备课教案4-不定积分new

_第四章 不定积分§4.1不定积分概念微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数。但是，在科学技术领域中往往还会遇到与精品文档放心下载此相反的问题：已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生了积分学。精品文档放心下载“积分”是“微分”的逆运算。一、原函数1、原函数定义我们在讨论导数的概念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间t变感谢阅读化的规律为ss(t)，那么，在任意时刻t物体运动的速度为v(t)s(t)。现在提出相反的问题：谢谢阅读例1 已知某物体运动的速度随时间t变化的规律为vv(t)，要求该物体运动的路程随时间谢谢阅读变化的规律ss(t)。显然，这个问题就是在关系式v(t)s(t)中，当v(t)为已知时，谢谢阅读要求s(t)的问题。例2 已知曲线yf(x)上任意点(x,y)处的切线的斜率为2x，要求此曲线方程，这个问题就是要根据关系式y2x，求出曲线yf(x)。感谢阅读从数学的角度来说，这类问题是在关系式F(x)f(x)中，当函数f(x)已知时，求出函谢谢阅读F(x)。由此引出原函数的概念。定义4.1:设f(x)是定义在某区间I内的已知函数，如果存在一个函数F(x)，对于每一点xI，都有：感谢阅读F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx谢谢阅读则称函数F(x)为已知函数f(x)在区间I内的一个原函数。感谢阅读_例如，由于(sinx)cosx，所以在(,)内，sinx是cosx的一个原函数；又因为感谢阅读(sinx2)cosx，所以在(,)内，sinx2是cosx的一个原函数；更进一步，对任意常谢谢阅读数C，有(sinxC)cosx，所以在(,)内，sinxC都是cosx的原函数。精品文档放心下载2、原函数性质（1）如果函数f(x)在区间I内连续，则f(x)在区间I内一定有原函数；（2）若F(x)f(x)，则对于任意常数C，F(x)C都是f(x)的原函数。谢谢阅读即如果f(x)在I上有原函数，则它有无穷多个原函数；谢谢阅读（3）若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则F(x)G(x)C，（C为任意常数）。感谢阅读即任意两个原函数只相差一个常数。二、不定积分1、不定积分定义定义4.2: 若F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数，则称F(x)C(C为任意常数)为谢谢阅读(x)在区间I内的不定积分，记为f(x)dx，即谢谢阅读f(x)dxF(x)C。其中： ——为积分号，(x)——被积函数，(x)dx——被积表达式，x——积分变量，——积分常数。由不定积分的定义可知，计算一个函数的不定积分时，就归结为“求出被积函数的一个原精品文档放心下载函数再加上任意的常数”即可。_1计算下列不定积分。（1）2xdx；（2）sinxdx；（3）exdx。解（1）因为(x2)2x，所以x2是2x的一个原函数，由不定积分的定义知：2xdxx2C。（2）因为(cosx)sinx，所以cosx是sinx的一个原函数，由不定积分的定义知精品文档放心下载sinxdxcosxC。（3）因为(ex)ex，所以ex是ex的一个原函数，由不定积分的定义知精品文档放心下载exdxexC。2求1dx。x解：①当x0时， ∵lnx1，即lnx是1的一个原函数感谢阅读x x1dxlnxCx②当x0时，∵11xx，ln(x)∴1dxln(x)Cx两式合并，当x0时，有：1dxlnxC。x由上述例题可以看出，求不定积分就是求被积函数的全体原函数，这个“全体”就体现在任意谢谢阅读常数C上,因此,求不定积分时,积分常数C不能丢。感谢阅读由于“积分”和“微分”互为逆运算，故检验一个积分结果是否正确，只须对积分结果求导，精品文档放心下载看他是否等于被积函数。_2、不定积分性质由不定积分的定义，有：性质⑴：先积分后微分，两种互逆运算相抵消。f(x)dx或df(x)dxf(x)dxf(x)；性质⑵：先微分后积分，两种互逆运算抵消后，相差常数C。精品文档放心下载F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C。由此可见，微分运算与求不定积分的运算是互此处绘图逆的。例3利用性质求下列不定积分。图4-1（1）sinxdx；（2）sinxdx。