sin(ln

x)dx=

x[sin(ln

x)

-

cos(ln

x)]

-22008年12月10日9南京航空航天大学理学院数学系\

sin(ln

x)dx

=

x

[sin(ln

x)

-

cos(ln

x)]

+

C

.EX

求下列不定积分(2)

sec3

xdx.(1)x2

+

a2

dx

;(1)x2dxx2

+

a2

dx

=

xx2

+

a2x2

+

a2

-

x2

+

a2

dxx2

+

a2=

x

x2

+

a2

+

a2

1

dx

-

22a2x

x2

+

a2x2

+

a2

dx

=+

ln(

x

+x2

+

a2

)

+

C2008年12月10日10南京航空航天大学理学院数学系(2)

sec3

xdx=

sec

xd

tan

x=

tan

x

sec

x

-

sec

x

tan2

xdx=

tan

x

sec

x

-

sec

x(sec2

x

-

1)dx=

tan

x

sec

x

-

sec

x(sec2

x

-

1)dx=

tan

x

sec

x

-

sec3

xdx

+

sec

xdx

sec3

xdx

=

tan

x

sec

x

+

1

ln

sec

x

+

tan

x

+

C2

22008年12月10日11南京航空航天大学理学院数学系注意：循环法适合应用于如下积分类型

sin

bx

eaxdx;

cos

bx

eaxdx

;2008年12月10日12南京航空航天大学理学院数学系

sec5

xdx

;x2

–

a2

dx

等

.例4

求下列不定积分(1)

cosn

xdx;

(2)

sinn

xdx.

n

˛

N

+解cosn

x

=

cos

x

cosn-1

x

=

(sin

x)'cosn-1

x,\

cosn

xdx

=

sin

x

cosn-1

x

+

(n

-

1)

cosn-2

x

sin2

xdx=

sin

x

cosn-1

x

+

(n

-

1)

cosn-2

x(1

-

cos2

x)dx=

sin

x

cosn-1

x

+

(n

-

1)

cosn-2

xdx

-

(n

-

1)

cosn

xdxn\

cosn

xdx

=

1

sin

x

cosn-1

x

+

n

-

1

cosn-2

xdx递推法nn

nn-2I

=

1

sin

x

cosn-1

x

+

n

-

1

InIn

:=

cos

xdxn2008年12月10日13南京航空航天大学理学院数学系

dx

=x

+C是确定的.而cos

xdx

=sin

x

+C

,类似可求得：

sinn

xdx

=

-

1

cos

x

sinn-1

x

+

n

-

1

sinn-2

xdx.n

n2008年12月10日14南京航空航天大学理学院数学系2例

5

已知

f

(

x)的一个原函数是e

-

x

,

求

xf

(

x)dx.2008年12月10日15南京航空航天大学理学院数学系解

xf

¢(

x)dx

=

xdf

(

x)=

xf

(

x)

-

f

(

x)dx,

f

(

x)dx

=

e-

x2

+

C

,两边同时对x求导,得2f

(

x)

=

-2

xe-

x

,\

xf

¢(

x)dx

=

xf

(

x)

-

f

(

x)