微分中值定理与导数应用方程近似解

我花开后百花杀家明丙戌年十月写于安徽财经大学我花开后百花杀家明丙戌年十月写于安徽财经大学编高等数学The

square

distance

lookslike

a

solution高等数学1.2、求近似实根的步骤二、二分法、作法、实例分析三、切线法、作法、实例分析四、小结上一章内容一、问题的提出

1.1、问题1、求方程近似实根的常用方法:二分法,切线法(牛顿法),割线法．2、切线法实质：特定的迭代法．(

j

(

x)

=

x

-

f

(

x)

)f

¢(

x)求方程的根的迭代法是指由根的近似值出发,通过递推公式将近似值加以精确化的反复演算过程.基本思想:

f

(x)

=0

x

=j(x)优点:1、形式简单便于计算;2、形式多样便于选择.3、曲率圆与曲率半径一点处的曲线弧的近似代替曲率圆(弧).r

=

1

/

k,

k

=

1

/

r.运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支: 微分几何学。2、曲率的计算公式曲线弯曲程度的描述(曲率);1、弧微分公式ds

=

1

+

y¢2

dx.;3(1

+

y¢2

)2y¢k

=.3[j

¢2

(t

)

+y

¢2

(t

)]2j

¢(t

)y

¢(t

)

-j

¢(t

)y

¢(t

)k

=1.1、问题高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难，希望寻求方程近似根的有效计算方法．1.2、求近似实根的步骤：

常用方法——二分法和⑴确定根的大致范围——根的隔离．切线法(牛顿法)确定一个区间[a,b]使所求的根是位于这个区间内的唯一实根.区间[a,b]称为所求实根的隔离区间．如图,

精确画出y

=

f

(

x)

的图形,

然后从图上定出它与x

轴交点的大概位置．⑵以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根．2.1、作法设f

(

x)

˛

C[a,

b],

f

(a)

f

(b)

<

0,

且方程f

(

x)＝0在(a,

b)内仅有一个实根x,于是[a,

b]即是这个根的一个隔离区间．1

121

1取[a,b]的中点x

=a

+b

,计算f

(x

).若f

(x

)=0,则x

=x；若f

(x1

)与f

(a)同号,则取a1

=x1

,b1

=b,2由

f

(a1

)

f

(b1

)

<

0，1

1

1

1即知a

<

x

<

b

,

且b

-

a

=

1

(b

-

a);1 1 1 1 1则取a

=

a,

b=

x

,

也有a

<

x

<

b

及若f

(x1

)与f

(b)同号,(b

-

a);1b1

-

a1

=21总之,当x

„x１时,可求得a1

<x

<b1

且b1

-a1

=2

(b

-a);以[a1

,b1

]作为新的隔离区间,重复上述做法,当x

„x221

1

2

2

2

2=

1

(a

+

b

)

时,

可求得a

<

x

<

b

且

b

-

a

=

1

(b

-

a);22

1如此重复n

次,可求得an

<x

<bn

且bn

-an

=2n

(b

-a).2nn

n\

若以

a

或

b

作为x

的近似值,

则其误差小于

1

(b

-

a)．如图2.2、实例分析例1用二分法求方程x3

+1.1x2

+0.9

x

-1.4

=0的实根的近似值,使误差不超过10-3.解令f

(x)=x3

+1.1x2

+0.9x

-1.4,\f

(x)˛

C

(-¥,+¥).

f

(

x)

=

3

x2

+

2.2

x

+

0.9,D

=

-1.49

<

0,

f

(

x)

>

0..故f

(

x

)在(-¥

,+¥

)内单调增加

,\f

(x)=0

至多有一个实根．取

a

=

0,

b

=

1,

[0,1]

是一隔离区间

f

(0)

=

-1.4

<

0,

f

(1)

=

1.6

>

0,\

f

(

x)

=

0

在[0,1]内有唯一的实根.

下面计算得:x1

=

0.5,

f

(x1

)

=

-0.55

<

0,

故

a1

=

0.5,

b1

=

1;x2

=

0.75,

f

(x2

)

=

0.32

>

0,

故

a2

=

0.5,

b2

=

0.75;x3

=

0.625,

f

(x3

)

=

-0.16

<

0,

故

a3

=

0.625,

b2

=

0.75;x4

=0.687,f

(x4

)=0.062

>0,故a4

=0.625,b4

=0.687;x5

=

0.656,

f

(x5

)

=

-0.054

<

0,

故

a5

=

0.656,

b5

=

0.687;故a6

=0.656,b6

=0.672;故a7

=0.664,b7

=0.672;故a8

=0.668,b8

=0.672;故a9

=0.670,b9

=0.672;故a10

=0.670,b10

=0.671.f

(x6

)

=

0.005

>

0,f

(x7

)

=

-0.025

<

0,f

(x8

)

=

-0.010

<

0,f

(x9

)

=

-0.002

<

0,f

(x10

)

=

0.001

>

0,x6

=

0.672,x7

=

0.664,x8

=

0.668,x9

=

0.670,x10

=

0.671,\

0.670

<

x

<

0.671.

即

0.670

作为根的不足近似值

,0.671

作为根的过剩近似值

,

其误差都小于

10

-3

.更接近方程的根x．作切线，这切线与x

轴的交点的那个端点（此端点记作(x0

,f

(x0

)))1

0横坐标x

比

x3.1、作法设

f

(

x)

在[a,

b]

上具有二阶导数,

f

(a)

f

(b)

<

0,且f

¢(x)及f

¢(x)在[a,b]上保持定号.则方程f

(x)＝0在(a,b)内有唯一的实根x，[a,b]是根的一隔离区间定义:用曲线弧一端的切线来代替曲线弧,从而求出方程实根的近似值,这种方法叫做切线法(牛顿法)．ABx如图，

在纵坐标与

f

(

x)

同号的

yobxy

=

f

(

x)a

x1f

(a)

<

0,

f

(b)

>

0f

¢(

x)

>

0,

f

¢(

x)

<

0令

x0

=

a,

则切线方程为y

-

f

(

x0

)

=

f

¢(

x0

)(

x

-

x0

).在点(

x

,

f

(

x

))

作切线，.112

1f

(

x

)f

¢(

x

)1

1得根的近似值

x

=

x

-如此继续，得根的近似值(1)-

f

(

xn-1

)n-1f

¢(

x

)xn

=

xn-1注意:

如果

f

(b)

与

f

¢(

x)

同号,可记

x0

=

b.ABxyobxy

=

f

(

x)x1

x2a,01

0f

(

x

)f

¢(

x

)x

=

x

-0x1比x0更接近方程的根x.令y

=0,得到切线与x轴交点的横坐标:f

(1)

>

0.如图,在[0,1]上，f

(

x)

=

3

x2

+

2.2

x

+

0.9

>

0,f

(

x)

=

6

x

+

2.2

>

0,

f

(

x)

与

f

(

x)

同号，\

令

x0

=

1.

代入(1),得3.2、实例分析例2

用切线法求方程x3

+1.1x2

+0.9

x

-1.4

=0的实根的近似值,使误差不超过10-3.解令f

(x)=x3

+1.1x2

+0.9x

-1.4,[0,1]

是一个隔离区间

.

f

(0)

<

0,1f

¢(1)x

=