（1）利用“先积后微，结果等于被积函数”得：sinxdxsinx（2）利用“先微后积，结果等于被积函数+C”得：谢谢阅读sinxdxsinxc3、不定积分几何意义不定积分的图形是由F(x)C所表示的无穷多条积分曲线所组成的“积分曲线簇”。（如图5-1所示）每一条积分曲线对应于同一横坐标_x0处的切线互相平行。不定积分几何意义：不定积分F(x)C表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积精品文档放心下载分曲线的切线的斜率。4求过点1,3，且其切线的斜率为2x的曲线方程。感谢阅读解：由2xdxx2C得：yx2c的曲线簇谢谢阅读将x1,y3代入得：c2∴yx223为过点1,且其切线的斜率为2x的曲线方程。由图5-2可以看出：yx2c表示无穷多条抛物线，这些抛物线就构成一条关于2x的积精品文档放心下载分曲线簇。簇中每一条曲线对应于同一横坐标x1处有相同的斜率f(1)2x 2。精品文档放心下载x1故对应x1处，这簇曲线的切线互相平行，任两条曲线的纵坐标之间相差一个常数C。精品文档放心下载故确定一条曲线yx22，其它各曲线便可由yx22沿y轴方向上、下移动而得到。感谢阅读§4.2 基本积分公式一、基本积分公式（背！）由不定积分的定义，从导数公式可得到相应的积分公式。为了计算方便，下面列出基本积分公式：精品文档放心下载（1）0dxC；（8）cosxdxsinxC；（2）dxxC；（9）sec2xdxtanxC；（3）xndxxn1C,(n1)；（10）csc2xdxcotxC；n1（11）secxtanxdxsecxC；（4）1dxlnxC；（12）cscxcotxdxcscxC；x（5）axdxaxC；1lnadxarcsinxC（13）1x2（6）exdxexC；arccosxC；_这些基本积分公式是求不定积分时常用的公式，同学们必须熟练地掌握！感谢阅读二、不定积分运算法则法则⑴：函数代数和的积分等于函数积分的代数和。[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx；精品文档放心下载推广：f(x)g(x)v(x)dxf(x)dxg(x)dxv(x)dx谢谢阅读法则⑵：被积函数中的常数因子可以移到积分号的外面。谢谢阅读kf(x)dxkf(x)dx（k0）。感谢阅读现在利用不定积分的性质和基本积分公式，可以求一些函数的不定积分。谢谢阅读例1计算下列不定积分：（1）x2xdx；（2）(1x)2dx；x2（3） x xdx； （4）3xexdx。感谢阅读_解（1）x2 xdxx52dx72x72C；精品文档放心下载（2）(1x)2dx12xx2121dxdxx2x2dxx+1dxx2dx2xx21x212ln|x|xC12ln|x|xC；1(2)x（3）337xxdxx4dx13x41C4x4C。174（4）3xexdx(3e)xdx(3e)xC3xexC。ln(3e)1ln3注意：检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结精品文档放心下载果是正确的，否则结果是错误的。三、直接积分法所谓直接积分法，就是利用不定积分的基本积分公式和法则，来求一些简单函数的不定积分。精品文档放心下载例2 计算下列不定积分。_（1）2xxdx；（2）tan2xdx；（3）1dx；（4）1dx。sin2xcos2xx2(1x2)2xdxx33解：（1）2xxdx2dx2xdxx2dx322x2x21Cx25；5x2C2312（2）tan2xdx(sec2x1)dxsec2xdxdxtanxxC；谢谢阅读1sin2xcos2x11dx（3）sin2xcos2xdxsin2xcos2xdxcos2xdxsin2xtanxcotxC；（4）1dx111dx1dx1x2(1x2)1x2dxx21x2arctanxC。x2x注意：当被积函数不能直接用公式时，需先进行一些恒等变形或拆分，将其化为积分基本公精品文档放心下载式的形式，再求积分即可。3计算下列不定积分：（1）cos2xdx；（2）cos2xdx；（3）sin2xdx；sin2x22解（1）cos2xdx12sin2xdx(csc2x2)dxcotx2xC；sin2xsin2x（利用三角恒等变形：cos2xcos2xsin2x2cos2x112sin2x）（2）cos2xdx1cosxdx1dx1cosxdxxsinxC。222222（利用三角函数降幂公式：cos2x11cosx）22（3）sin2xdx1cosxdx1dx1cosxdx1x1sinxC222222（利用三角函数降幂公式：sin2x11cosx）22§4.3 换元积分法_一、第一类换元法（凑微分法）前面已经学习了直接积分法，但是仅利用基本积分公式和不定积分的性质所能计算的积分是非精品文档放心下载常有限的。例如计算不定积分：exdx，这个积分看上去很简单，与基本积分公式exdx相似，但不能用直接积分法。区别在于exdx中的被积函数yex是由yeu,ux复合而成的。如何求谢谢阅读出这类复合函数的积分呢？利用复合函数的求导法则可推导出计算不定积分的一种常用方法——谢谢阅读凑微分法。先看一例子：例如：求lnx31xdx解：lnx31xdxlnx3lnxdx精品文档放心下载lnx3dlnx换元lnxuu3du用积分公式1u4C4还原14Culnx4lnx上述例题中求积分的方法就是换元法。此法关键f(x)(x)dx形式，设法将其凑成f(x)d(x)的形式。：被积函数具有故此类换元法又称为“凑微分法”。定理：设F(u)是f(u)的一个原函数且u(x)可导，则谢谢阅读f[(x)](x)dxF[(x)]C。感谢阅读凑微分法的名称来源于把被积函数分为复合函数f[(x)]与中间变量的导数(x)两部分，再谢谢阅读_(x)dx凑成d(x)。第一类换元法常做如下描述：f(x)(x)dxf(x)d(x)精品文档放心下载令(x)uf(u)du用公式F(u)C感谢阅读回代u(x)F(x)C1求xsinx2dx解：xsinx2dx1sinx2d(x2)1sinx2x2dx22令x2u112sinud(u)2(cosu)C回代ux212cosx2C例2求x1dx解： x1dxx112x1dx(x1)12d(x1)谢谢阅读令x1uu12d(u)用公式u121C2u23C1312回代ux12x13C32由上述例题看出，第一类换元法关键是：_xdx dx如何将 凑成微分 注：熟练以后，可以省去分析过程和设新变量的过程，而可以直接“凑”成基本公式谢谢阅读形式，求出最后结果即可。3计算下列不定积分（直接凑微分）（1）axb100dx；（2）xex2dx；（3）lnxdx；（4）2cos2xdx。x解：当运算熟练之后，可以不写出中间变量，直接计算。（1）axb100dx1axbdaxb1axbC.100101a101a（2）xex2dxex21d(x2)1ex2C;22（3）lnxdx12C.x2（4）2cos2xdxcos2xd(2x)sin2xC。4计算不定积分sin2xdx解法一：sin2xdx12sin2xd2x12cos2xC.精品文档放心下载解法二：sin2xdx2sinxcosxdx2sinxd(sinx)sin2xC.感谢阅读解法三：sin2xdx2sinxcosxdx2cosxd(cosx)cos2xC.此题三个结果12cos2x,sin2xcos2x均为sin2x的原函数。精品文档放心下载注：检验积分结果正确与否，只要把结果求导，如果倒数等于被积函数，则说明结感谢阅读果正确！说明同一道不定积分题可出现不同结果。例5计算不定积分（1）sin2xcos5xdx；（2）cos2xdx.感谢阅读_解：（1）sin2xcos5xdxsin2xcos4xdsinxsin2x1sin2x2dsinx；感谢阅读sin2x2sin4xsin6xdsinx谢谢阅读13sin3x52sin5x71sin7xC.感谢阅读（2）cos2xdx1cos2xdx1dxcos2xdx1dx1cos2xd2x2224xsin2xC.24注：①当被积函数是三角函数乘积时，一般拆开“奇次项”去凑微分；谢谢阅读②当被积函数是三角函数偶数次幂时，常用半角公式通过降幂的方式来计算。感谢阅读有些积分，需要先将被积函数进行“恒等变形”，然后再用“凑微分”法求积分。谢谢阅读6计算下列不定积分：（1）1dx；（2）1dx。2x2aa2x2解（1）1dx111x1x2x22(1x2dx2daarctanC；aa)a1xaaa2a（2）1dx1dx1112xdxa2(ax)(ax)2aaxax11dx1dx2aaxax11dax1dax2aaxax12alnaxlnaxC1lnaxC2aax由此例题得两公式如下：_1dx1arctanx11lnaxCC；a2x2aaa2x22aax。例7求1dxx2a2解：1dxdx1xarxsinxdCa2x2a1x21x2aaaa由此例题得公式如下：a21xC凑微分法在积分学中是经常用的，这种方法的特点是“凑微分”，要掌握这种方法，需要熟记精品文档放心下载一些函数的微分公式，为了做题方便，下面列出一些常用的凑微分格式：精品文档放心下载（1）dx1d(axb)（a,b为常数，且aa（2）xdx1d(x2)；21dx1（4）x2d；x（6）exdxd(ex)；（8）cosxdxd(sinx)；（10）sec2xdxd(tanx)；谢谢阅读1x2dxd(arctanx)；（12）1

0）；（3）1dx2d(x)；x（5）1xdxd(lnx)；（7）sinxdxd(cosx)；（9）tanxdxlncosx；（11）csc2xdxd(cotx)；精品文档放心下载（12）1dxd(arcsinx)。1x2_8计算下列不定积分：（1）tanxdx； （2）cotdx； （3）cscxdx； （4）secxdx。感谢阅读解（1）tanxdx（2）cotxda（3）cscxdx

cossinxxdxcossinxxdxsin1xdx感谢阅读112121

cos1xd(cosx)lncosxC；精品文档放心下载1d(sinx)lnsinxC；sinxdcosxsinxdx1sin2x1cos2x11dcosxcosx1cosx1d(1cosx)1d(1cosx)cosx1cosx1ln1cosxC1ln1cosxC感谢阅读21cosx21cosx谢谢阅读1ln1cosx2Cln1cosxClncscxcotxC21cos2xsinx用上述公式C（4）secxdxcsc(x)dxlncsc(x)cotx2222lnsecxtanxC（用到“诱导公式”：名称变余函数，符号看象限）补充积分公式_⒈tanxdxlncosxC；dx1arctanxC；cotxdxlnsinxC；⒌⒉a2x2aa⒊secxdxlnsecxtanxC；⒍dx1lnax；a2x22aC⒋cscxdxlncscxcotxC；axdx1lnxaC7.；x2a22axa8.dxarcsinxC。a2x2a9计算下列不定积分（利用补充公式直接求解）（1）1dx；49x2（2）149x2dx.（3）19x24dx.解：（1）1dx11d3x11arctan3xC1arctan3xC；22（2）1dx11d3x11ln23xC1ln23xC；22（3）1dx1122d3x11ln3x2C1ln3x2C.22二、第二类换元法第二类换元法中，是“引入新变量t，将x表示为t的一个连续函数x(t)”，从而简化积精品文档放心下载分计算的。例8求1dx。2x11解：积分中含有根式 2x1，无法用凑微分法，故用第二类换元法。谢谢阅读_令2x1t，则xt21,dxtdt。于是21dxtdt1t111dt1t1tdt1dt1dt1t12x11tt

11td(1

t)

t

ln1t

C

2x

1ln1

2x

1

C。注意 当被积函数中含有根式naxb时，通常作变量代换naxbt消去根式，便于计算。感谢阅读第二类换元法常做如下描述：f(x)dx令x(t)f(t)(t)dt谢谢阅读用公式F(t)C变量还原(x)CF1t1(x)例1求1dx。1ex解：令tex，即xlnt，则dxd(lnt)1dt。于是t1111dt恒等变形(t1)t111exdx1ttdtt(t1)t(t1)dt(tt1)dt1dt1d(t1)lntlnt1Ctt1还原lnexlnex1C例2求1dx13x1解：令3x1t，即xt31，则：dxdt313tdt.，有：_1dx13t2dt3t2t2113dt3dtt1t11dt13x11t1t1t1t3t113tdtdt1d1dt11ttt232tln1tC还原3x123x1ln13x1C.32§4.4 分部积分法应用两个函数乘积的求导法则可推出分部积分法。一、分部积分法设uu(x)，vv(x)都是x的可导函数，由乘积的微分法则，有：精品文档放心下载d(uv)udvvdu_移项： udvd(uv)vdu两边积分：udvd(uv)vduuvvdu感谢阅读即： udvuvvdu定理：设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数，则谢谢阅读udvuvvdu。二、分部积分公式用法udvuvvdu此公式作用：在于把求udv的问题转化为求vdu的问题，谢谢阅读即：vdu较之udv容易求得。分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，如被积函数是幂函数与指数函数精品文档放心下载(或对数函数、三角函数、反三角函数等)的乘积，三角函数与指数函数的乘积等。谢谢阅读1求xsinxdx。解 被积函数是幂函数与三角函数的乘积，用分部积分法。感谢阅读ux,dvsinxdxd(cosx)，于是dudx,vcosx谢谢阅读xsinxdxxd(cosx)x(cosx)(cosx)dx精品文档放心下载xcosxcosxdxxcosxsinxC精品文档放心下载x2若选取usinx,dvxdx，则dud(sinx),v。于是2xsinxdxsinxd(x22)x22sinxx22d(sinx)（结果比原积分还难求解，不可取）感谢阅读所